Корректная постановка краевой задачи Римана с коэффициентом, имеющим разрывы почти-периодического типа

Пусть Г — замкнутый простой гладкий ориентированный контур, разбивающий расширенную комплексную плоскость на два открытых множества f> и Fr, для кадцого из которых Г является границей. Через Fp обозначим множество, которое находится слева от контура Г. В дальнейшем ради простоты будем предполагать, что точка z = 0? Рр и Z = оо е р|- f.

На контуре Г рассматривается краевая задача Римана a (h) ГЩ = f (t),^Г /1/ где a (l), l (i) — заданные на Г функции, и граничные значения на Г слева и соответственно справа искомой функции *P (z), голоморфной на плоскости, разрезанной вдоль кривой Г. Идея конструктивного решения задачи /I/, в ограничительных предположениях относительно функции Q (-t) иf (t), с помощью интеграла типа Коши была высказана Т. Карлемалом [бб] ещё в 1922 году, а полное решение задачи в пространстве Нуц (г) гельдеровских функций было дано Ф. Д. Гаховым [б] в 1937 году в предположении, что Ct (-t) €• M^® > a (t)+0. i^T. После этого были проведены её многочисленные исследования с целью ослабления требований, предъявляемых к коэффициентам задачи /I/. Обзор этих работ содержится в монографиях [б], [38], [б2], [l4], [19], [34], [зб] .

Основной результат при решении задачи /I/ состоит в том, что при [ Cirj Q-(-t)] г>0 задача разрешима при любой правой части, а её решение зависит от? произвольных комплексных постоянныхпри 96<0 задача всегда имеет единственное решение в случае её разрешимости, а условиями разрешимости являются х условий ортогональности правой части некоторым элементам сопряженного пространства.

Зависимость числа решений от приращения аргумента функции a (t) отчетливо подтвердилась в работах Н. В. Говорова [7], [в]- [9], его учеников [з], [48], [49] и последователей [бО], [5l], [45], [i], появившихся в печати, начиная с 1964 года, в которых была рассмотрена краевая задача Римана на луче или прямой с бесконечным индексом. В этой задаче приращение Qrcjatt) при 0(5ходе контура Г равно too. Она была исследована при различном асимптотическом поведении функции argа (Ь). При этом основное свойство задачи Д/ состоит в том, что в случае «плюс-бесконечного» индекса однородная задача имеет бесконечное множество линейно независимых решений, а неоднородная разрешима при любой правой части. В случае же «минус-бесконечного» индекса однородная задача имеет единственное решение, а неоднородная разрешима лишь при выполнении бесконечного числа условий ортогональности правой части. Фактически при этом изучалась задача Римана с коэффициентом, имеющим на бесконечности специальный разрыв второго рода, и её решение разыскивалось в классе ограниченных функций.

В 1968 году И. Ц. Гохбергом и И. А. Фельдманом [ll] был рассмотрен интегрально-разностный оператор Винера-Хопфа.Значение этой работы состоит в том, что в ней впервые в теории интегральных уравнений типа свертки появились вопросы, связанные с бесконечным индексом /см. также[бб]/. Оказалось, что указанный оператор Винера-Хопфа является односторонне обратимым в Lp (qoo), но его ядро или коядро зависят, вообще говоря, от подпространства Lp[o, 6]. Это явление связано с тем, что символ оператора имеет в бесконечно удаленной точке разрыв второго рода вида exp (tfa)/6>R /, который этими авторами был назван почти-периодическим. Вслед за этим И. Ц. Гохбергом и А. А. Семенцулом [12], [47] был: рассмотрен в пространстве Lp ((~, k) сингулярный интегральный оператор с коэффициентом, имещим конечное число почти-периодических разрывов, построена для него теория односторонней обратимости. Эти результаты были дополнены в работах В. Б. Дыбина и С. М. Грудского [25], [1б], [1б] описанием ядра и образа указанного оператора и конструкциями обратных операторов. В этих работах, а также в диссертации С. М. Грудского [17] были установлены новые связи теории сингулярных интегральных уравнений с бесконечным индексом с крутом идей М.М.Джрбашяна-Б.Я.Левина, относящихся к проблемам комплексной интерполяции и базисов в различных классах аналитических функций в пространствах Ц^, Lp, Ер. В частности, оказалось, что описание ядер и коядер сингулярных интегральных операторов с коэффициентами, имеющими разрывы почти-периодического типа, может быть дано в терминах специального клао-са 3-р ((.

Зб], [20], [22], [2l], [43] /.

Ф.Д.Берковичем и Е. М. Конышковой [з] была рассмотрена краевая задача Римана с коэффициентом вида expfitfx) в классе ограниченных функций. В том же пространстве на замкнутом контуре С. М. Грудским [l8] б ни исследован общий случай задачи /I/ с коэффициентом, имещим конечное число почти-периодических разрывов. Отметим также работы [58], [44], в которых построена Ф~ теория сингулярных интегральных операторов, а [р (Г, к.) с так называемыми полу-почти-периодическими разрывами у их коэффициентов. Мы не останавливаемся здесь на целом классе исследований задачи /I/, имеющей бесконечное число решений или условий разрешимости из-за особенностей контура Г / бесконечное число компонент, спиралеобразные точки и т. д. /. Наконец заметил, что проблема бесконечности решений и условий разрешимости особенно часто возникает в многомерных ситуациях. Одним из первых на это обратил внимание В. А. Какичев [зо], [ас], [32].

