Построение аналитических интегральных многообразий

В теории дифференциальных уравнений существенную роль играют интегральные многообразия решений, введенные в работах А. Пуанкаре, A.M. Ляпунова, Ю. А. Митропольского, Н. Н. Боголюбова. Интегральные многообразия, объединяющие множество решений в одно целое, используются при решении вопросов устойчивости решений, при расщеплении решений и понижении порядка в задачах анализа.

В диссертационной работе исследуются свойства интегральных многообразий дифференциальных и разностных уравненийнайдены оценки радиуса голоморфности, а также разработаны новые способы построения интегральных многообразий для дифференциальных и разностных уравненийисследуются поведения интегральных кривых на окрестности интегральных многообразий.

Во многих областях естествознания широко используются нелинейные дифференциальные и разностные уравнения. Стремление к более точному математическому описанию физических явлений, как правило, приводит к усложнению уравнений и увеличению их порядка. Лишь немногие из нелинейных уравнений, описывающих реальные физические процессы, допускают точное решение. Так как очень часто требуется знать качественную картину «в целом» без нахождения самих решений, то изучение дифференциальных и разностных уравнений с этой точки зрения требует качественных методов исследования. С увеличением порядка рассматриваемых уравнений и усложнением их вида задача качественного исследования значительно усложняется.

Основы качественной теории дифференциальных уравнений были заложены А. Пуанкаре [84], а также исследованиями А. М. Ляпунова [56] об устойчивости движения. Значительные обобщения теории А. Пуанкаре были получены в работах И. Бендиксона [8], Д. Биркгофа [9], Брауэра, Дюлака, Ягеля. Для системы выше второго порядка расположение интегральных кривых на торе рассматривали Данжуа и Кнезер. Топологические методы Пуанкаре успешно применялись в работах А. А. Андронова и его учеников [3], В. В. Немыцкого и В. В. Степанова [74] и во многих работах зарубежных авторов [106,107]. Использованию результатов качественной теории для решения различных вопросов механики и физики посвящены работы Л. И. Мандельштама [59], Н. Д. Папалекси [76], А. А. Андронова [3] и их учеников. Среди аналитических методов широкое распространение получили методы малого параметра, связанные с именами Эйлера, Лагранжа, Пуассона.

Важным вопросом качественного исследования дифференциальных уравнений является задача об устойчивости решений. Общую задачу об устойчивости движения в ее классической постановке разрешил A.M. Ляпунов [55, 56]. Для решения этой задачи Ляпунов предложил два метода. Первый метод состоит в построении общего решения в виде рядов, сходящихся при t > 0.

По виду решения устанавливается факт его устойчивости или неустойчивости. Второй метод приводит к отысканию функций, обладающих специальными свойствами. Рассматривая эти функции на решениях, можно сделать заключение об устойчивости этих решений. В основе второго метода Ляпунова лежат теоремы Ляпунова об устойчивости движения. Для исследования устойчивости в особых случаях А. М. Ляпунов использовал метод, получивший впоследствии название принципа сведения. В настоящее время этот метод определяется как частный случай более общего метода интегральных многообразий, предложенный Н. Н. Боголюбовым [10] и развитый в работах Ю. А. Митропольского и его учеников [12−15,65−69].

В 1961 году на международном симпозиуме по нелинейным колебаниям, состоявшемся в г. Киеве, был представлен обзорный доклад Н. Н. Боголюбова и Ю. А. Митропольского, посвященный исследованию интегральных многообразий в нелинейной механике. Содержание этого доклада было опубликовано как в СССР [14], так и в США [11]. В нем излагалась общая идея метода интегральных многообразий в нелинейной механике, основные результаты, полученные рядом авторов в направлении развития и обобщения метода, а также были сформулированы возникающие здесь наиболее актуальные проблемы и намечены пути их развития и обобщения метода. Появление указанной работы, а также обзоров по теории интегральных многообразий [11−15], оказало существенное влияние на дальнейшее развитие метода интегральных многообразий в нелинейной механике как в СССР, так и за рубежом [97,114,115,118,119]. По намеченным в [10] наиболее актуальным проблемам появилось большое число работ.

