Некоторые обратные задачи с данными Коши. 
Разрешимость «в целом» и стабилизация

В различных областях науки и техники с целью познания закономерностей работы некоторого объекта или природного явления проводятся эксперименты самого различного вида Цель эксперимента — выявление главных закономерностей процесса и формирование на их основе некоторой математической модели Однако очень часто на практике встречаются ситуации, когда объект исследования либо принципиально недоступен для наблюдения, либо проведение такого эксперимента дорого В этом случае приходится делать заключение о свойствах изучаемого объекта или явления по измеренным в ходе эксперимента косвенным проявлениям [24].

С точки зрения соотношения причина-следствие все задачи математического моделирования можно условно разделить на два больших класса прямые задачи (известны причины, необходимо найти следствия) и обратные (известны следствия, нужно найти причины).

Обратными задачами для дифференциальных уравнений принято называть задачи определения коэффициентов, правых частей дифференциальных уравнений, границ области, граничных или начальных условий по той или иной дополнительной информации о решениях уравнений.

В связи с тем, что практически все обратные задачи являются некорректными с точки зрения их постановки, то существенный прогресс в исследовании стал возможен лишь в последние десятилетия в связи с развитием теории некорректных задач, большой вклад в разработку которой сделан отечественными математиками А. Н. Тихоновым, М М Лаврентьевым, В. К. Ивановым, Морозовым В, А и многими другими [26], [37], [42], [66], [68].

Первые результаты о разрешимости одномерных обратных задач принадлежат Г Герглотцу [78] и Е. Вихерту [86]. Результаты, связанные с изучением многомерных обратных задач, были впервые получены Ю М Бе-резанским в работе [21] Дальнейшее исследование многомерных обратных задач проводились М М Лаврентьевым [38, 42], В. Г. Романовым [57, 60], Ю Е Аниконовым [1, 6], А. Д Искендеровым [29, 31], М. В Клибановым [34], А И Прилепко [46, 47], Н Я Безнощенко [8, 11] и другими Одномерные обратные задачи для дифференциальных уравнений в частных производных рассматривались, например, в [41].

Обратная задача называется одномерной, если идентифицируемые коэффициенты или функция источника зависят только от одной переменной, в противном случае обратная задача — многомерная.

Вопросы, рассматриваемые в диссертации, в основном связаны с задачами идентификации входных данных параболических уравнений и систем составного типа.

Краевые задачи определения коэффициентов или функции источника для параболического уравнения в предположении независимости искомых коэффициентов (функции источника) либо от временной переменной, либо от пространственной переменной рассматривались в работах [22], [25], [64], [75], [77], [83], [85] и других.

В работах [61, 62, 63] исследовалась корректность обратных задач для параболических уравнений, когда искомый коэффициент или функция источника зависит от всех переменных и имеет вид $(?)д (х) или /(?) + д{х) В [70] доказана однозначная разрешимость многомерной обратной задачи определения функции источника х) параболического уравнения, которая зависит от всех независимых переменных, входящих в уравнение, и представима в виде F (t, ж) = f (t)g (x).

Обратным задачам для параболических уравнений с данными Коши в случае одного и двух неизвестных коэффициентов посвящены работы [8, И], [12, 19], [75], [17], [17].

В диссертации получены следующие результаты.

1 Доказана однозначная разрешимость «в целом» одномерной обратной задачи для системы составного типа, состоящей из параболического уравнения и уравнения первого порядка, в случае, когда оба уравнения содержат неизвестную функцию источника, которая зависит только от временной переменной Изучено поведение решения обратной задачи при t +оо.

2 Доказаны теоремы однозначной разрешимости «в целом «для обратной задачи идентификации двух функций источника для системы составного типа в многомерном случае Исследованы вопросы стабилизации решения при t —» -|-оо.

