Стабилизация решений первой смешанной задачи для параболических уравнений и систем с младшими членами

Диссертация посвящена изучению стабилизации решений первой смешанной задачи для параболических уравнений и систем второго порядка с младшими членами в цилиндрической области I) = > 0} х О, где О — произвольная неограниченная область пространства п > 2. Рассматривается зависимость поведения решения этой задачи при больших значениях времени I от неограниченной по пространственным переменным области П, лежащей в основании цилиндра.

Исследованию поведения при больших значениях времени решений задачи Коши и смешанных задач с однородными граничными условиями для параболических уравнений и систем посвящено большое число работ. Основная часть их касается скалярного уравнения щ =. (0.1).

Здесь А{Ь, х) — симметрическая матрица размера п х п, ее элементами являются измеримые функции х), г, у = 1, п, удовлетворяющие условию п.

СМ2 < Е < С2у2, с2 > 1, (0.2) для любого вектора у = (ух, ?/2, • • •, Уп)? Кп и почти всех (?, ж)? -О.

В работах [11], [35] было отмечено, что даже в случае уравнения (0.1) изучение зависимости поведения решения от совокупности «переменных» — неограниченной области П, коэффициентов уравнения и начальной функции (р — является непростой задачей. Поэтому в литературе выделяются две задачи, в которых стабилизация решения зависит, главным образом, только от одной «переменной»: в одном случае только от начальной функции, в другом только от области.

Если от начальной функции требовать только ограниченность, то решение уравнения (0.1) не обязано равномерно стабилизироваться. Таким образом, возникает задача о критерии равномерной стабилизации: найти условие на ограниченную начальную функцию, необходимое и достаточное для равномерной стабилизации решения.

В работах [39], [40] было найдено достаточное условие равномерной стабилизации решения задачи Коши для уравнения (0.1) с ограниченной начальной функцией. Позднее критерий равномерной стабилизации решения задачи Коши был установлен В. В. Жиковым [16] и S. Kamin [52]. Необходимым и достаточным условием равномерной стабилизации к нулю решения задачи Коши для уравнения (0.1) (см. [16], [52]): u (t, х) —> 0 при t —> сю равномерно по х? Rn, является равномерное стремление к нулю шарового среднего от начальной функции r~n J (p (y)dy —0 при г-ноо равномерно по х? Rnу—х<�г.

Аналогичный критерий в неограниченной области для второй смешанной задачи был получен А. К. Гущиным, В. П. Михайловым, Ю. А. Михайловым [11], [12], и для первой смешанной задачи — Ф.Х. Мукмино-вым [34].

Другой круг работ посвящен исследованию поведения решения смешанных задач в неограниченной области с финитной начальной функцией, ограниченной в одной из соболевских норм. В случае линейного параболического уравнения поведение решения с неотрицательной финитной начальной функцией, грубо говоря, соответствует поведению функции Грина. Отметим, при этом, что поведение решений первой смешанной задачи в неограниченной области качественно отличается от поведения решений второй смешанной задачи. Если убывание решения второй смешанной задачи для уравнения теплопроводности обеспечивается «размазыванием тепла» по все большему объему, и убывание будет тем более быстрым, чем быстрее «расширяется область на бесконечности», то убывание решения первой смешанной задачи обеспечивается, в основном, оттоком тепла через границу, и убывание будет тем более быстрым, чем медленнее «расширяется область на бесконечности». При этом фактор «размазывания тепла» действует и в случае первой смешанной задачи.

Как показано в работах А. К. Гущина [8]-[10], A.B. Лежнева [28], для уравнения теплопроводности в случае второй смешанной задачи происходит «равномерное распространение тепла» по области, состоящей из точек, удаленных от носителя финитной начальной функции на расстояние л/t.

Сформулируем условия, накладываемые в [8] на неограниченную область Q. Рассматривается функция l (v) = inf mesni (<9<5 ПШ, mesnQ=u где Q — произвольное открытое подмножество Q. Непрерывная положительная монотонно неубывающая функция g (v), v > О, удовлетворяет условию: существует такая положительная постоянная (sq < 1 /п), что функция vl~?o/g (v) монотонно неубывает для всех v > 0. Область П принадлежит классу А (д), если для всех v > 0, l (v) > g (v). Пусть начало координат принадлежит области Q. Область Q из класса А (д) считается принадлежащей классу В (д), если существуют такие положительные постоянные s, 5, R, что для любого г > R справедливы неравенства: g (v®) > s (v®)a w® < S{v{r))a% где v® = mesnQr, ГГ = {x E u: x < r}, w® — mesni{:c 6 П: |ж| = r}, 0 < «о < (n — 1)/n.

Если область fu удовлетворяет условию В (д), то решение u (t, x) второй смешанной задачи для уравнения (0.1) с финитной начальной функцией (р (х) подчиняется неравенству sup Цг, х) < c\(p\Ll{sl)/v{Vt), t > о, хео, а если начальная функция <р ф 0 еще и неотрицательна, то при достаточно больших t и неравенству supw (?,-r) > c/v (Vt).

A.B. Лежневым изучалась зависимость поведения при больших значениях времени неотрицательного решения второй смешанной задачи для параболического уравнения (0.1) от неограниченной области U и начальной функции (р. При некоторых условиях на область Q установлено, что при больших значениях времени норма решения ведет себя, как функция Ф (л/1), где.

Ф (г) = J.

0.

А.Ф. Тедеевым в работе [43] исследовалось решение второй смешанной задачи для вырождающегося квазилинейного параболического уравнения.

П d ut = Y-—ai (t, x, Vu)-Xuqu, q> 0, A > 0. (0.3) i=i dX{.

Здесь функции at-(i, x, ?), i = 1, 2,., n, непрерывны no f? Rn и измеримы no (t, x)? D и для всех т-? Rn при п.в. (t, х)? D удовлетворяют условиям п.