Принимая во внимание приложения и традиции теории дифференциальных уравнений, отметим, что для задачи /I/ в описанной выше ситуации является актуальным вопрос о её корректной постановке. Под корректной постановкой краевой задачи обычно понимается такая её постановка, когда задача безусловно и однозначно разрешима, а её решение устойчиво по отношению к малым изменениям исходных данных. На этот вопрос обратил внимание ещё Ф.Д.Гахов/[б], с.138−139 /. Устойчивость по отношению к изменению коэффициентов краевого условия непосредственно вытекает из того, что: I/ решение задачи даётся в явном виде через интеграл типа Коши, 2/ интеграл типа Коши есть оператор ограниченный и, следовательно, при малых изменениях плотности / в классе / получает малые приращения. Таким образом, в неисключительных случаях краевая задача Римана устойчива." / Здесь подразумевается случай краевой задачи с конечным индексом /. В зависимости от величины индекса может нарушаться либо однозначность, либо разрешимость задачи. В случае ?>0 решение содержит произвольные постоянные, поэтому для достижения однозначности на решение накладываются дополнительные условия, а именно требуется, чтобы решение неоднородной задачи Римана /I/ удовлетворяло Ж условиям, при которых оно и его производные в произвольно выбранных точках принимают наперед заданные значения. ПриЖ<0, чтобы получить корректную задачу, т. е.безуоловно разрешимую, «возможно два пути: I/ ввести в свободный член краевого условия некоторые произвольные элементы, 2/ расширить класс решений, считая допустимыми в некоторых точках полярные особенности» / [б], с. 139 /. Более сложный вопрос об устойчивости задачи /I/ по отношению к возмущению контура исследовал Л. АЛи-кин [58.1,.

Особое значение вопрос корректной постановки имеет для задач с бесконечным индексом. Одновременно ясно, что он не может разрешаться так просто, как в случае конечного индекса, поскольку он связан с общими проблемами теории единственности аналитических функций и проблемами распределения их значений.

Пусть С — линейный ограниченный непрерывно обратимый справа оператор в банаховом пространстве X и dim. kerC=ocf система элементов Ц} ^ является базисом в КегС. Тогда существует единственный элемент подпространства КегС, на котором система функционалов tyJ^i* являющаяся биортогональной к {ej^, принимает заданные значения. Таким образом, добавляя к уравнению задачу о моментах <�х^>-Хк, K^Z, мы добиваемся единственности его решения. Если при этом X = (з^с-? лежит в некотором банаховом пространстве Xi и — 11 ty" + «то1да получаем непрерывную зависимость решения от исходных данных JpX, освХ^.

Если С — линейный ограниченный непрерывно обратимый слева оператор в банаховом пространстве X, тогда пространство X можно представить в виде ХОглС+МГ. Следовательно, для любого (j^X существует единственный элемент уf kerCА такой, что уравнение Cx=l|+lJy однозначно разрешимо в X, а его решение удовлетворяет оценке 11×11? СII.

Вышеизложенное является основной идеей дальнейших построений, а из предыдущего видно, что задача корректной постановки связана с описанием ядра и коядра оператора, построением базисов в них и биортогональных систем и изучением коэффициентов разложения по этим базисам. Другой подход постановки корректной задачи Ри-мана с бесконечным индексом предложен В. Н. Монаховым и Е.В.Семен-ко [37], [46]. Эти авторы исходят из описанного вше классического подхода и предлагают единственное решение задачи Римана выделять требованием его обращения в нуль в бесконечном множестве точек комплексной плоскости, не лежащих на контуре. В диссертации Е. В. Семенко осуществлена корректная постановка задачи Римана для полуплоскости с единственным разрывом у её коэффициента на 00 при достаточно общих условиях на тип бесконечного индекса. В данной работе мы рассматриваем частный вид бесконечного индекса почти-периодического типа, но решаем более общие задачи: конечное число разрывов, случаи компактного и некомпактного контуров, построение биортогональных базисов в ядре и коядре операторов, различные варианты корректной постановки задачи, обобщение на двумерный случай.

Остановимся подробнее на основных моментах нашего исследования. Через Р* обозначим проекторы следующего вида P± = ^(I±S), где S — сингулярный интегральный оператор Коши-Лебега на вещественной оси. Пусть ac^R, >, J>k€R KGVT • j>(x)= Itt+ir п loc-XKr. В пространстве 1-р (Й, р) рассмотрим следующую задачу.

А 4>)(х) = (Р+А (х) + а (х)(Р>)(а) = {(х). /2/.

В простейшем случае при а (х) = гхр (?6х)/ 6>о / получаем, КегА — ехр (Сбх)) P" (lf (ft, pY).

В связи с высказанными выше соображениями возникает вопрос об описании базиса в 3-p (R, p). Эта проблема разрешается с помощью следующей теоремы, различные варианты и обобщения которой изучались многими авторами [59], [33], [54], [Зб], [21], [22], [43]. Через ^ обозначим пространство двусторонних последовательностей абсолютно суммируемых в степени р с весом Ь, где.

Теорема I. При о sirifrfe+tfl] у И)" С" R и*t сг сходится на R в норме LplR, p), представляет собой функцию класса 3-p (R, p) и даёт изоморфное отображение пространства (р,$ на.

Простым следствием теоремы I является построение биортого-нального базиса в следующего вида г<�±(г]- 4-expltiSx).

В задаче /2/ коэффициент Q (oc) имеет разрыв на оо. Перенесение разрыва в конечную точку R получается с помощью действия на оператор, А изометрических операторов вида.

Mix) — скз) (ь'т-^^^-т), т.

C = l3C+il pll|xm-ock| Г осуществляющих изоморфизм «банаховых пространств и L^ hP й, V- 0, at*., V5- где.

Kim.

П. р0=р-2-рZj)K. Так как операторы Ь" коммутируют с оператором 5, то оператор, А =Е> АЬ также имеет вид /2/ с коэффициентом, А t6*.

ClIx^x), у которого в точке Хт разрыв вида ехр^г^, Заметим, что этот приём с использованием всей группы дробно-линейных преобразований позволяет изучить операторы, подобные оператору, А на произвольных окружностях шеи прямых комплексной плоскости. Вместе с тем мы получаем возможность рассмотрения оператора, А с конечным числом почти-периодических разрывов у функции а (х), которую мы реализуем’при рассмотрении задачи Римана в пространстве LpCf^k), где Г — гладкий замкнутый простой контур. В этом случае вопрос об описании подпространств КегА и со Jeer, А связан с более общими, чем новыми пространствами Mf-to.t^.-.t^ аналитических во всей плоскости функций, имеющих конечное число существенно особых точек to,^,—." ^ °о специальной асимптотикой поведения в их окрестности [15], [1б]. Приведём здесь результат, доказанный в [l5], [1б] для простейшего оператора.