Метод интегральных многообразий был распространен на бесконечные системы уравнений, на различные классы уравнений, содержащих «малый» и «большой» параметры, на уравнения в функциональных пространствах, на системы уравнений с малым параметром при производных, системы с запаздыванием и др.

В настоящее время идеи метода интегральных многообразий в нелинейной механике получили широкое развитие и обобщение и стали существенно использоваться для исследования сложных явлений, наблюдаемых в самых разнообразных динамических системах, описываемых дифференциальными уравнениями, содержащими малый параметр. Метод интегральных многообразий в настоящее время является самостоятельным и эффективным направлением в теории дифференциальных уравнений, позволяющим получать не только качественные, но и количественные результаты при исследовании достаточно сложных динамических систем.

После работ Н. Н. Боголюбова и Ю. А. Митропольского, начиная с 1957 года, теория интегральных многообразий получила свое развитие в работах учеников Ю. А. Митропольского: A.M. Самойленко [90−93], О. Б. Лыковой [53,54], В. И. Фодчука [96], а также других авторов как в СССР, так и за рубежом [106−119]. Кроме указанных работ, исследованию интегральных многообразий посвящены работы Ю. И. Наймарка [70−73], В. А. Плисса [79−82], Ю. Л. Далецкого [28−29], К. Г. Валеева [16−21] и др.

Исследовав вначале проблему о существовании, единственности, зависимости от параметра и гладкости инвариантных поверхностей точечного отображения, Ю. И. Наймарк применил эти результаты для изучения аналогичного круга вопросов для интегральных многообразий дифференциальных уравнений. Им установлены условия существования и грубости тороидальной интегральной поверхности автономной системы дифференциальных уравнений. Результаты Ю. И. Наймарка и его учеников содержатся в работах [70−73]. Ряд результатов по теории инвариантных многообразий получен A.M. Самолейнко. Им предложен новый подход к теории возмущения инвариантных тороидальных многообразий динамических систем, связанный с использованием функции Грина для линеаризованной задачи. Этот подход позволяет с общей точки зрения изложить теорию возмущения как гладких, так и не дифференцируемых инвариантных многообразий динамических систем. Подробное изложение этих результатов содержится в работах [90−93].

Значительные результаты по теории инвариантных поверхностей принадлежат В. А. Плиссу [79−82] и другим авторам (см. [26, 27, 33, 34, 83]), занимавшихся этим вопросом в 50−70 годах прошлого века.

Существенный вклад в теорию интегральных многообразий внес К. Г. Валеев [16−21]. С использованием интегральных многообразий созданы, в частности, конструктивные схемы построения интегральных многообразий для различных классов линейных и нелинейных систем, которые он в дальнейшем использовал для построения функции Ляпунова и нелинейных проекторов. Предложенные К. Г. Валеевым схемы построения интегральных многообразий, существенно использованы в нашей диссертации.

Значительный вклад в развитие идей и методов теории интегральных многообразий и применение их к исследованию проблемы возмущения для широкого класса нелинейных дифференциальных уравнений внесли многие зарубежные ученые: в США — С. Дилиберто [107], В. Кайнер [113], А. Келли.

111], Н. Левинсон [114], В. Лонд [115], М. Массерах, Х. Х. Шеффер [61], Р. Стакер [116], Г. Хаффорд [110], Дж. Хойл [109], Н. Чейфи [106] и др.- в ЯпонииТ. Йоншзава [119], М. Урабе [118]- в ЧехословакииЯ. Курцвейл.

112], в Румынии — Халанай [108].

Как и в теории дифференциальных уравнений, идеи метода интегральных многообразий широко используются в теории разностных уравнений. Приведём лишь краткий обзор работ по теории интегральных многообразий разностных уравнений, имеющих близкое отношение к диссертации.