Е М*, Ж, f) — a{(t, X, rj)) — rji) > ci|f — rjm+ т > 1, i=l.

Iaf (*, ж, 0 — di (t, x, vj) < c2(|?| + M) m1|? -rj, i = ljn, аг-(£, ж, 0) = 0, i = 1, п.

Для неотрицательного решения второй смешанной задачи в неограниченной области из класса В (д) в случае уравнения (0.3) при Л = 0 с неотрицательной начальной функцией (р (х) Е ЬРо+1 П^оо (О), ро > 1, получены точные оценки величины М (1) = уга1 тах-и (?, х). В частности, для начальной функции удовлетворяющей условию.

1 1 с (1 + х)~а <�ср (х) <С{1 + хУ, а < ot о ро + 1)(1-«о) при достаточно больших t > 0 выведены неравенства rl/((l-ao)(m+l)+m-l)lni < < ^ri/((i-ao)(ro+i)+ffl-i) lnL.

Кроме того, в неограниченной области Q из класса А (д) при, А ф 0 установлена оценка сверху функции M (t) при достаточно больших t.

В работах [46]-[48], [36] рассматривались смешанные задачи для параболического уравнения (0.1) в нецилиндрических областях. А именно, в [48] и [36] для первой смешанной задачи в предположении ограниченности сечений области плоскостями t — const получены оценки скорости стабилизации решения в терминах первого собственного значения соответствующего эллиптического оператора на этих сечениях. В работах [46], [47] В. И. Ушаковым в предположении, что нецилиндрическая область расширяется при возрастании времени, установлена справедливость результатов, близких к приведенным выше для случая второй смешанной задачипри этом рассматривалось краевое условие, обеспечивающее сохранение энергии.

Многими авторами изучаются решения начально-краевых задач для полулинейного уравнения вида: щ = Аи — uuq, q> 0, (0.4) причем, в большинстве работ, рассматривается асимптотическое поведение при t —оо в зависимости от значения показателя q. В статье [50].

А. Оппга и Ь. Уегоп показано, что поведение решения задачи Коши для уравнения (0.4) определяется двумя факторами: начальной функцией <р и знаком 2/п — д. В частности, при <р Е ^(Яп) и д > 2/п решение ведет себя подобно уравнению теплопроводности.

В.Н. Арефьевым, В. А. Кондратьевым в [1] выведена следующая оценка решения задачи Коши для уравнения (0.4): причем установлено, что при д > 2/п показатель 7 точный. Там же рассматривалось поведение при I —оо решения уравнения (0.4), удовлетворяющего второму краевому условию. В случае ограниченной области для обобщенного решения получено представление: где V (t, x) = o (exp (—/3t)) при t 00, (3 = const > 0, С, т = const > 0. В [15] этот результат обобщен для полулинейной параболической системы общего вида. Более подробный обзор работ по стабилизации решений параболических уравнений и систем можно найти в работах.

В диссертации рассматривается первая смешанная задача для квазилинейных параболических систем второго порядка дивергентного вида и < СГ t> 0, 7 = max (l/g, n/2), и.

И, [17], Иut = div (A (i, z, Vu)) — a (i, s, u), (t, x) G ?>- (0.5) u|5 = tl>(t, x), S = {t> 0} x dQ, i/>(t, x) e Hl’s) — (0.6) u|<=0 = (p (x),.

0.7) (0.8).

Ставится задача — отыскать геометрические характеристики неограниченной области О, определяющие поведение при? —> оо следующего функционала от решения задачи (0.5)-(0.8) с финитными вектор-функциями ф (1-, х), (р (х). Целью настоящей работы является получение оценок Ь2(П), Ьоо (П)-норм решений выделенных систем в терминах найденных геометрических характеристик, установление точности полученных оценок для полулинейных систем частного вида.

Следуя [35] задачу об изучении зависимости поведения решения от геометрии неограниченной области назовем задачей «о затухании финитного возмущения». Требование ограниченности носителей начальной и граничной функций существенно, так как в противном случае скорость стабилизации решения зависит не только от области, но и от начальной функции (р даже при ф = 0 (см. [35]).

Перед тем, как перейти к изложению содержания работы введем некоторые обозначения. Положим: || • (•, -)д — норма в пространстве Ьр (0) и скалярное произведение в соответственно, причем значения ф = П и р = 2 могут быть опущеныВ (р, г) — шар радиуса р с центром в точке г Е в случае г = (0,0, ., 0) будем писать ВрРц = {х? Нп: а < х < Ъ}, 0, ьа = причем параметры, а = 0 и Ъ = оо могут отсутствовать- <9ГГ = <5гиТг, 5 Г = {х? дО,: < г}, 7 г = {х е О: х = г}- VI = (а,/3) = (а,/3) х дП, ОЦг) = а, (5) х ГГ, (г) = (а, /3) х 6 Г, причем параметры, а = 0 и (3 = оо могут отсутствовать.

Определим класс областей вращения: п = П (/) = {х е Яп, X = (х1,х'): х' < ¡-(хг), XI > 0}, (0.9) где / — положительная измеримая функция. Параметр / будем писать только в том случае, когда хотим подчеркнуть, какая именно функция f (x 1) определяет область вращения 0(/) вида (0.9). Для таких областей, ради технических упрощений, введенным обозначениям будем придавать иной смысл: Ра&- = {х Е Яп: а < х < 6}, 0, ьа = {х Е О: а < х < Ь}, 7 Г = {х Е П: х = г}, 8 Г = {х?: х < г}. Пусть существуют положительные числа такие, что яирр (р С (0.10).

Бирр ф С ^(Д*), (0.11) и начало координат принадлежит О.

Для простоты рассмотрим сначала скалярное уравнение (0.1) с коэффициентами = а^(х), удовлетворяющими условию (0.2), щ = Ьи = сНу (А (ж)Угг). (0.1').