Через Lp (^jL)обозначим пространство измеримых на Г функций, сум> г" мируемых в степени р, 1<�р^оо, с весом L (-t)= Д^^П > «U6',.

Пусть PrT = -|-(IiSr), где Sr — сингулярный интегральный оператор Коши-Лебега на.

Теорема 2. Пусть 6ГМаргумент направляющего вектора внешней нормали к кривой Г в точке t, argQe =9r (l0) .

Для того, чтобы отличная от тождественного нуля функция f (t) принадлежала Ker (Prf +ехр -^-Р"), необходимо и достаточно, чтобы т) = (i — mi где (Г, ^ аналитически продолжима во всю комплексную.

— II плоскость i?, за исключением *=-t0, являющейся для неё существенно особой точкой и исчезает на. В окрестности точки z=-t0 функция f (z) допускает следующие оценки.

IttOl*const Г р — r= Iz-U, larj (z-fc.)-9r (01*f- < const r p exp (-^r-cos[arg-U-10)-9r (-to4)],.

При этом предполагается, что точка является узлом веса LGfe) с показателем Jb0, .

Мы даем новое описание ядра оператора Дг, порожденного левой частью уравнения /I/ в случае, когда a (t) = i* ft ехр (С qfrfj ,.

L^r, fad. 3E — целое число. Если аа)=П rf] и числа arwmln) таковы, что CLft)? L^(f), имеем кегО, /4/ где Am= рг+ + cu (t) Рг~ • Далее, предложение / [1б], с. 38 / об устойчивости ядра оператора Ащ относительно любых гладких возмущений контура Г вне окрестности точки t^, позволяет свести вопрос об отыскании кегА^ к случаю окружности. Наконец, эти рассуждения вместе с теоремой I позволяют построить базис в пространстве Рг (кегАг который в случае окружности является биор-тогональным. Мы детально останавливаемся на исследовании задачи для произвольной окружности по следующим причинам: I/ этот случай даёт вспомогательную модель для изучения случая замкнутого контура, 2/ случай окружности, как, впрочем, и случай прямой, позволяет строить простые базисы в ядре и коядре оператора, которые являются изометрическим преобразованием классического ортогонального тригонометрического базиса, 3/ и, наконец, случай окружности / как: и прямой / очень важен ввиду известных связей между краевой задачей Римана и уравнениями типа свёртки.

Переход с окружности на замкнутый гладкий контур Г связан с биортогонаяьными системами, метод построения которых указан в работе М. М. Джрбашяна [20]. Но биортогональные системы в данном случае сложны и мы даём некоторый набросок построения корректной задачи в данном направлении.

Техника тензорных произведений [бб], а тазсже свойства целых функций экспоненциального типа ^ ¦¦¦/") «принадлежащих Lp (Rh), [40], позволяет переносить описанные выше результаты на многомерный случай. Мы ограничились для демонстрации этих возможностей изучение двумерной задачи следующего вида.

D^p-cp + + /5/.

По аналогии с двумерной задачей стад 4 tS!1 <гад -1 г e.

— целые числа, изучавшейся В. А. Какичевым [зо], [31], [32], оператор D всегда имеет замкнутый образ. Однако в зависимости от соотношений между числами 6L / с <�н7б / могут возникнуть следующие ситуации: операторТ> может быть обратимым, односторонне обратимым, или иметь замкнутый образ, но при этом ядро и коядро его бесконечномерны. Подпространства KerD иСОкегФ могут быть разной массивности, т. е. зависеть от произвольной функции класса шш aj?"Lp. шш дажеЙрЫрЫЦ®

В связи с большим количеством различных ситуаций мы рассмотрели только типичные случаи задачи /5/, а корректная постановка осуществлена лишь для уравнения.

I — Р") Ч> + а" (=с) ал*) ес<�Гя Р" «Ч> = |, /6/ на котором существо дела проявляется в достаточно общей ситуации.

Работа состоит из введения, трёх глав и приложения. В I. I описано пространство 2Lp (R-p), приведено доказательство теоремы I, которое опирается на схему доказательства Б. ЯДевина [Зб], и получено нами независимо от работы [2l]. В 1.2 определены пространства 3Lp (Rz), 3Lp1® Lp, Lp®3.p2 и найдены базисы в них. Глава 2 посвящена корректным постановкам одномерной задачи Ри-мана. В 2.1 описано общее решение задачи /2/ для полуплоскости, при этом бесконечномерное ядро оператора разложено по базису,* что позволяет, в частности, выделить единственное решение. Здесь также осуществлена корректная постановка смешанной задачи. В 2.2 рассматривается задача Римана с коэффициентом, имеющим конечное число разрывов почти-периодического типа на гладком контуре Г «получены формулы типа /4/, описывающие ядро оператора, в котором строится базис. В 2.3 осуществлена корректная постановка задачи Римана на произвольной окружности, а также рассмотрен парный оператор. В 2.4 даётся корректная постановка задачи Римана на произвольном гладком контуре Г в случае, когда все точки разрыва коэффициента задачи лежат на окружности, целиком расположенной в или Fr. В 3.1 рассмотрены четыре типичных случая задачи /5/. Описаны ядро, образ оператора и вид обратного оператора / там, где он существует /. В 3.2 осуществлена корректная постановка задачи для уравнения /6/ при всевозможных значениях С 61. v 2.