3 Исследовано поведение решения многомерной обратной задачи идентификации функции источника для многомерного параболического уравнения при t —У +оо Получены достаточные условия ограниченности решения и его стремления к нулю при t —> +оо.

Все сформулированные выше задачи рассматривались в случае данных Коши В основе исследования разрешимости рассматриваемых задач лежит метод, позволяющий с использованием преобразования Фурье переходить от обратной задачи к прямой задаче для интегродифференциального уравнения или системы уравнений Процедура сведения обратной задачи к прямой впервые предложена Ю Е Аниконовым Далее такой подход к исследованию корректности обратных задач был развит в работах [4],[5], [6], [14], [15], [22], [75] и др.

Основным методом, применяющимся в диссертации при доказательстве разрешимости задач и исследовании поведения их решений при t —> +оо является метод слабой аппроксимации (МСА). Данный метод формировался в основном в работах российских математиков Н. Н Яненко, А, А Самарского, их учеников и последователей В [16] приведено подробное описание МСА и систематизированы имеющиеся результаты.

Диссертация состоит из введения, главы, в которой приведены некоторые вспомогательные утверждения, трех глав собственных исследований, списка цитируемой литературы и списка работ автора по теме диссертации.

1. Аниконов Ю. Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений. — Новосибирск: Наука Сиб отд 1978.

2. Аниконов Ю Е Об однозначности решения обратной задачи для квантового кинетического уравнения// Матем. сборник 1990 Т181 N1 С 68 74.

3. Аниконов Ю Е Обратные задачи математической физики и биологии/ / ДАН СССР 1991 Т 318 N6 С 1350 1354.

4. Аниконов Ю Е. Псевдодифференциальные операторы и обратные задачи Новосибирск — 1986 (Препринт / АН СССР Сиб от-ние Вычислительный центр, N671).

5. Аниконов Ю Е, Белов Ю Я Об однозначной разрешимости одной обратной задачи для параболического уравнения // ДАН СССР 1989 Т306 N6 С 1289 1293.

6. Аниконов Ю Е, Бубнов Б, А Существование и единственность решения обратной задачи для параболического уравнения // ДАН СССР 1988 Т 298. N4 С 777 779.

7. Антонцев С Н, Кажихов, А В, Монахов В Н Краевые задачи механики неоднородных жидкостей Новосибирск. Наука 1983.

8. Безнощенко Н Я О задаче Коши для уравнения щ — А и + иАи = / // Дифференциальные уравнения. 1983 Т21 N6 С 991−1000.

9. Безнощенко Н Я Об определении коэффициентов при младщих членах в параболическом уравнении// СМЖ 1975 Т 16 N 3 С 473 482.

10. Безнощенко Н. Я. Об определении коэфициента при младшем члене общего параболического уравнения // Дифференциальные уравнения 1976 Т12 N 1 С 175 176.

11. Безнощенко Н Я. Об определении коэффициентов при старших производных в параболическом уравнении// Дифференциальные уравнения 1975 Т11 N4 С 19−26.

12. Белов Ю Я Обратная задача для уравнения Бюргерса // ДАН СССР 1992 Т 323 N3 С 385 388.

13. Белов Ю Я О расщеплении одной обратной задачи для многомерного параболического уравнения //ДАН СССР 1995 Т345 N4 С 441−444.

14. Белов Ю Я, Ахтамова С С. О некоторых обратных задачах для параболических уравнений // ДАН СССР 1991 Т316 С 791 795.

15. Белов Ю Я, Ермолаев, А С Об одной обратной задаче идентификации коэффициентом многомерного параболического уравнения В сб «Комплексный анализ и дифференциальные уравнения» , — Красноярск КрасГУ 1996 С 16−27.

16. Белов Ю Я, Кантор С, А Метод слабой аппроксимации КрасГУ, 1999.

17. Белов Ю Я Полынцева С В Об одной обратной задаче с двумя неизвестными коэвффициентами// Труды III международной конференции «Симметрия и дифференциальные уравнения «Красноярск институт вычислительного моделирования СО РАН 2002 с 60−65.