Исследуем поведение решения первой смешанной задачи для уравнения (0.1') с однородным граничным условием из = 0, (0.12) и начальным условием (0.7), (0.8) в неограниченной области.

В ограниченной области О, для Л^-нормы решения задачи (0.1'), (0.12), (0.7), (0.8) справедливо равенство Парсеваля: оо.

1К*)И2 — Е ьк = ЫФ% г > о, (0.13) где А^ — собственные значения задачи Дирихле для оператора — Ь, а фк (х) — соответствующие ортонормированные собственные функции. Из (0.13) следует, что убывание ¿-2-нормы решения определяется первым собственым значением Ах и 61, модулем проекции начальной функции (р на первую собственную функцию ф1. Ниже будем обозначать их А^ (если Ь = Д, просто пишем А), 6, ф, соответственно.

Для неограниченной области Г) через А^(г, О), А (г, О), г > 0, обозначим первые собственные значения задачи Дирихле в ГГ для операторов —Ь, —А, соответственно. Второй аргумент будем указывать только в случае необходимости.

Условие (0.2) и представление [31, гл. IV, § 1, п. 4, формула (33)].

ЛА (г) = Ы (АУ^Уг^/И^, г > 0, позволяют оценить функцию А^(г) через функцию Л (г):

С1Л (г) < ХА (г) < с2Л (г), г > 0.

0.14).

Ф.Х. Мукминовым в [32] установлено, что, А (г) монотонно невозрастает и непрерывна на (0, оо). Обозначим через д (г. О,) максимальный радиус шара, лежащего в ГГ. Для неограниченной области вращения вида (0.9) в работе [35] получены следующие оценки: 1 Цг) <

Н1 г > 0,.

0.15).

Нд2{г) ^~ д2(гУ с некоторой постоянной Н > 1, зависящей только от п.

Проанализируем случай неограниченной области О. основываясь на формуле (0.13). Если обозначить через иг^, х) решение задачи (0.1'), (0.12), (0.7), (0.8) в множестве г > Д*, то из нее, в частности, следует неравенство и.

•001к > Ье~ХА^ г>К" t>0.

В случае неотрицательной начальной функции, согласно принципу максимума, выполнено неравенство и (1-, х) > г"г (?, ж) для п.в. х Е Ог,? > 0. При фиксированной начальной функции модуль проекции Ъ является функцией от г: Ь = Ь (г). Поэтому, учитывая (0.14), будем иметь > Ъ (г)е-С^ г>Н" t> 0. (0.16).

Мы ограничиваемся рассмотрением областей, для которых.

Иго. Х (г) — 0.

Г—>00 4 '.

0.17).

Условие (0.17), грубо говоря, означает, что в область можно поместить шар как угодно большого радиуса. Если же условие (0.17) не выполнено, т. е. спектр оператора Лапласа отделен от нуля, то, как хорошо известно, решение убывает экспоненциально. Заметим, что в случае задачи Коши ¿-2-норма решения стремится к нулю при t оо. Такой же факт, в силу принципа максимума, имеет место и для первой смешанной задачи. Поэтому для областей, удовлетворяющих условию (0.17), из неравенства (0.16) следует, что.

Физически ясно, что в случае уравнения теплопроводности убывание решения первой смешанной задачи при t оо в неограниченной области определяется двумя факторами: оттоком тепла через границу и уходом тепла на «бесконечность», т. е. перетоком на более широкую часть неограниченной области. Эти соображения согласуются с формулой (0.16). Множитель грубо говоря, соответствует оттоку тепла через границу: если г взять большим, то граница области ГГ «в среднем» становится далекой, число, А (г) устремляется к нулю и этот множитель дает «замедление» в убывании решения. Зато при этом усиливается эффект «размазывания тепла» по увеличившемуся объему ГГ (этот фактор, как было отмечено выше, является единственным в случае задачи Коши или второй смешанной задачи). В неравенстве (0.16) этому эффекту соответствует, грубо говоря, уменьшение коэффициента Ъ{г).

Чтобы исключить зависимость характеристики Ъ (г) от начальной функции мы вводим следующую взаимосвязанную с ней характеристику. Пусть фг (х) — первая нормированная собственная функция задачи.

1гт Ь (г) = 0.

Г—>00 4 '.

0.18).

Дирихле для оператора — Ь в множестве ГГ, В (2р0, — фиксированный шар радиуса 2/?о с центром в точке? лежащий в О, а начальная функция (р (х) = Хв (р0,гПоложим к (г) = - 1п Ь (г) = - 1п / фг (х)дх, г > 2. (0.19).

Из соотношения (0.18) следует, что.

1кпк (г) = оо. (0.20).

Неравенство (0.16) принимает вид и (Щ > ехр (-Ь (г) -с2Л (г)^), г >2, г > 0, (0.21) где ж) — решение задачи (0.1'), (0.12), (0.7), (0.8) с начальной функцией (р = Хв (Ро, г")• Оценка (0.21) является точной для широкого класса областей в следующем смысле.

Предложение 2.2. Пусть существуют такие положительные постоянные что для решения и^, х) задачи (0.1') — (0.12), (0.7), (0.8) с начальной функцией ср = Хв (р0,г°) имеет место оценка.

1Н*)1к < ехр (-<*1*(г)), г > Дь * > 0. (0.22).

Тогда при каж-дом t > Т найдется число г (£) такое, что справедливы неравенства ехр (-%С0)-с2А (г (ад < ||"(*)|| < ехр (-€(Л (г (0) + Л (г (0)0)> (0−23) где Т ие < С/2 — положительные константы, зависящие только от, а постоянная Т еще и от Сь п.

Нам не известны примеры областей, для которых неравенство (0.22) не выполнено. Возможно, что оно справедливо для произвольной неограниченной области. В данной же работе удалось доказать неравенство (0.22) лишь сделав конкретные предположения о виде области.