В приложении рассмотрено уравнение TQX=| в пространстве^, где Та — те плице в, а матрица функции L2(ro), имеющей почтипериодический разрыв на единичной окружности. Для такого уравнения поставлена корректная задача.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [2з], [24] и в работах [2б], [27], [28~], [29 ], выполненных автором совместно с научным руководителем. Результаты совместных работ принадлежат их авторам в равной мере. По материалам диссертации были сделаны доклады на Ш конференции по комплексному анализу и дифференциальным уравнениям / г. Черноголовка, Ногинский научный центр АН СССР, март 1981 г. /, на семинаре по интегральным уравнениям в институте экономики Ш УССР / рук. проф. Литвинчук Г. С. /, на семинаре по теории псевдодифференциальных операторов Ростовского государственного университета / рук. проф. Симоненко И. Б. /, на научной конференции Новочеркасского политехнического института / апрель 1984 г. /.

Ниже символами 4 и>> обозначается начало и конец доказательства.

I. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ КЛАССЫ И БАЗИСЫ.

I.I. Пространство Через Lp (R, p^, тсф! / здесь п) будем обор> р> pjx) — IЗС41Г п0 /1.1.1/ значать банахово пространство измеримых функций, суммируемых на вещественной оси R в степени р с весом п к=о гдеuj^p-i, -i<> + j|oAc <р-< .

Через обозначим подпространттво р±- (LP (R, РnS). г' т.

Пусть Г0 — единичная окружность ИМ, tfc~tmL (iK-L)/(xK4t)]. Оператор Ьт, определенный равенством гкг/' /1.1.2/ осуществляет изоморфизм пространства L^^p^ на пространство ЩГоД) / [и], с. 35 /. Изометрия этих двух пространств имеет место, если А"-р-Ч ^ с&bdquo-=£ р П1и-Ур

К = о и, И.

J>=p-2 — IjbK * Обратный к оператору Ь^ имеет вид t-frr). Д. 1.3/.

Таккак S=?SrA, то L*CR, pJ = eC (L*(ro,[^.

Пусть р (х>р0(х). Линеал всех целых функций экспоненциального типа 4 б' /0 <�б'<�с>о д принадлежащих будем обозначать.

— 16 -" а^м =^р ^.

Основным результатом данного параграфа является доказательство теоремы X, Презде, чем приступить к нему, приведём ряд вспомогательных результатов и определений. В пространстве рассмотрим оператор Р+ + expiree) Р~ Д. 1.4/ для которого справедлива следующая теорема.

Теорема I.I. Пусть (Е±Ч)(х) = exp (+ix<�НЗ.р*^ = =(E-l) (с!рГр) .Если б<0, то Atfi0 обратите слева, 1то= (f tLpC^p)!

E'^j^x) еLp'(R, p)} • Обратный с соответствующей стороны оператор имеет вид А$ 0 = А-<$-0 •.

В случае р^Н теорема I. I получена в [25]. Изложенная там схема доказательства верна и в случае пространства Lp (R, p). Кроме того, утверждения теоремы 1,1 могут быть доказаны с помощью теоремы 2, так как оператор А^ подобен оператору Аг = Р + + ч>[" Ш Рг- • А<0= в-в.'.

Из теоремы I. I, в частности, следует в силу инъективности в пространстве ЦДр) операторов 1-Е'1 и E-I, что линеалы замкнуты в Lp (R, p) .

Определение. Классом /-Кр^оо / называется класс функций |(z), голоморфных в полуплоскости Ц ЪО и удовлетворящих условию А.

ШН4 = suj)(ji|(x4i^|pp (x4i^doc р сю.

Через р+(*) обозначим такую ветвь многозначной функции р4(г)i. J>n J (z+iH ПС2-х, с) т. которая аналитична в верхней полуплоскости. Очевидно, что отображение F: Нр^-" Hp, действующее по пра.

Ft!-) = р+(з), есть изоморфизм. Из общего1 вида линейного ограниченного функционала в пространстве Hp вытекает следующее предложение: пространством, сопряженным к является пространство р^. Это означает, что все линейные ограниченные функционалы из (Нр,+р)* имеют вид я.

Пусть ^>0 .

Лемма I. Если с? где tfObH^j,^ • то e. xp (c?6-).

4 Покажем, что функция.

1(2) — |Ь) принадлежит пространству Lp®. Заметим, что tyU) является целой функцией экспоненциального типа ^{f, так как по условию.

4Ш Ipfj, .

Для достаточно больших сс имеет место неравенство л.

A h 2 h.

I 1 lx-xK| > с Icc+il14-" '.

Тогда.

Rм -сю М.

— м.

2 М max I V (х)|р + IXUM to х А.

•М doc)^ + Ц (о)1 (j Пар")'У.

— во.

— d>o и м.

— М.

12. locu|p 1 C5.

— oo M llfx) lp loc+LP doc С.

5 J.

•M tfof (1 |(x)lp p (g')dq.

L П 4 iW* П te-atJ.

— oo 1 c,.

½ (M l|(a:)lp p (x)dx ^.

L P oo llcx))Pp (x)dcc P И.

— M.

1 p.

— 60 с [/2 i cx> X л M i. p Co.

Ci +.

Таким образом, SLp (R^) с Еу .На основании теоремы Винера.

Пэли / [2], с. 179 / всякая функция jfe), принадлежащая классу, допускает представление.

9(2)^(0) + ^ Jei24(u)clu- 44 и) б L2[-<f-б]. б.

Очевидно, что функция.

Яб* cccci* щ Je ^(u-rtdu & LpfR4) .

Поскольку оба слагаемые в правой части последнего равенства аналитически продолжимы в верхнюю полуплоскость, то си (г)? Покажем, что | ] U) l-fc)cbbU°° • Действительно,.

Ж)сЫ =, г с* l (^-|(o)JL ехр (ад j (t)dt| * IJ е —i-at.

— t.

MzMdh сfc.

RM-m, M] ПгахИ’И! -+С, ьт r ы ct-u moxii’wi +сптил р / здесь ^ = ^ /. Тогда di li+U^pTc^ со.

S[ ехр (i6x)<>x) =4 I cJWcbfc + exp (i6x).

Действуя ещё раз на последнее равенство оператором S, получаем, что S[eapU6b0f (a3] = ехр (сбх) f (х), т. е. ехр (с*г)?(*) е Hp*j> > Лемма 2. Если if, то.