В настоящее время разностные уравнения находят применение во многих разделах современной науки, в том числе в биологии, экономике, химии, строительной механике, технике, физике, в теории электрических цепей, в теории вероятностей. Уравнения в конечных разностях являются удобной математической моделью при описании дискретных динамических систем [60,94]. К разностным уравнениям сводится приближенное решение начальных или граничных задач для дифференциальных уравнений [22,48,95]. Интерес к изучению разностных уравнений повысился ещё и в связи с интенсивным развитием ЭВМ и теории импульсных автоматических систем [63,64,97,101]. Широкое использование численных методов решения дифференциальных уравнений, в особенности метода конечных разностей, вызвало необходимость более детального изучения асимптотических свойств решений разностных уравнений. Другой подход к качественной теории разностных уравнений связан с методом точечных отображений [72], при использовании которого основная трудность возникает из-за недостаточной изученности свойств решений разностных уравнений и отсутствия общих методов их решения. Исследованием свойств решений разностных уравнений занимались многие математики. Наиболее общими приемами исследования решений является метод степенных и других рядов и особенно метод контурных интегралов Лапласа Эйлера, Фурье и др.

Характеристика состояния и проблем качественной теории разностных уравнений, а также обширная библиография имеются в работах Н. Е. Норлунда [117], И. М. Рапопорта [87], Д. И. Мартынюка [60], А. А. Миролюбова, М. А. Солдатова [64], А. А. Самарского [94], А. Халаная, Д. Векслера [97] и др. В работе [22] исследуется стремление к конечным пределам решений систем суммарно — разностных уравнений.

Периодические и квазипериодические решения разностных уравнений изучались в работах [1,4,31,48] и др.

Вопросы существования инвариантных торов систем разностных уравнений рассматривались в работах В. Я. Данилова, Ю. И. Неймарка, A.M. Самойленко, Д. И. Мартынюка и др.

Наиболее близкое отношение к диссертации имеют работы К. Г. Валеева, А. Н. Тихонова, А. Д. Горбунова, в которых при исследовании решений обыкновенных дифференциальных уравнений использовалась качественная теория разностных уравнений.

При исследовании устойчивости движения с помощью численных методов также существенен вопрос о понижении порядка системы разностных уравнений.

В связи с этим важными и актуальными вопросами являются вопросы исследования асимптотического поведения решений при разностных уравнениях и понижения порядка систем разностных уравнений. Изучаемые в диссертации системы разностных уравнений можно называть, как и в работах [22,50], системами суммарно-разностных уравнений.

В дальнейшем изложении будем пользоваться понятием интегрального многообразия решений системы разностных уравнений вида.

Хп+1 ^F{tn, Xn), tn =t0+nh, n = 0 + 1,., (0.1).

Определение. Множество точек G в пространстве переменных t, X называется интегральным многообразием [18], если из условия J, следует, что все точки, определяемые уравнением (0.1) с начальным условием tk =tl, Хк = X®, также принадлежат множеству G.

Интегральное многообразие решений иногда будем называть семейством решений. А. Пуанкаре и А. М. Ляпунов, исследуя устойчивость движения, пришли к понятию устойчивости решений дифференциальных уравнений. Это понятие О. Перрон перенес на решения разностных 8 уравнений. Развиваемая в диссертационной работе теория интегральных многообразий непосредственно опирается на идеи, развитые в работах К. Г. Валеева [16−21].

Речь идет о разработке конструктивных способов построения интегральных многообразий с целью применения их для построения нелинейных проекторов, предназначенных для расщепления изучаемых многомерных систем нелинейных дифференциальных и разностных уравнений с аналитическими правыми частями.

Диссертационная работа посвящена построению аналитических интегральных многообразий для систем нелинейных дифференциальных и разностных уравнений с аналитическими правыми частями в конечномерном нормированном пространстве.