Для областей вращения вида (0.9) мы накладываем следующие ограничения.

A) Пусть функция /(г), определяющая область вращения Г1(/), удовлетворяет условию т=0°' (а24) 'Т2 <Ь, и существует положительная постоянная, А такая, что, А / - > 1, где произвольная точка z = (zi, 0'), > 1, — центр, а — радиус наибольшего шараВ (р, z), лежащего в Q (f).

B) Пусть существуют положительные постоянные 6, В такие, что г.

J fn" s) ds < Вг г > 1. (0.25) о.

Для справедливости (0.24) достаточно того, чтобы limr//® = оо. Это означает, что область можно поместить в сколь угодно узкий конус.

В § 1 главы 3 мы доказываем неравенство (0.22) для областей вида (0.9), удовлетворяющих условиям А), В), (0.17).

Таким образом, нам представляется естественным, что поведение решения первой смешанной задачи в неограниченной области должно определяться двумя геометрическими характеристиками: первая является «средней шириной» выделенного куска Qr области Г2, а вторая определяет возможность перетока тепла на бесконечность. Если на роль первой характеристики естественным претендентом является функция Л (г), то выбор второй не столь однозначен. Можно, например, взять функцию к (г). Однако, технически более приемлемой является функция z/(r, ii) = inf ||V4lilM|-2, r>0, vewlbr) где градиент V' вычисляется по п — 1 касательным направлениям к поверхности ортогональным между собой. Аналогичная характеристика неограниченной области использовалась ранее в работе O.A. Олейник и Г. А. Иосифьяна [36] при исследовании вопроса о классах единственности для параболического уравнения (0.1).

Очевидно, v{r) является первым собственным значением задачи Дирихле для оператора —А на уг, если уг — не полная сфера. Для неограниченных областей вращения вида (0.9) уг есть шар радиуса /(г) в Rn-i, поэтому из подобия нетрудно установить, что постоянная зависит только от п.

Между поведением функций и (г) и к (г) есть тесная взаимосвязь. В § 1 главы 3 для областей вращения вида (0.9), удовлетворяющих условиям А), В), (0.17), установлена следующая оценка сверху функции к (г) через функцию v® г.

Кг) < #3 /jv (s)ds, г > R2. (0.27) 1.

Здесь положительные постоянные Щ, i?2 определяются константами ci, c2, n, кроме того Щ зависит еще от Ь, А, а от функции /.

На первый взгляд, нашу точку зрения о необходимости введения двух геометрических характеристик опровергает работа [32], в которой получены точные оценки поведения решения первой смешанной задачи для уравнения (0.1), основывающиеся на одной характеристике неограниченной области. В этой работе для класса областей, удовлетворяющих условю (0.17) и lim г2А (г) = оо, (0.28) доказано, что решение задачи (0.1), (0.12), (0.7), (0.8) с финитной начальной функцией (р подчиняется неравенству sup|iz (i, < Mexp (-k (r (t))t) \<р\, t> 1, (0.29) efi в котором функция r (t) определяется из равенства A®t = r2/t. Кроме того, для одного класса областей вращения вида (0.9) в [32] установлена точность оценки (0.29). А именно, если непрерывная функция f (xi) возрастает на (0, оо) и удовлетворяет условию: существуют числа r>0, S > s > 1 такие, что f (Sx i) < sf (x i) для x > г, то неотрицательное решение задачи (0.1), (0.12), (0.7), (0.8) в области вращения 0(/) вида (0.9) с неотрицательной начальной функцией 99 удовлетворяет неравенству техр (—K (r (t))t) < sup t > 1- т > 0. еП (/).

Следующий пример демонстрирует недостаточность одной характеристики, А (г) для описания поведения решения в классе областей более широком, чем тот, который был рассмотрен в [32]. В [21] приводится пара областей О, Q вида (0.9):

П = {|ж'| < ж", > 0}, 0 < а < 1, оо п = {|ж'|<�з, zi>o}U (J?(0>

2 ?=1 с «эквивалентным» поведением функций А (г, П), A (r, Q) на бесконечности:

0-V-2a < А (г, О) < А (г, П) < вг~2а.

Здесь Б (г) — максимальный шар с центром в (Зг, 0'), лежащий в П. При этом неотрицательное решение ul{t, x) задачи (0.1), (0.12), (0.7), (0.8) с неотрицательной финитной начальной функцией (р в области Q подчиняется оценкам: ai ехр (—) < supul (t, х) < А exp (—bit^), t > t. хеп ' i.

А неотрицательное решение u2(t, х) задачи (0.1), (0.12), (0.7), (0.8) с той же начальной функцией <р в области Q удовлетворяет неравенствам:

22 exp < sup u2(t, х) < А-2 ехр (-М1^), t > ?22.

Тот факт, что в работе [32] оказалось достаточным одной характеристики Л (г), объясняется тем, что для областей вращения вида (0.9) с непрерывной возрастающей функцией /(г) характеристики Л (г), v® не являются независимыми. Более того, результат этой работы свидетельствует о том, что в рассматриваемом в ней классе областей вторая характеристика vir) не несет дополнительной информации об области, существенно влияющей на поведение решения при t —" оо.

Ф.Х. Мукминовым в работе [33] в терминах одной геометрической характеристики установлена оценка сверху Хг-нормы решения первой смешанной задачи для параболического уравнения высокого порядка. Этот результат расширен А. Ф. Тедеевым [42] на случай параболического квазилинейного уравнения высокого порядка в дивергентной форме щ + (-1)т Е DaAa (t, x, u, Du,., Dmu) = 0, то > 1. (0.30) а=т.

Здесь Aa (t, х,£) — каратеодоровы функции, удовлетворяющие условиям.

Е Aa (M, 0C>ci Е IGT, Р> 2, (0.31) a|=m |a|=m.