P’J" ч i 1.

Из леммы I следует, что ехр (Сбг)|(г) б Н^. Воепользу емся следующим неравенством [57] но. ч J^l.

ЪГ из которого вытекает утверадение леммы для (J>0. Для lj • Следствие. Пусть HtR. Бели ((г) т то j UMppix) dx ^ j | |(а>шУ|Рр (зс-и1нО dx. /i.i.b/.

R R.

4 Пусть IfrK Ipp • Тогда.

H.) также является целой функцией экспоненциального типа ^(Г и, как следует из леммы 2, принадлежит пространству Lp (R, p (x+ilul)). Рассмотрим функцию = = {(z+lR) р ^ (о:-* ily+Hl) • Из леммы 2 получим равенство R.

Учитывая, что = Цх+in) р p (cc+lh) и полагая в левой части последнего равенства у=-Н., получим неравенство /1.1.5/. > Демма 3. Если, то для любого 2 = cc+i^ l|(z)l 4 А |2| eocpfclyl) + (0)|, где, А — некоторая положительная постоянная. Так как [ - |(о)] /z? E>

I^UA exp OlLfl) / [2], с. 184 /. Утверждение леммы следует из неравенств Ifc)!-^(о)| ^ | (2)-|(сй| ^ Alzleocpfctyl}. >

Лемма 4. Пусть Ф (г)?Нр*р и Wпоследовательность точек, удовлетворящих условиям.

1. О < t) ^ 1 т л с к^оо ;

2. I An-AK1 > 2i) >0 (ПФК) • Тоз^ца.

4 Из определения класса Нр^ следует, что к.

I \ Ыъ)*?{ъ)6б?. ^mx4L^lpp (0CHy)dxcl^ кМцр. Д. 1.6/.

Так как функция ц>(г)р+(г>^(s) (i+ijf+t)" p П (ос+Су.является голоморфной в области у>0, то функция 1^РСг)1 рр (г) есть субгармоническая в верхней полуплоскости и, значит, имеет место неравенство / см., например, [4], с. 81 / г is-xj^i) из которого с учётом /1.1.6/, следует утверждение леммы. > Леша 5. Пусть и — последовательность iv net точек, удовлетворяющих условиям.

I., 2. lAh-KU2fl.

Тогда при Ц > Ь,.

IE UMPp (AK-bLK^CH)^U (x)||?. /1.1.7/.

Ч Так как является субгармонической в полосе l3rn? Uk. то справедлива следующая цепочка неравенств.

311)12 J J ||(Н# p (2+LM.) d*r k. 2k.

1 j |fl (a+iij-tWlPp (i+i^+L (l-|-k))doccl^ ^.

Zk || < 2k II |(0C-lk) p^(oc+L (tt-$) II.

Hf .—'Y Lp® г kcl Ux-Л) pWi tollPLp№) 42ксебкр (jRl|(x)|pp (oc)dxV сн II? И Lpu, j>v.

В последнем неравенстве использована лемма 2. >

Следствие. Бели З-pfp и^htl ~ нули Фун103¹¹ ф, , то где A-Jb + I^K. А.

4Пусть HeR. Так как последовательностьpfA (£+Lk)/f|KI+'l) является сходящейся при 1к1-*(c)о, то для 1к1>М имеет место неравенство.

С2(|К1+Л <С, (П<|4^. /1.1.8/.

Последнее неравенство будет иметь место и для ||.

Из неравенств Д. 1.7/ и 1.1.8/ следует утверздение следствия.> Доказательство теоремы I. Рассмотрим отрезок ряда /3/ ф у И’ск SLfiUCz+tyfl.

Так как функция Ф^Ф * 3-р^р), то из /1.1.5/ при H>maoc (q-tf) имеем p (x+in)dx) ^.

Л К.

I «1 / К ip А. i ^ exp (2ffm-6yn J I1 plxt? H))p. /I-I>9/ функция w к + * It 6Hp*i > где и поэтому.

HIU = Slid ЦчЧаУИхМх! -нрш '= < R f m г «А* С I.

11 h*-™-1-^* 1 • /1Л-10/ Функция +(х) есть предельное значение функции голоморфной в верхней полуплоскости. Применяя теорему о вычетах к последнему интегралу ж используя лемму 4, получим m к—, па.

R Л IЫХч-(? U (Н^Й U.

3 1 /i.i.ii/ Из неравенства /1.1.8/ при Ak=TIicff и (у+н) получим p^A^pf V^H.) 4 iki+h) • Учитывая последнее, а также неравенства /1Д.9/-Д .1.Ц/ имеем г т.

Так как (произвольные, то последовательность является фундаментальной, и, следовательно, ряд /3/ сходится в Lp (ft, p). а его сумма | (ос) t LP (R, p), причем II 4 Иц^р) 6 С II ^.

Покажем, что ряд /3/ представляет собой функцию класса .

Подействовав на него операторами Р*, которые ограничены в Lp (R р), и учитывая, что n+f $ 1а№±^-±Г + 1J.

Р ПГ^Г J-2L cc-f+itf ~ ^hbf^Mbx) exp[i64tuVtol -2expfee) expUtfCx+tyfl exp[-i6″ (x-<-ty)] получим.

Рассмотрим в пространстве Lp (R, p) оператор, определенный равенством /1,1.4/. Поскольку функция.

Чт> 6 ' Ck ссf + tg") € 3-p.f то по теореме I. I, А = (1 — expf-ixff)4) fe mfx) s кег. В силу замкнутости КегА функция.

Ф (х)-?пг Фе (>) = 0-ехр (-1сс^(Р+|)(х^ с кегА^. и, следовательно, (Р+{)(х) €¦ Э.®-4. Аналогично показывается, что.

Г’Р.

— 25.

Р" Г)(*>а?р — Так как {[х) =(P%x)f то Таким образом ряд /3/ каждой последовательности ста~ вит в соответствие функцию, принадлежащую g. cг, т. е. даёт линейное отображение всего в З. р, р. Покажем сюрьективность этого отображения. Пусть {(?) — произвольная функция из. По следствию из леммы 5 — ^l^fpjРяд.