18. Белов Ю Я Полынцева С В Об одной задаче идентификации двух коэффициентов многомерного параболического уравнения//ДАН 2004 г. т.396 № с.583−586.

19. Белов Ю Я, Саватеев Е Г Об одной обратной задаче для параболического уравнения с неизвестным коэффициентом при производной по времени Ц ДАН СССР 1991 Т334 N5 С 800 804.

20. Белов Ю Я, Яненко Н Н Влияние вязкости на гладкость решения в неполно параболических системах // Матем заметки 1971 Т10 N1 С 93−99.

21. Березанский Ю М Об однозначности определения уравнения Шредин-гераЦ ДАН CCQP 1953 -В 93, N4. С 591 594.

22. Бубнов Б, А К вопросу оразрешимости многомерных обратных задач для параболических уравнений Новосибирск — 1989 (Препринт /АН СССР Сиб отд Вычислительный центр N87 — 714).

23. Владимиров В С Уравнения математической физики М Наука 1981.

24. Ватульян, А О Математические модели и обратные задачи // Соро-совский образовательный журнал. 1998, № 11 — С 143−148.

25. Волков В М Обратная задача для квазилинейного уравнения параболического типа// Дифференциальные уравнеия 1983 Т 19 N 12 С 2166 2169.

26. Гласко В Б Обратные задачи математической физики М МГУ 1979.

27. Ильин, А М, Клашников, А С, Олейник О А. Линейные уравнения второго порядка параболического типа // Успехи мат. наук. 1962. — Т. 17, № 3. — С.3−146.

28. Исаков В М Одна обратная задача для параболического уравнения// Успехи матем наук 1982 Т 32 N2 С 108 109.

29. Искендеров, А Д Многомерные обратные задачи для линейных и квазилинейных параболических уравнений// ДАН СССР 1975 Т 225 N5 С 1005 1008.

30. Искендеров, А Д Об одной обратной задаче для квазилинейных параболических уравнений// Дифференциальные уравнения 1974 Т 10 N5 С 890 898.

31. Искендеров АД., Тагиев РК Задачи оптимизации с управлениями в коэффициентах параболического уравнения// Дифференциальные уравнения 1983 Т 19 N 8 С 1324 1334.

32. Камынин В Л. Об однозначной разрешимости обратной задачи для параболических уравнений с условием финального переопределения //Матем. заметки 2003 — т 73, вып 2 — с 217−227.

33. Камынин В Л Асимптотическое поведение решений квазилинейных параболических уравнений в ограниченной области //СМЖ- 1994 т 35 № 2 С 340 358.

34. Клибанов М В Обратная задача для параболического уравнения и одна задача интегральной геометрии// СМЖ 1976 Т 17 N 3 С 564 -569.

35. Колмогоров, А Н Фомин С В Элементы теории функций и функционального анализа М. Наука. 1989.

36. Кожанов, А И. Уравнения составного типа и нелинейные обратные задачи для эллиптических и параболических уравнений Новосибирск, 1998 29с (Препринт/ РАН Сиб отд Ин-т математики, N54).

37. Лаврентьев ММ О некоторых некорректных задачах математической физика Новосибирск СО АН СССР 1962.

38. Лаврентьев М М Об одном классе обратных задач для дифференциальных уравнений// ДАН СССР 1965 Т 160 N1 С 32 35.

39. Лаврентьев М М, Васильев В Г, Романов В Г Многомерные обратные задачи для дифференциальных уравнений Новосибирск Наука Сиб" «отд 1969.

40. Лаврентьев М М, Резницкая К Г Теоремы единственности нелинейных обратных задач для уравнений параболического типа// ДАН СССР 1973 Т 208 N3 С 531 532.