Е Aa (t, x,0< Мехр

— к ~г2т (г)~ 1/(2ш-1)> г И.

Здесь г (^), I > 0, — функция обратная к функции ^(г) = г/[Л (г)]^2т1)//2. Кроме того, если выполнены условия (0.31), (0.32) при р > 2, А. Ф. Тедеевым установлено, что для ограниченного решения уравнения (0.30) с финитной начальной функцией (р в области вращения вида (0.9) с /(ж!) = 0 < а < (2тр-р + 2)/(2тр+(р-2)(п-1)), при достаточно больших t имеет место неравенство.

1М*)Н.

— л м> о, положительная константа Л определяется постоянными п, а, т, р.

Уравнение (0.1) представляет собой наиболее простой случай — линейное уравнение в самосопряженной форме без младших членов. Перейдем к результатам для систем с младшими членами.

Пусть коэффициенты квазилинейной параболической системы (0.5) удовлетворяют следующим требованиям. Матрица А (£, ж, Уи), элементы которой ж, Уи), к = 1, ТУ, г = 1, п, измеримы по (/, х) Е при любых г) Е Длг ® Для п. в. (?, ж) Е О подчиняются условиям.

А (*, я,0 —: (? — «7) > - т/|2,.

А (*, ж,0 — А (/, ж, г}) < с2|£ - г]|, А (*, ж,0) — О,.

0.33).

0.34) (0.35) N где через?: г? обозначена сумма?: г] = ЕЕ I =.

1 ?=1.

Вектор-функция а (£, х, и), элементы которой ж, и), к = 1, ТУ, измеримы по (/, ж) Е при любых и, V Е Д/у для п. в. (?, х)? И удовлетворяет условиям а (£, ж, и) — а (£, ж, V)) • (и — V) > 0,.

0.36) a (i, х, u) — a.(t, v)| < сз|и — v| (|u| + |v|)?*, 0 < g* < 4/n, (0.37) a (t, x, 0) = 0, (0.38).

N «где u • v = E UkVk, |u| — u ¦ u. Далее одной точкой будем обозначать fc=1 любое суммирование по одному индексу.

Следующий пример показывает, что описанный класс систем шире, чем класс слабо нелинейных систем, и содержит в себе сильно нелинейные системы (с нелинейностями в главной части). Отметим, что условия монотонности (0.33), (0.36) являются естественными для таких систем (см. [14]).

Пример. Пусть N = 2, п = 2, положим fi (s) = s (arctan|s| + l), /2(5) = s (l + s2)/(2 + s2) и рассмотрим следующие функции.

M, i (0 = /1(6,1) + 6,2 + 6,1 + 6,2,.

Ai, 2(0 = -6,1 + /1(6,2) + 6,1 + 6,2,.

— 6,1 — 6,2 + /2(6,1) + 6,2,.

2>2(0 = -6,1 — 6,2 — 6,1 + /2(6,2) — l (u) = |u|2"i, O2(u) = |U|2W2.

Нетрудно проверить, что они удовлетворяют условиям (0.33)-(0.38). Вообще говоря, для выполнения условий (0.33) — (0.34) достаточно, чтобы каждая функция /?(s), i = 1,2, была из класса СХ (Д), обращалась в нуль при s = 0 и на всей числовой оси имела положительную производную такую, что, а < /-(s) <6, а, 6 > 0.

Вопросы существования и единственности решений краевых задач для нелинейных параболических уравнений и систем рассматривались в работах М. И. Вишика [3], Ж.-Л. Лионса [29], O.A. Ладыженской, В. А. Солонникова, H.H. Уральцевой [24], Ю. А. Дубинского [14], Г. Г. Лаптева [27] и других авторов. В основном, в них изучаются решения в цилиндрической области, ограниченной по пространственным переменным. Поэтому, для полноты изложения в § 1, 2 главы 1 мы вынуждены доказывать существование и единственность обобщеных решений из соболевских классов первой смешанной задачи для рассматриваемых в работе параболических систем в неограниченной области. Кроме того, большой объем занимает доказательство необходимых для последующих глав свойств решений.

Теоремы единственности решения задачи Коши (П = Яп) для уравнения теплопроводности в классах растущих функций были впервые доказаны Е. Хольмгреном [51], А. Н. Тихоновым [45], С. Тэклиндом [56]. Для линейного параболического уравнения (0.1) А. К. Гущиным [11] в случае второй краевой задачи и Ф. Х. Мукминовым [34] для первой краевой задачи, выделен класс единственности, близкий к классу С. Тэклинда. В § 3 главы 1 этот результат распространен на случай квазилинейных параболических систем вида (0.5). А именно, выделяется класс единственности решений задачи (0.5), (0.12), (0.7) с начальной вектор-функцией ср Е Ь2(Ог) при любом г > 0, включающий в себя вектор-функции ограниченные в каждом слое Вт = (0, Т) х О. Сформулируем это утверждение.

Теорема 1.6. Пусть и1, и2 — два обобщенных решения задачи (0.5), (0.12), (0.7) в ВТ с начальной вектор-функцией <�р (х), удовлетворяющие условию: существует такая монотонно неубывающая на полуоси [1,оо) положительная функция Н (г)} что выполнено условие оо с? г//г (г) = оо и для всех г >1, t Е [0,Т] справедливы неравенства:

АЩ1г<�е^г г = ТД (0.39) то и1 = и2 для п.в. (¿-, ж)? ВТ.

В установленном классе единственности доказывается теорема существования с экспоненциально растущей начальной вектор-функцией.