Целью работы является построение для указанных классов уравнений голоморфных интегральных многообразий, для обоснования методов построения нелинейных проекторов, а также получение оценок радиуса области сходимости полученных разложений интегральных многообразий в виде степенных рядов и нелинейных проекторов.

Перейдем к изложению результатов, полученных в диссертации. Она состоит из введения, трех глав и списка литературы.

1. Аксиев А. З., Быков Я. В. О периодических решениях одного класса уравнений в конечных разностях, -В кн.: Исследования, по интегро-дифференциальным уравнениям. Фрунзе, 1980, № 13, с. 70−77.

2. Андронов А. А., Витт А. А., Хейкин С. Э. Теория колебаний.- М: Физматгиз, 1958,-915 с.

3. Андронов А. А., Леонтович В. А., Гордон И. И., Майер А. Е. Качественная теория динамических систем. -М.: Наука, 1966, -586 с.

4. Беллман Р. Динамическое программирование. — М.: Изд-во иност. лит., 1960, -400 с.

5. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. -М.: Изд-во иност. лит., 1954, 216 с.

6. Белюстина JI.H. Малые периодические возмущения грубой автономной системы. -Докл. АН СССР, 1963, т. 148, № 2, с. 251−254.

7. Бендиксон И. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. -УМН, 1941, с. 191−211.

8. Биркгофф Д. Динамические системы, М:-ЛОГИЗ, 1941.

9. Боголюбов Н. Н. О некоторых статистических методах в математической физике. Львов — Изд-во АН УССР, 1945, — 139 с.

10. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Methodes analitiqul de la theorie des oscillations nonlineaires, Proceedings of the X-th International Congress of applied mechanics, Strenag, 1960, AmsterdamNew-York, 1962, p. 9−25.

11. Боголюбов H.H., Митропольский Ю. А. The method of integral manifolds in nonlinear mechanics. Contribs, Differential Equations, 11, New-York, 1963, p. 123−126.

12. Боголюбов H.H., Митропольский Ю. А. Метод интегральных многообразий в нелинейной механике. — Тр. Междун. симп. по нелинейным колебаниям. Киев: Изд-во АН УССР, 1963, с 93−154.

13. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Метод интегральных многообразий в нелинейной механике. -Киев: Наукова думка, 1961.

14. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Метод интегральных многообразий в теории дифференциальных уравнений, -Тр. IV Всесоюзн. матем. съезда 2. Л.: Наука, 1964, с. 432−437.

15. Валеев К. Г. Использование нескольких функций Ляпунова, — В кн.- Всесоюзн. конф. по качеств, теории дифференц. уравнений. Тезисы докл. Свердловск, 1971, с. 26−28.

16. Валеев К. Г. Расщепление спектра матриц. -Киев: Высшая школа, 1986, -272 с.

17. Валеев К. Г., Жаутыков О. А. Бесконечные системы дифференциальных уравнений. -Алма-Ата: Наука, 1974, -416с.

18. Валеев К. Г., Одинаев Ф. Об исследовании устойчивости решений дифференциальных уравнений с помощью численных методов.-Изв. АН Тадж. ССР, 1973, т. 48, № 2, с. 3−7.

19. Валеев К. Г., Разин Г. А. Асимптотическое сведение квазилинейной системы. -Математ. физика, 1973, вып.12, с. 10−16.

20. Валеев К. Г., Финин Г. С. Построение функций Ляпунова.- КиевНаукова думка, 1981.

21. Ведь Ю. А., Комаров М. К. О стремлении к конечным пределам решений систем суммарно-разностных уравнений. В кн.: Исследование по интегро-дифференциальным уравнениям, Фрунзе, 1980, № 13, с. 299−309.

22. Годунов С. К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.: Наука, 1967, -375 с.

23. Голец В. Л. К вопросу возмущения устойчивого инвариантного тора динамической системы. -Укр. матем. журн., 1971, т. 23, № 1, с. 130−137.