41. Лаврентьев М М, Резницкая К Г, Яхно В Г Одномерные обратные задачи математической физики Новосибирск Наука Сиб отд 1982.

42. Лаврентьев М М, Романов В Г, Шишатский С П Некорректные задачи математической физики и анализа М Наука 1980.

43. Михайлов В П Дифференциальные уравнения в частных производных-Ш Наука 1976.

44. Новик О Б Задача Коши для системы уравнений в частных производных, содержащей гиперболический и параболический операторы // Журнал ВМ и МФ. 1969. Т.9. N1. С.122 136.

45. Понтрягин Я. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения М Наука 1982.

46. Прилепко, А И Избранные вопросы в обратных задачах математической физики Новосибирск Наука 1992 С 151 — 162.

47. Прилепко, А И Обратные задачи теории потенциала (эллиптические, параболические, гиперболические уравнения переноса) // Матем заметки 1973 Т 14,15.

48. Прилепко, А И, Костин, А Б О некоторых обратных задачах для параболических уравнений с финальным и интегральным наблюдением //Матем сб 1992 Т 183. N4 С 49−68.

49. Прилепко, А И, Костин А. Б Об обратных задачах определения коэффициента в параболическом уравнении I// СМЖ 1992 ТЗЗ N3 С 146 155.

50. Прилепко, А И, Костин, А Б Об обратных задачах определения коэффициента в параболическом уравнениа II// СМЖ 1993 Т 34 N5 С 147 162.

51. Прилепко, А И, Орловский Д. Г Об определении параметра эволюционного уравнения в обратных задачах математической физики 1// Дифференциальные уравнения 1987 Т 23. N1.0 119 -125.

52. Прилепко, А И, Орловский Д Г Об определении параметра эволюционного уравнения в обратных задач математической физики. 3// Дифференциальные уравнения. 1987. Т.23. N.8. С.1343 1352.

53. Прилепко, А И, Соловьев В В О разрешимости обратных краевых задач определения коэффициента перед младшей производной в параболическом уравнении //Дифференциальные уравнения, 1987 Т23 N1 С 136 143.

54. Рихтмайер Р Звук и теплопроводность // Некоторые вопросы вычислительной и прикладной математики НовосибирскНаука 1966 С 183 — 185.

55. Рихтмайер Р, Мортон К Разностные методы решения краевых задачМ Мир 1972 418с.

56. Романов В Г Обратные задачи математической физики M Наука- 1984, 251с.

57. Романов В Г К теоремам единственности одного класса обратных задач// ДАН СССР 1972. Т 204 N5 С.1075 1076.

58. Романов В Г Об одной обратной задаче для параболического уравнения/ / Матем заметки 1976 Т19 В 4 С 595 600.

59. Романов В Г Обратные задачи для дифференциальных уравненийНовосибирск НГУ 1973.

60. Романов В Г Теорема единственности и устойчивости для нелинейного операторного уравнения// ДАН СССР 1972 Т 207 N 5 С. 1051 -1053.

61. Саватеев Е Г О некоторых обратных задачах для параболических уравнений//ДАН 1995. Т.340 N5 С.595 596.

62. Саватеев ЕГО задаче определения функции источника и коэффициента параболического уравнения//ДАН 1995 Т 344 N5 С 597 598.

63. Саватеев ЕГО задаче идентификации коэффициента параболического уравнения// СМЖ 1995 Т36 N1 С 177−185.

64. Соловьев В В О разрешимости обратной задачи определения источника с переопределением на верхней крышке для параболического уравнения//Дифференциальные уравнения 1989 Т25 N9 С 1577- 1583.

65. Тихонов АН О влиянии радиоактивного распада на температуру земной коры// Изв АН СССР Отд математики и естественных наук Серия география и геофизика 1937 Т 3 С 431 460.

66. Тихонов АН Об устойчивости обратных задач/ / ДАН СССР 1943 Т5 N39 С 195 198.