Глава 2 посвящена получению оценок решения сверху. В § 1 этой главы изучается скорость стабилизации Ьг-нормы решения задачи (0.5)-(0.8). Полагаем, что граница неограниченной области О, принадлежит равномерно классу С1, если ф (1,х) = 0, то это требование излишне. Напомним, что принадлежность границы области О равномерно классу Ск означает, что существуют такие положительные числа г1, что для произвольной точки у? дО, пересечение дО, ПВ (с?, у) связно и в местной декартовой системе координат является графиком функции, производные которой до к-то порядка включительно ограничены постоянной В данной работе к = 1,2 и вместо индексированных пишем просто Г. Считаем, что носители вектор-функций ф^, х),(р (х) ограничены так, что выполнены условия (0.10), (0.11).

Установлена следующая оценка решения задачи (0.5)-(0.8) во внешности шара и||пР < <32ехр г> 2Я*, ?>0,.

0.40) где ?2 зависит только от п, с, с2, а еще и от С3, Г2, Л*, Т*, с?, ТУ, 9?, ф. В этом смысле функция и (г) действительно характеризует возможность перетока тепла на бесконечность.

С помощью (0.40) доказывается оценка Ь2-нормы решения задачи (0.5)-(0.8). Будем предполагать, что область О удовлетворяет условию оо.

1/(5) ¿-Э = ОО.

0.41).

В случае областей вращения, ввиду (0.26), это условие равносильно оо расходимости интеграла / (Ив/?(в). Для выполнения последнего достаточно, чтобы f (s) < а (з + 1) при всех § > 0 и некоторого, а > 0, т. е. область можно поместить в какой-либо конус. В общем случае оно выполнено, например, если во внешности области можно поместить бесконечный конус как угодно малого раствора. Определим функцию I > 0, из равенства 1.

0.42).

Определение корректно, поскольку левая часть равенства (0.42) монотонно невозрастая стремится к нулю в интервале р > 1, а правая часть монотонно возрастает в этом же интервале. Заметим, что для областей вращения вида (0.9), из (0.26), (0.42) следует равенство.

Теорема 2.1. Пусть область О, удовлетворяет условиям (0.17), (0.28), (0.41), граница области принадлежит равномерно классу С1, для коэффициентов системы (0.5) выполнены соотношения (0.33)-(0.38), и и (£, ж) — решение задачи (0.5)-(0.8). Тогда найдутся такие положительные числа зависящее только от С1, С2,п, и Мо, зависящее еще от О, Л*, Г*, ТУ, сз, с?, Р, (р, ф, что для всех? > Т* справедливо неравенство.

При дополнительных требованиях на коэффициенты системы (0.5) и границу области О, в § 2 главы 2 устанавливаются оценки других норм решения. Для решения системы уравнений получены оценки Ь-2-норм производных, входящих в систему, и равномерная оценка решения. Здесь Ьи = сЦу (А (х)Уи) — эллиптический оператор, определяемый набором симметрических матриц А (х) = (Ах (х), А2(х), ., Ам (х)) размера п х п, с измеримыми элементами акм (х), к = 1, ТУ, г= 1, п. Компоненты вектора Ьи вычисляются по формуле [Ьи]* = сЦу (А*(ж)Уи*) =? (ак,^Щх) ¦ При этом предг,)—1 ^ ' полагается, что для матриц Ак (х), к = 1, ТУ, выполнено условие (0.2). Таким образом, для любого? ? 0 Яп при п.в. ж 6 О справедливо неравенство:

0.43) и (*)|| < Моехр (-коХ (р (ф).

0.44) и^ = Ьи — а (и).

0.5').

0.2').

Т1 где = Е акм&л.

3=1.

Непрерывная вектор-функция а (и) для любого и 6 подчиняется неравенствам а (и) • и > О, (0.36') а (и)| < с3|и|^+1, 0 < д* < 4/п. (0.37').

Теорема 2.2. Пусть непрерывно-дифференцируемая вектор-функция а (и) удовлетворяет условиям (0.36'), (0.37'), (0.36) или (0.37) и.

Уа (и)| <�с4|и|" 0 < д* < 4/п, (0.45) для дифференцируемого набора матриц А (х) справедливо соотношение (0.2') и.

УА (яг)||?<�сб, р>п, (0.46) область О удовлетворяет условию (0.41), граница области О принадлежит равномерно классу С2. Тогда для п = 2, 3,4 при в > 1, ?>5 + 2 для решения и (?, ж) задачи (0.5'), (0.12), (0.7), (0.8) справедливо неравенство.

Уи (0|| + |Ы0|| + ||У2и (<)|| < (4 —^{СзНиМЦ.} (0.47).

Кроме того, для п = 2,3 при я > 1,? > 5 + 2 имеет место равномерная оценка и (*, ж)| < (* - 5)1/204||и (5)||, х Е П. (0.48).

Константы Сз, С?4 зависят только от сг-, г = 1, 5, п, ./V, с?, Р, р. Отметим, что в (0.47) и (0.48) можно взять з =? —2, тогда правые части этих соотношений, согласно (0.44), убывают экспоненциально. В § 3 главы 2 рассматривается система иг = (Цу (А (*, ж) Уи) — а (|и|)и. (0.5″).

Предполагается, что набор матриц А (£, х) такой же, что и в системе (0.5'), удовлетворяющий условию (0.2') при п.в. Е И. Функция а (и) неотрицательная непрерывная монотонно неубывающая. Исследуется ограниченное решение задачи (0.5″), (0.12), (0.7) с ограниченной начальной вектор-функцией.

Теорема 2.3. Пусть область О, удовлетворяет условиям (0.17), (0.28), (0.41), для набора матриц A (t, х) выполнено соотношение (0.2'), функция а (и) неотрицательная непрерывная монотонно неубывающая и и (t, x) — решение задачи (0.5″), (0.12), (0.7), (0.49), тогда для п.в. х Е fi, t > 0 справедливо неравенство.

Константы M, k зависят только от ci, c2, n, а М еще и от.