24. Гурса Э. Курс математического анализа. —Т. П. ч. 2. Т. Ш, ч.1-М.- Гостехиздат, 1933.

25. Гуртовник А. С., Неймарк Ю. И., Исследование интегрально тороидального многообразия в критическом случае, -Радиофизика, 1971, т. 14, № 7, с.967−972.

26. Гуртовник А. С., Неймарк Ю. И., К вопросу об устойчивости квазипериодических движений. Дифференц. уравнений, 1969, т. 5, № 5, с.824−832.

27. Далецкий Ю. Л. Об устойчивости интегральных многообразий нелинейного дифференциального уравнения в банаховом пространстве. -Укр. матем, журн., 1968, т. 20, № 3, с. 376−381.

28. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. -М.: Наука, 1970. -535 с.

29. Данилов В. Я. К вопросу об инвариантных торах систем разностных уравнений. В кн.: Исследования по матем. и механике. — Киев, 1981, с. 25−31. Рукоп. деп. в ВИНИТИ 13 августа 1981, № 4034, — 81 с.

30. Данилов В. Я. Исследования квазипериодических решений нелинейных систем разностных уравнений. / Препринт 81.18. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1981,-32с.

31. Дыхман Е. Н. О принципе сведения. Изв. КазССР, 1950, 97, вып.4, с.372−390.

32. Еругин Н. П. Рецензия на книгу Малкина И. Г. «Теория устойчивости движения». Вест. Ленингр. ун-та, сер. мат. — мех., астр., 1953, № 5.

33. Еругин Н. П. Неявные функции.-Л.: 1956.

34. Жуковский В. И. К условной устойчивости в критическом случае двойного нулевого корня уравнения. -Изв. вузов, № 4, 1966.

35. Жуковский В. И. Об условной устойчивости на заданном интервале времени. Дифференц. уравнения, 1968, т. 4, № 5.

36. Задорожный В. Г. Интегральные многообразия многомерных дифференциальных уравнений. -Тр. матем. фак-та ВГУ. Воронеж, вып.1, 1970, с. 49−59.

37. Зубов В. И. Колебания в нелинейных и управляемых системах. —JL: Судпромгиз, 1962, 631 с.

38. Каменков Г. В. Избранные труды. М.: Наука, т.1, 1971. -259 с, Т II., 1972,-214 с.

39. Коддингтон Г. А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравненийМ.: Иностр. лит., 1958, — 474 с.

40. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространсютве. М.: Наука, 1967, — 464 с.

41. Крикис Ю. Ю., Рейзинь Л. Э. Гладкость асимптомически инвариантных многообразий в окрестности замкнутой траектории. -ИАН ЛатвССР, сер. физ. и техн. наук, 1964, № 4, с. 53−56.

42. Курбаншоев С. 3. Расцепление спектра матрицы, печ. ДАН РТ, т.46, № 3 -4, 2003. с. 8−14.

43. Курбаншоев С. 3. Аналитические интегральные многообразия. — Душанбе: Дониш, 1991, 375 с.

44. Курбаншоев С. 3., О некоторых аналитических свойствах нелинейных проекторов систем разностных уравнений, содержащих малый параметр // Докл. АН Тадж. ССР. -1986, -29, № 5, с. 255−257.

45. Курбаншоев С. 3. О поведении интегральных кривых на голоморфных Интегральных многообразных // Докл. АН СССР. -1990, -315, № 2, с. 287−291.

46. Курбаншоев С. 3. Об аналитических многообразиях решений систем функциональных уравнений II Укр. мат. журн., 1991,-43, № 2. с. 151 154.

47. Курбаншоев С. 3. Об инвариантных многообразиях систем разностных уравнений // Асимптотические решения нелинейных уравнений с малым параметром. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1991, — с. 79−83.

48. Курбаншоев С. 3. Построение интегральных многообразий для вырожденных и сингулярных возмушенных систем дифференциальных уравнений. // ДАН РТ. 2002, т, 45 № 5 -6, с. 28 34.