•rf б' принадлежит пространству JLp^ и поэтому для него справедлива оценка | Хъ exp [бу) + 1 г (о)1 / А>0 / / см. лемму 3/. Рассмотрим целую функцию г (г).

Г (z) =.

Так как всюду вне непересекающихся кружков К^ радиуса R с центрами в корнях функции Stnfez+L^] выполняется неравенство / см. [36], лемму I /.

I sin [fffe+iyfll > CRexp[0, тогда для любых Z=X + ty вне кружков Kj получим.

I H’WUcntelexpt-fl'l^+yl] +с2|г (н)1 eap[;

Iz-S- + Ltfl=R также имеет место нерайенство Жг)| игах (0. 14 ё) — а 1¹ + Е .По принципу максимума аналитических ll-Jj+CsUR функций получим, что внутри кружков Kj имеет место оценка.

MjrVCffUR.

По обобщенному принципу Лиувилля получим, что ^(2) — Р,(г), где Р,(?0 — линейная функция. Тогда.

Так как функции |(х) и Ф) принадлежат пространству, то последнее равенство имеет место тогда и только тогда, когда Р,(2-)=01″ Таким образом,.

Следствие I. Пространство замкнуто в метрике Lp (R^p) и представимо в виде прямой суммы своих подпространств = Р^(Х^) и = Р (<ЦрУ.

Следствие 2. Система функций.

SiriUCz + lfffl I (R) образует базиа в пространстве .

Следующее предложение дает метод построения биортогональных базисов в подпространстве U^p .

Предложение I. I Пространство изометрично любому из гч <г±г г подпространств dp, p. Рассмотрим отображение (A+f)(x) = expfyj {(х) и покажем, что оно изометрично действует из в Ipfp. Для этого достаточно показать, что А+ осуществляет биекцию 1р*р на. В самом деле, если, то функция.

Ш) — Jlo) С.

II* (ь) см, лемму I / и, следовательно, имеет место представление Г 1.

1Ы)= |(о) + гт + ^ I е’гЧ (и)сЦ +(a)" Lj-f.fl. 2.

Тогда функция.

А^Н-^Й-е^М+ге'т+лЙ J * V (u-f).

4 /Г О б + жение (Аf)(x)~eocpf-)ilx) произвольную функцию из переводит в функцию пространства l? p .

5″ .

Вводя отображение А: —*, действующее по правилу.

А{)(ас) —ехр (~~2Г)1(ос), можно показать изометричность прост.

Г 1 ' ранств и. >

Следствие. Отображение (E{)fe) =ехр (С^|й /Е: / является изометричным.

4 Оператор Е можно представить в виде произведения изомет-ричных операторов Е. 3 А+Al.

Предложение 1.2. Пусть б>0, ^ R, K*Z .

Системы функций.

С — €Хр[-1(Г (хну)].

Хк.

— i — expli^a-ny)].

Н^" х.

1.1.12/ а О — q 6 + jr"" * * Р’Р И Р’Р '.

Биортогонаяьная к е^Сх) система функций имеет вид г, 1 пС (гЛ- 4 — ехр[-1бЧзс-СуД —j Первое утверждение следует из предложения 1.1,т.к. А.

I Зт[|Ы^] ^ / stn[f (x+ty)] j, t^W^e АЛ x-sps-fty.

Нетрудно видеть, что функции, eftc) принадлежат пространству L2UQ ., Пусть.

Uw преобразование Фурье функции f (x). Имеют место следущие равенства.

— 27)10. ч б" t'.

— Г.С.

V (PKe.

Поэтому.

K'^bJeJWgjWdx.

— 29[1Рс-од№е * J, Рс. одие J)=?Je.

Следствие. Системы функций.

KC.Z /1.1.14/.

Р <г / у. Siriffx /1.1.15/.

X-Tlk^) > образуют биортогональные базисы соответственно в ПОДПрОСТраНСТ-ряг Ч (3 Г r’j1 *.

I.I. Пространство dLp (R2>).

Пусть R — вещественная плоскость. Алгебраическое тензорное произведение Lf (e)®Lf® вложено в Lp (RiV). 0тождествим1р (Ю®1-р^ с его образом при этом вложении. Тогда пополнение L^lR)® Lf®, которое обозначим, по норме пространства Lp (?z) даст всё.

Lptp) Таким образом, существует изоморфизм пространств Lp (ft)®Lp (W и ЦЙ1) такой, что {(c)(^(x.^foO и.

ОООо. ^.

Пусть, А, Ь — линейные ограниченные операторы в Lp®. На тензорном произведении Lp®(r) оператор А®Б определяется следующим образом: для элементов вида полагают (А®В)(f ® А{ <8 frf .На элементах вида доопределяют оператор А®-6 так, чтобы он был линеен. Оператор А®В, заданный на алгебраическом тензорном произведении, является ограниченным, линейным, однозначно определенным отображением. Он продолжается до линейного ограниченного оператора в Lpf Rx):

В дальнейшем будет использоваться следующее предложение.

— 30.

Предложение 1.3. Пусть, А — линейные ограниченные^{операторы,} действующие в банаховых пространствах!, Ч и А®В*.. Тогда = 3mA$ 3ra6.

Так как на алгебраическом тензорном произведении 3m (A® ЗтА®Зт.Ь, то ЗтА®ЗтЬ. Тогда замыкание по норде дает следующее соотношение Зт (А&Ь) =>ЗпгА С другой стороны, так как Зт (А®Ь)0(®Ч, то Dm (А®Й с 3m, А ® Зтв>

Замечание. Если операторы, А, Е> имеют ограниченные обратные, то 3m (A ® = ЗтА ® Зтв.

В дальнейшем пополненное тензорное произведение будем обозначать®-.

В пространстве Lplft1), рИ, рассмотрим операторы сингулярного интегрирования рооо и проекторы Р11 = (I ± S,) (I i $ 2у.