В главе 3 устанавливается точность по порядку стремления к нулю при? —> оо оценок, полученных в главе 2. В § 1 этой главы доказана точность оценки (0.44) для решения уравнения (0.1') с однородным граничным условием (0.12) и начальной функцией <р = Хв (р0,г°) Б областях вращения вида (0.9), удовлетворяющих условиям (0.17), (0.28), А), В).

В § 2 главы 3 показана точность оценки (0.50) для решения уравнения (0.1) с неотрицательной функцией (р (х) в областях вращения вида (0.9), удовлетворяющих условиям (0.17), (0.28) и следующим требованиям.

С) Пусть существует положительная функция /1 (г), г > 0, такая, что ${г) < /(г), г > 0, и для области О (Д) справедливо условие А). Причем найдется положительная постоянная С такая, что выполнено соотношение ф) еь2(0)ПЫ0).

0.49) u (t, x) < Mi exp (—ki (p (t))t).

0.50) fi, Як, IMIr > 2.

0.51).

Очевидно, что для всего класса рассматриваемых нелинейных систем оценки (0.44), (0.50) не могут быть точными. Например, если N = 1 и д* = 0 в (0.5″), то спектр соответствующего эллиптического оператора расположен ниже — 1 и убывание Т^-нормы будет не медленнее, чем е~г. Однако для конкретного вида систем можно установить точность оценок (0.44), (0.50) (см. [22]). В § 3 главы 3 рассмотрена сиздесь q* — положительное число. При этом предполагается, что область вращения вида (0.9) удовлетворяет следующему условию.

Е) Пусть существует положительная постоянная Е такая, что при всех г > 1 справедливо неравенство Ef{r) > 1.

Теорема 3.1. Пусть область вращения П (/) вида (0.9) удовлетворяет условиям (0.17), (0.28), А), В), Е), u (t, x) — неотрицательное ограниченное решение задачи (0.5″ '), (0.12), (0.7), (0.49) с, А = А (х) и начальной вектор-функцией ср (х) = Хв (р0,г°)> zo — (1,0'). Тогда найдутся положительные числа ко, зависящее только от n, ci, c2', Ко, зависящее еще и от 6(/), А (/) — Мо, тоо, зависящие еще от f, po, q*', То, зависящее еще от /, что справедливы неравенства.

Теорема 3.2. Пусть область вращения П (/) вида (0.9) удовлетворяет условиям (0.17), (0.28), С), Е) и и (£, ж) — неотрицательное ограниченное решение задачи (0.5'"), (0.12), (0.7), (0.49) с неотрицательной ограниченной начальной вектор-функцией <�р (х) ф 0. Тогда найдутся положительные числа к, зависящее только от п, сх, с2- К, зависящее еще и ога А (/х), С (/,/1) — М, гп, зависящие еще от/, Д*, д*, что стема (0.5″) с а{|u|) = |u|"*, и^ = div (A (i, a-)Vu) — |u|9*u,.

0.5″ ').

0.52) справедливы неравенства ~• (~ т ехр —К 1< vrai sup |u (i, х) < М ехр —к.

V ®-ей (/) V t > Ть (0.53).

Положительная постоянная Т определяется функциями /, Д. Основные результаты диссертации опубликованы в [18]-[22]. Автор выражает искреннюю благодарность и глубокую признательность своему научному руководителю Мукминову Фариту Хамзаевичу за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

1. Арефьев В. Н., Кондратьев В. А. Асимптотическое поведение решений второй краевой задачи для нелинейных параболических уравнений// Дифференц. уравнения. — 1993. — Т.29. — № 12. — С.2104—2116.

2. Богоявленский О. В., Владимиров B.C., Волович И. В., Гущин А. К., Дрожжинов Ю. Н., Жаринов В. В., Михайлов В. П. Краевые задачи математической физики//Труды МИАН. — 1986. — Т.175. — С.63—102.

3. Вишик М. И. О краевых задачах для квазилинейных параболических систем и уравнений и о задачи Коши для гиперболических уравнений //Доклады АН СССР. — 1961. — Т.140. — № 5. — С.998—1001.

4. Гагнидзе А. Г. О классах единственности решений краевых задач для параболических уравнений второго порядка в неограниченной области//УМН. — 1984. — Т.39. — № 6. — С.193—194.

5. Гагнидзе А. Г. О единственности решения задачи Коши для параболического уравнения с растущими коэффициентами//Сообщ. АН ГССР. — 1988. — 131. — № 2. — С.241—243.

6. Гагнидзе А. Г. О единственности решения задачи Коши для параболических уравнений высокого порядка с неограниченными коэффициентами//Сообщ. АН ГССР. — 1989. — 134. — № 3. — С.469— 471.

7. Галактионов В. А., Дородницын В. А., Еленин Г. Г., Курдюмов С. П., Самарский A.A.//Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. — М., 1986. — Т.28. — С.95—205.

8. Гущин А. К. Об оценках решений краевых задач для параболического уравнения второго порядка//Труды матем. ин-та АН СССР им. В. А. Стеклова. — 1973. — Т.126. — С.5—45.

9. Гущин А. К. Некоторые свойства обобщенного решения второй краевой задачи для параболического уравнения//Матем. сб. — 1975. — Т.97(139). — С. 242—261.

10. Гущин А. К., Михайлов В. П., Михайлов Ю. А. О равномерной стабилизации решения второй смешанной задачи для параболического уравнения второго порядка//Матем. сб. — 1985. — Т. 128. — С. 147—168.

11. Дубинский Ю. А. Слабая сходимость в нелинейных эллиптических и параболических уравнений//Матем. сб. — 1965. — Т.67(109). — т. — С.609—642.

12. Дубинский Ю.А.//Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения. — М., 1976. — Т.9. — С.5—130.

13. Егоров Ю. В., Кондратьев В. А., Олейник O.A. Асимптотическое поведение решений нелинейных эллиптических и параболических систем в цилиндрической области//Матем. сб. — 1998. — Т.189. — т. — С.45—68.