49. Курбаншоев С. 3. Синтез оптимального регулятора для систем разностных уравнений с голоморфной правой частью // Тр. Всесоюзн.конф. по теории и приложениям функц. диф.уравнеий. -Душанбе, 1987, -с. 150−152.

50. Лефщец С. Н. Геометрическая теория дифференциальных уравнений. -М.: Иностр. лит., 1961, 387 с.

51. Лыкова О. Б. Интегральные многообразия нелинейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. Тр. У. Междун. конф. по нелинейным колебаниям. Т. 1. Аналитические методы. — Киев: Изд-во АН. УССРД970, с. 375 — 379.

52. Лыкова О. Б. О существовании и поведении интегральных многообразий для систем нелинейных дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр. — Автореф. дисс. на соиск. ученной степени канд. физ. мат. наук, Киев: Ин-т математики АН УССР, 1957.

53. Лыкова О. Б. Принцип сведения в банаховом пространстве. — Укр. матем. журн., 1971, т.23, № 4, с. 464−471.

54. Ляпунов A.M. Исследование одного из особенных случаев задачи устойчивости движения. -М.-Л.: Гостехиздат, 1946.

55. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. -М.-Л.- Гостехиздат, 1950,-471 с.

56. Малкин И. Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. -М.: Гостехиздат, 1956 г., -492 с.

57. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. -М.: Наука, 1965 г.', -432с.

58. Мандельштам Л. И. Лекции по теории колебаний. —М.- Наука, 1970 г., -470с.

59. Мартынюк Д. И., Лекции по качественной теории разностных уравненийКиев: Наук, думка, 1972 г., -246с.

60. Массера X., Шеффер Х. Х. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства. М.: Мир, 1970 г.,-476с.

61. Мельников Г. И. К теории нелинейных колебаний. -Вест. ЛГУ, сер, матем. и мех. и астр., вып. I, 1964, с. 88−98.

62. Мельников Г. И. Об определении переходных процессов в нелинейных автоматических системах. —Автоматика и телемеханика. Т. XXIV, вып.1, 1965 г.

63. Миролюбов А. А., Солдатов М. А. Линейные однородные разностные уравнения. -М.: Наука, 1982, -208 с.

64. Митропольский Ю. А. Sur. les multiplicitecs integrales des systemes d" equations differentielles nenlinearies ayant un rettit parameter,-Ann. Mat. pr ba ed appl. Ser. IV, XLIX, Bologna, 119,1960, p. 181−192.

65. Митропольский Ю. А. Метод интегральных многообразий в теории нелинейных дифференциальных уравнений (Доклад на У междн. матем. конф. В.Г. Стокгольма).- Киев: Изд-во АН УССР, 1962.

66. Митропольский Ю. А., Беллан Е. П. О принципе сведения в теории устойчивости линейных дифференциальных уравнений. Укр. матем. журн., 1968 т. 20, № 5, г., с.654−660.

67. Митропольский Ю. А., Лыкова О. Б. Интегральные многообразия в нелинейной механике. М.: Наука, 1973, — 512с.

68. Митропольский Ю. А., Фодчук В. И. Об устойчивости интегральных многообразий для одного класса сингулярно возмущенных систем с запаздыванием. Укр. матем.журн., 1968, т. 20, № 6, с. 1791−1801.

69. Неймарк Ю. И. Интегральные многообразия дифференциальных уравнений. Радиофзика, 1967, т. 10, № 3, с. 321−334.

70. Неймарк Ю. И. Динамические системы и управляемые процессы, М.: Наука, 1978, -336с.

71. Неймарк Ю. И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972 г., — 472 с.

72. Неймарк Ю. И. О существовании и грубости инвариантных многообразий точечных отображений. -Радиофизика, 10, № 3, 1967, с. 321−334.

73. Немецкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.- Гостехиздат, 1949, — 550 с.