Пусть Г++, Г4″, Г~+, Г" ~ - трубчатые области (Эпгг,>0, 3mZz>o}, {Зт^Зтг/о}, 13″ И<<0,1 т?2>0}, bmVO, Jm?2.

ГЛ И где UZ^U^ + Uj^j.

Покажем, что функция f? ^ = ^(O^aV? 4- l (O.O) € /^б" ^.

Так как функции {(о.г^, являются целыми экспоненциального типа ^б". по соответствующей переменной [4], [40], то Yfe^ также есть целая экспоненциального типа ^бЧб^ОИспользуя неравенство Бернштейна / [40], с. 115 / и ограниченность функции f (х) на R2, имеем о со h fi ^ т 'Я «г£.

— оосо.

— оо — оо.

— е, £г 00 и f f + -вооо-е2 -оо е2% ь" С) Ч I2 * ii6ft2 sup | ^seok-R* 00 * 00 ^ i I N^M* (111 а.

•оо -?, i-, 2. + f ^iss^bMd⁴. (j pbSbMj^y, гьг 1 1 ert, ' г oo oo.

4C,| j SmmWm- * ^А^&.ГЧ^Й аЧ г I 1.

С!зс2 V loc2+il.

Oo — оэ oo.

XtR2 dxi Vz 1 c5 Suf j ад J Ia2+L]2 oo.

— oo.

ЭС&к.

0^X^ N 2 oo 4 sop i ax. Ф o.

— oo с sugj * taOl ^.

Таким образом, t![((?). По теореме Винера-Лэли / [40], с. 109 / имеем.

KL/r v ill tU.^ + UlA.

J oMu,.

— 6−1Л отсюда следует представление /1.2.1/. >

Теорема 1.3. Если, то, Sj, S. U принадлежат классу ^.plR2).

Одномерный аналог теоремы 1.3 доказан в [25]. Сформулируем его.

Теорема 1.4. Пусть, 4.

Доказательство теоремы 1.3. Подействуем оператором Si на.

— О0 i (jWo^XH.

— ь u, f oc.

— OO.

4(ос, ^ -1(0, Ц2)~ I f (0,0) d + oO.

J i.

— OO o3 ?

Нг JJfeg". jJ/M «A — * (o, j/,) — |(4o). I (hoh j «йц,^^ е. муШХ du+k oo.

— OO.

Из теоремы 1.4 следует, что 1р1(Й). Покажем ограниченность последнего интеграла.

СО.

4-I!

-©-О t] +] | 4 tI.

— г doc, + сЛ | J.

— оо сJ| «щЦ dx, ЛI +1| iib^LJl^j i3f 1 -tе.

OO atsapj^ R.

— oo со °°. р dxt Р, г — х.

5 — сооо.

Sap.

I Xt ft i.

В последнем неравенстве использована оценка нормы целой функции экспоненциального типа < (Г, исчисленной для подпространства R с f через норму её, исчисленную для всего пространства / [40], с. 131 /. Таким обр азом,.

6< (>г.

Следовательно, (S^) (г) есть целая функция экспоненциального типа, С другой стороны, • Аналогично доказывается, что (S2i)(x)с и поэтому.

Следствие. Проекторы Р" определяют в подпространства.

Теорема 1.5. ^(ft^ = гр е j, f{>0 .

4Покажем, что *. Пусть Ip’e ^ .рассмотрим последовательность конечных сумм.

L-'t где lj[4R), IK^G^fr) .Так как и iiii^^iim it/te * то в силу замкнутости в класса.

Докажем обратное вложение. Пусть.

При фиксированном функция |(г, г2) является целой функцией экспоненциального типа по переменной z2 / [4], [40] / и так как / [40], с. 157 /.

— 35 то функцию можно разложить в ряд / см. теорему I / fa) = Z w ,.

1.2.3/ где система функции ICr^j имеет вид /1.1.15/ и образует биорто-гонаяьный базис в пространстве, а е>о.

U^Ufe.oO (fSxt)dx2. заметим, что Так как при интегрировании на [-М, М] по переменной хг целой функции по двум переменным получается целая функция по переменной г / см.

L6]c.I?/, то м является целой функцией и для кавдого к? Z || ^^(зеОИц,^ оо м.

Х1г*г) Gr/foC^ Ахг dx1.

— воМ о м м х р 1.

4J1i^lVrdxj^iiGSi \м.

— во-мм k Lp (R.

Функция ^"tei) имеет тип. Действительно, так как для любых г,.

ЛМ.

И С: =.

1? Ъ'{(о.ъ)гб,, I. I J 4oc2) dx2l «.

— м.

М LP И.

— м — м м м А,.

4>км (г,) 4 А I «ЛГ = Aexpf^lz,!4).

Следовательно, для кавдого фиксированного &bdquo-к" последовательность vf>KM (?1)? 3Lp ® и так как она равномерно ограничена в метрике Lf®, то функция также принадлежит.

3Lp®/ см* теорему о компактности [40] /. Из представления /1.2.3/ следует, что 6 в^, у Следствие. = 3. J14 в ijK.

Определение.Будем говорить, что последовательность функций iom^W. ести {ll (4W{p.

Если f-txbcr2^Lp (R2), то из теоремы Фубини следует, что f/x^o^Lpte) по одной переменной для почти всех значений другой переменной. Если, кроме того, f (осч>осг^3m Р^" / f (x1txz)? JmP" /, то в силу равенств $"Р**=Р*±, S/-* {(ад^М / fe^cL'CR) / по X, почти для всех Х2. Аналогично, используя свойство S, S2eSeS4, нетрудно показать, что S2 Р+*, S2P*≅-P+Z и, следовательно, если fea^&lj^RV Lp-fRV, то почти для всех ос, по х2 4(x.

1 ^.

Рассмотрим тензорное произведение пространств 3^'eLp. Оно состоит из функций, принадлежащих Lp (Rl), которые почти для всех значений второй переменной являются целыми функциями экспоненциального типа по X,. Действительно, пусть } Lp, тогда.