14. Жиков В. В. О стабилизации решений параболических уравнений// Матем. сб. — 1977. — Т.104(146). — С.597—616.

15. Калашников A.C. Некоторые вопросы качественной теории нелинейных вырождающихся параболических уравнений второго по-рядка//Успехи мат. наук. — 1987. — Т.42. — № 2. — С.135—176.

16. Кожевникова JI.M., Мукминов Ф. Х. Оценки скорости стабилизации при t —оо решения первой смешанной задачи для квазилинейной системы параболических уравнений второго порядка//Матем. сб. — 2000. — Т.191. — Ш. — С.91—131.

17. Ладыженская O.A. О единственности решения задачи Коши для линейного параболического уравнения//Матем. сб. — 1950. — Т. 27(69). — С.175—184.

18. Ладыженская O.A., Солонников В. А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. — М.: Наука, 1967. — 736 с.

19. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. — М.: Наука, 1973. — 576 с.

20. Ландис Е. М. О зависимости классов единственности решения второй начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности в неограниченной области от геометрии области//ДАН СССР. — 1984. — Т. 275. — С.790—793.

21. Лаптев Г. Г. Априорные оценки и существование сильных решений полулинейных параьолических систем//Дифференц. уравнения. — 1998. — Т.34. — № 4. — С.518—522.

22. Лежнев A.B. О поведении при больших значениях времени неотрицательных решений втрой смешанной задачи для параболического уравнения//Матем. сб. — 1986. — Т.129. — № 2. — С.186—200.

23. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. — М.: Мир, 1972.

24. Максимова Н. О. О единственности решений задачи Коши и краевых задач в неограниченных областях для некоторых классов квазилинейных вырождающихся параболических уравнений//Труды семинара им. И. Г. Петровского. — 1985. — Вып. 11. — С. 12—31.

25. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. — М.: Наука, 1983. — 424 с.

26. Мукминов Ф. Х. Стабилизация решений первой смешанной задачи для параболического уравнения второго порядка//Матем. сб. — 1980. — ТЛ 11(153). — № 4. — С.503—521.

27. Мукминов Ф. Х. Об убывании нормы решения смешанной задачи для параболического уравнения высокого порядка//Дифференц. уравнения. — 1987. — Т.23. — № 10. — С. 1172—1180.

28. Мукминов Ф. Х. О равномерной стабилизации решений первой смешанной задачи для параболического уравнения//Матем. сб. — 1990. — Т.181. — № 11. — С.1486—1509.

29. Мукминов Ф. Х. Стабилизация решений первой смешанной задачи для системы уравнений Навье-Стокса: Автореф. дис. докт. физ.-мат. наук. — М., 1994. — 27 с.

30. Олейник O.A., Иосифьян Г. А. Аналог принципа Сен-Венана и единственность решений краевых задач в неограниченных областяхдля параболических уравнений//УМН. — 1976. — Т.31. — № 6. — С.142—166.

31. Олейиик О. А., Радкевич Е. В. Метод введения параметра для исследования эволюционных уравнений//УМН. — 1987. — Т.ЗЗ. — Вып. 5. — С.7—76.

32. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1964. — 272 с.

33. Порпер Ф. О. О стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения с переменными коэффициентами//ДАН СССР. — 1963. — Т.153. — С.273—275.

34. Порпер Ф. О., Эйдельман С. Д. Теоремы о близости решений параболических уравнений и стабилизация решений задачи Коши// ДАН СССР. — 1975. — Т.221. — С.32—35.

35. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. — М.: Наука, 1988.

36. Тедеев А. Ф. Стабилизация решений первой смешанной задачи для квазилинейного параболического уравнения высокого порядка// Дифференц. уравения. — 1989. — Т.25. — № 3. — С.491—498.

37. Тедеев А. Ф. Оценки скорости стабилизации при I —> оо решения второй смешанной задачи для квазилинейного параболического уравнения второго порядка//Дифференц. уравнения. — 1991. — Т.27. — № 10. — С.1795—1806.

38. Тедеев А. Ф. Стабилизация решений начально-краевых задач для квазилинейных параболических уравнений//Укр. мат. журн. — 1992. — Т. 44. — № 10. — С.1441—1450.

39. Тихонов А. Н. Теоремы единственности для уравнения теплопро-водности//Матем. сб. — 1935. — Т.42(84). — С.199—216.

40. Ушаков В. И. О поведении решений третьей смешеанной задачи для параболических уравнений второго порядка при t оо// Дифферент уравнения. — 1979. — Т.15. — С.310—320.

41. Ушаков В. И. Стабилизация решений третьей смешанной задачи для параболического уравнения в нецилиндрической обла-сти//Матем. сб. — 1980. — Т.111(153). — С.95—115.

42. Черемных Ю. Н. О поведении решений краевых задач для пара бо-лических уравнений второго порядка при неограниченном возрастании t//Матем. сб. — 1968. — Т.75(117). — С.241—254.

43. Эйдельман С. Д. Оценки решений параболических систем и некоторые их применения//Матем. сб. — 1954. — Т.ЗЗ. — С.57—72.

44. Gmira A., Veron L. Large time behaviour of the solutions of a semilinear parabolic equation in RN//J. Diff. Eq. — 1984. — V. 53. — № 2. — P.258—276.

45. Holmgren E. Sur les solutions quasianalytiques dTequations de la chaleur//Arkiv for mat., astr., och fys. — 1924. — V.18. — № 9. — P.64—95.

46. Kamin S. On stabilisation of solutions of the Cauchy problem for parabolic equations//Proс. Soc. Edinburgh, Sect. A. — 1976. — V. 76. — № 1. — P.43—53.

47. Knowles J.K. On Saint-Venant's principle in the two-dimensional linear theory of elasticity//Arch. Rat. Mech. Anal. — 1966. — V.21. — P. I— 22.