74. Осипов Ю. С. О принципе сведения в критических случаях устойчивости движения систем с запаздыванием времени. -ПМ, М, 29, вып-5, 1965.

75. Папалекси Н. Д. Собрание трудов. -М: Изд-во АН СССР, 1948, 428 с.

76. Персидский К. П. Избранные труды. Алма-Ата: Наука, 1967, т. 1, 2, -272с.

77. Персидский К. П. Некоторые критические случаи счетных систем. Алма-ата: -Идз-во АНКаз. ССР, сер. матем. и мех. 1951, вып.5, 62, с. 3−24.

78. Плисс В. А. Об инвариантных поверхностях системы двух дифференциальных уравнений. Докл. АН СССР, 1960, т. 131, № 5, с. 1022−1024.

79. Плисс В. А. О принципе сведения в теории устойчивости движения, -Дкл. АН СССР, 1964. т. 154, вып, 5,.

80. Плисс В. А. Принцип сведения в теории устойчивости движения. -Изд-во АН СССР, сер мат., 28, № 6, 1964, с. 1297−1324.

81. Плисс В. А. К теории инвариантных поверхностей. дифференц. уравнения, 1966, т. 2, № 9, с. 1139−1150.

82. Постников В. И. К теории устойчивости движения в критических случаях. —Автореф. дис. Л.- 1947.

83. Пуанкаре А. Избранные труды. В-З-х томах. —М.: Наука, 1971;1972, — т. 1−2.

84. Привалов В. И.

Введение

в теорию функций комплексного переменного.-М.: Наука, 1977, — 444 с.

85. Рейссиг Р., Сансоне Г., Конти Р. Качественная теория нелинейных диффе-ренциальных уравнений. -М.: Наука, 1974,-318 с.

86. Рапопорт И. М. О некоторых асимптотических методах в теории дифференциальных уравнений. Киев: Изд-во АН УССР, 1954, -286 с.

87. Рисс Ф. Секефальвы-Надь Б. Лекция по функциональному анализу-М.- Изд-во иностр. лит., 1954,-500с.

88. Ройтенберг Я. Н. Автоматическое управление. —М.: Наука, 1978, 551с .

89. Самойленко A.M., Мартынюк Д. И., Перестюк Н. А. Существование инвариантных торов систем разностных уравнений.- Дифференц. уравнения, 1973, т. № 10, с. 1904;1910.

90. Самойленко A.M. О проводимости системы обыкновенных дифференциальных уравнений в окрестности гладкого тороидального многообразия. -ИАН СССР, сер. матем., 30, № 5, с 1047—1072.

91. Самойленко A.M. О локальных интегральных многообразиях в окрестности переодических решений систем дифференциальных уравнений. Тр. симп. по матем. физике и нелинейным колебаниям. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1963, т. 1, № 1, с. 60−87.

92. Самойленко А. М. К теории возмущения инвариантных многообразий динамических систем, -Тр. V междун. Конф. по нелинейным колебаниям. Аналитические методы. Киев: Ин-т математики А.Н. УССР, 1970, т. 1, с. 495−499.

93. Самарский А. А.

Введение

в теории разностных схем. -М.: Наука, 1971— 552 с.

94. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики: М.: Наука, 1972, — 735 с.

95. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем М.: Мир, 1971,-309 с.

96. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -М.: Мир, 1970 г.-720 с.

97. Худойбердиев Р. Об одном применении метода интегральных многообразий. -Ташкент: Автореф. дисс. на соиск. ученой степени канд. наук, 1965.ЮО.Цыпкин Я. З., Попков Ю. С. Теория нелинейных импульсных систем. -М.: Наука, 1973.-414 с.

98. Цыпкин Я. 3. Теория линейных импульсных систем. -М.: Физматгиз, 1963, -968с.

99. Чезари JI. Асимптотические поведения и устойчивость решений дифференциальных уравнений. -М: Мир, 1964. -477 с.ЮЗ.Четаев Н. Г. Устойчивость движения. -M.-JL: Гостехиздат, 1946,-204 с.