67. Тихонов, А Н Об обратной задаче для нелинейного дифференциального уравнения// Журнал ВМ и МФ 1983. N1 Т23 С 95 101.

68. Тихонов, А Н, Арсенин В Я Методы решения некорректных задачМ Наука 1979.

69. Шипина Т Н Некоторые обратные задачи с данными Коши Дисс канд фм наук / Шипина Т Н Красноярск, 1999 — 90 с.

70. Шипина Т Н Обратная задача Коши для параболического уравнения В сб «Комплексный анализ и дифференциальные уравнения», -Красноярск КрасГУ 1996 С 253 -266.

71. Яненко Н Н Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики Новосибирск, 1967 — 195с.

72. Anikonov Ju. Е. Inverse problems and classes of solutions of evolution equations // J Inv Ill-Posed Problems 2003 V 11, N 51 P 1−26.

73. Anikonov Ju E Inverse problems for evolution and differential-differense equations with a parameter //J Inv Ill-Posed Problems 2003. V 11, N 5 P 439−474.

74. Belov Yu Ya Inverse Problems for Partial Differential EquationsUtrecht VSP, 2002 211p.

75. Belov Yu Ya Inverse problems for parabolic equations// J Inv Ill-Posed Problems 1993 VI N4 P 283 305.

76. Belov Yu Ya and Shipma T N The problem of determining the source function for a system of composite type// J Inv 111 Posed Problems 1998 V6 N4 P 287 — 308.

77. Cannon J R and Yanpmg Lm Determination of a parameter p (t) in some quasi linear parabolic differential equations//J 111 — Posed and Inverse Problems 1988 V 4 N1 P.595 — 606.

78. Herglotz G Uber die Elastizitat der Erde bei Berucksichtigung inter Variablen Dichte. Zeit sehr fur Math und Phys 1905 Bd52 N3 S 275 -299.

79. Kozhanov AI Composite Type Equations and Inverse Problems // Utrecht: VSP. 1999.

80. Kozhanov A.I. On solvability of an inverse problem with an unknoun coefficient and right-hand side for a parabolic equation, I // J Inv Ill-Posed Problems 2002 V 10, N 6 P 547−658.

81. Kozhanov A I On solvability of an inverse problem with an unknoun coefficient and right-hand side for a parabolic equation, II // J Inv Ill-Posed Problems 2003 V 11, N 5 P 505−522.

82. Riganti R and Savateev E On the solution of an inverse problem for the nonlinear heat equation// Rapporto Interno 1991 N25 Politecnico di Tormo Tormo.

83. Riganti R and Savateev E Solution of an inverse problem for the nonlinear heat equation //Comm m Partial Differntial Equation 1994 V 19. N9&10 P 1611 1628.

84. Riganti R and Savateev E Inverse problem for the nonlinear heat equation with final overdetermmation // Rapporto Interno 1995 N7 Politecnico di Tormo Tormo.

85. Wiechert E und Zoeppntz K Uber Erdbebenwellen Gotmgen Nachr Komgl Geselschaft 1907 N4 S 415 — 549Список работ автора по теме диссертации.

86. Р В Сорокин О стабилизации решения одной обратной задачи для системы соствного типа // Вестник Красноярского государственного университета, серия «Физико-математические науки» N" 1, 2005 г.

87. РВ Сорокин, ТН Шипина Об однозначной разрешимости одной, обратной задачи для системы составного типа в многомерном случае // Вычислительные технологии 2004, т 9, ч 3, с 59−68.

88. Р В Сорокин, Т Н Шипина О разрешимости одной обратной задачи для системы составного типа // Вычислительные технологии 2003 т 8, ч 3 с 139−146.

89. Р В Сорокин, Т Н Шипина О разрешимости одной обратной задачи для системы составного типа // Тезисы докладов VII Всероссийской конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука и образование» Томск 14 — 18 апреля 2003 г С 45 — 47.