100. Шиманов С. Н. Критический случай пары мнимых корней для систем с последствием.-ПММ, т. 25, вып-3, 1961.

101. Шиманов С. Н. Об устойчивости в критическом случае одного нулевого корня для систем с последовательностями. -ПММ, т. 24, вып.1, 1960.

102. Chaffe N. The bifurcation of one orimore closed orbita an eqnglibrum point of an antonomons differential systems., J. Diff., Ega., 1968, 4, p. 661−669.

103. Diliberto S.P. Application of periodic surfaces ta a special class of problema. -J. Diff. Ega., 1969, т. 6, № 1, p. 40−41.

104. Halanay A. An invariant surface for some linear singulary perburted systems with time lag., J. Deff., egs. 1966, т. 2, № 1, p.33−46.

105. Hale D. Integral marigolds of perturbed differential systems. Bol. Soc.Mat. Maxacana, 5, № 1,1966, p. 51−57.

106. Hufford C. Banach spaces and the perturbation of ordinary differential equations. Ann. Math. Studies, 1956, № 36, p. 173−195.

107. Kelley A. Analytic twodimensional sub center manifolds for systems with an integral, pacific. J. Math, 1969, т. 29, № 2, p.335−350.

108. Kurzweil J. Invariant manifolds for flows.- Proc. Sump. Diff. Kgs. and Dyn. Syst. Macaques, Puerto Rico, Dez., 27−30, 1965, Acad, Press New-York, 1967, p. 431−468.

109. Kyner W.T. Invariant manifolds.- Kend. Cere. Math. Palermo, 1961, т. 2. т. 10, p. 98−110.

110. Levinson N. Small periodic perturbations of an antonomons system with a stable orbit-Ann. Math., 1950, т. 52, № 3, p. 727−730.

111. Lond.W.S. Thy location of the invariant manifold for a perturbed antonomons system.- J. Math, and phys, 1961, т. 40, № 2, p. 87 102.

112. Sacker R.J. A new approach to the perturbation theory of invariant surfaces,-Comm. Pure Appl, Math., 1965, т. 18, № 4, p. 717−732.

113. Norlund N.E. Vorlesungen Uber Differenzenrochnung, — BerlinSpringer, 1924,-551s.

114. Urabe M., Geometric study of nonlinear antonomons systems.- Funcialaj Ekvacioj, 1958, т. l, p. 1−83.

115. Yoshizawa T. Stability of sots an perturbed system, funkcialaj Ekxacioj, 1963, т. 5, № 1, 1963, p. 31−69.

116. Курбаншоев С. З., Садриддинов М. М. Дифференциальное уравнение расщепления. Материалы международной научной конференции, посвященной 60-летию Т. Собирова. «Дифференциальные уравнения и их приложения». ТГНУ, Душанбе, 2000, с. 41−42.

117. Курбаншоев С. З. Садриддинов М. М Метод возмущения собственных чисел и собственных векторов матрицы. «ПаемВестник» Инс. пред. и сервиса 2001, с.57- 61.

118. Курбаншоев С. З., Садриддинов М. М. Численное отыскания корней многочленов в полосе. В Журнале Паем Вестник, Институт предпринимательства и сервиса, Душанбе, 2002, № 1, с. 17.

119. Курбаншоев С. З., Садриддинов М. М. Принцип сведения для систем разностных уравнений. // Докл. АН Республики Таджикистан 2004, том XLVII, № 4, с. 7−15.

120. Садриддинов М. Построение функций Ляпунова с помощью нелинейных проекторов. Сборник научных трудов Налогово-правового института. Душанбе 2004, № 6. с. 211−213.

121. Курбаншоев С. З., Садриддинов М. М. Построение периодических решений в сложных резонансных случаях. //Известия АН РТ. Отд. физ.-мат., хим. и геол. наук, 2008, № 2 (131), с.7−14.113.115.