7- I/ при фиксированных а, представляет собой целую с=ч ' 1 ¦ функцию экспоненциального типа^б^, принадлежащую по х, Lp® .

Пусть ^(Vi^lp^Lp, тогда.

Ц 4(х, хг) — i It (х.и'Сх^^^г^О,.

— 37 и, следовательно, по почти для всех ос, [39].

Ц (х4,ОС2) — I fr (z^taJ^^O, /V—.

В силу замкнутости пространства 1^ в метрике LpG0 получим, что почти для всех ос2 является целой функцией типа^. В дальнейшем будет использоваться следующее предложение.

Предложение 1.5. Если функция tf (3c)e lp<4® Lp «т0 она пРеД» ставима в виде ряда f (хьос2) ^ I e^faocf (ос2), /1.2.4/ обракоторый по сходится в метрике L®. Функции зуют биортогональный базис в пространстве lp'4 и имеют вид /1.1.14/.

1ск*(зО} LP), Сад (сад) аналитически продолжимы в верхнюю / низшюю / полуплоскость и определяются следующим образом оо.

С±ta>V3r? (ffiY, ас2)= j %с.А) ef /1.2.5/.

— оо.

4 Доказательство проведём для случая Up • Представле-/ I г ние /1.2.4/ почти для всех х^ имеет место в силу теоремы I. Из этой же теоремы • с ДРУГОЙ стороны, умножая ряд /1.2.4/ на е^-^) и интегрируя его, получим, что.

С~(х2) определяется равенством /1.2.5/. Аналогично тому, как это сделано в теореме 1.5, можно показать, что.

Проверим, что Т .,"м. откуда будет следовать, что с-(хг) — Действительно,.

Jxz+i)n.

1.2.6/.

СО |Г г / .п~4.

— СО.

Т, Т {Хг+i)" '' J e>ooo ^.

Здесь на предпоследнем шаге применена теорема Фубини, так как со е><* llel-te^ldx, j dx2 < IM CRt) lle^xi llg^r'.

— OOoo J V.

Равенство нулю последнего интеграла в /1.2.6/ следует из того, что функция ^(зс"рС* почти для всех х, по принадлежит Lp (R"). Из леммы 5 следует, что почти для всех х2 выполняется неравенство л/ 00.

I lc-W|p й A j Wx^x./doc,.

А к=м постоянная, не зависящая от х2. Тогда к/ 00 ^ ы z j icjrfdx, = S lj^fdxz * А и 11^.

Скг).

Устремляя:, а/^оо, получим [сдх^^ * ?p (Z, Lp)>

Теорема 1.6. Пусть функции e^-fx.) определяются равенством.

1.1.14/. Система функций является биортогональным.

6++ базисом в lp'(Ra) .

4 Система функций биортогональна. Действительно,.

ОО со ~С<> оо оо.

О,.

— 39.

Пусть S — замкнутое пространство, натянутое на семейство Элементами его являются ряды j^^fy^* A.

Оценим.

II^Т СоЛ Г1? ^ ¦

Рассмотрим при фиксированном эс, следующий интеграл оо мг ru с insri*1 J IP.

11(1 Cj (хг) 1 dx2 * с, I 11.

— oo 0 ° «» «.

Последнее неравенство следует из базисности 1е^ЧсО^ в пространстве <1рг~ и изоморфности последнего пространству. Проинтегрируем это неравенство по ХА, получим.

11 Vmw 4 № УЧ e^l'dv.

-©-о иг к с, I 1.

Г j=-m IC=-n 0 ^.

Рассмотрим конечную сумму Т. ® (х), где. Покаt=*< d Г жем, что любой элемент этой суммы содержится в «5. Отсюда будет следовать, что пополнение алгебраического тензорного произведения, т. е. любая функция, также принадлежит s, что означает, что |(г) предетавима^ввде ряда ZoL^i?®^14), сходящегося по норме причём сХк rl ffe. '^±)(x)clx.

Для функций d-p «имеют место разложения f Ч, f foI С еНх2), к*I мг где Д Z Iс* Спмр *00 • Следовательно, в 5 существует ряд.

Z Z^c'te^-M llAf=.

К** и-.м |irL м LpCR v м «М.

II fix,) Гад — ft* jl С* e"4ta) +? '(*,) I Сп & (хЛ.

— Z X «r (xJlL Ц%сА<=-L / Lp и=-м Lp.

1|?с"ге^М1 ft fto-IcieM,>

1. АЛЕШ) А. Г. Неоднородная краевая задача Римана с бесконечным индексом на контуре Ляпунова.- Изв. АН БССР, 1980, № 1. 51−58.

2. АХИЕЗЕР Н. И. Лекции по теории аппроксимации.- М. Наука, 1965. 408 с.

3. ШРКОВИЧ Ф.Д., КОНЫШКОВА Е. М. Об одном случае краевой задачи Римана с бесконечным индексом.- Сообщение Ростовского мат. общ., Ростов-на-Дону, 1968, 158−164.

4. ШАДИМИРОВ B.C. Методы теории функций многих комплексных переменных.- М., Наука, 1964. 412 с.

5. Гахов Ф. Д. О краевой задаче Римана.- Мат. сборник, 1937, 2/44/, Л> 4, 673−683.

6. ГАХОВ Ф. Д. Краевые задачи.- М., Наука, 1977. 638 с.

7. ГОВОРОВ Н.В. О краевой задаче Римана с бесконечным индексом.- ДАН СССР, 1964, 154, Ш 6, 1247−1249.

8. ГОВОРОВ Н. В. Неоднородная краевая задача Римана с бесконечным индексом.- ДАН СССР, 1965, 159, № 5, 961−964.

9. ГОВОРОВ Н. В. Об ограниченных решениях краевой задачи Римана с бесконечным индексом степенного порядка.- ДАН СССР, 1968, 182, & 4, 750−753.

10. ГОРДАДЗЕ Э.Г. О сингулярных интегралах на негладких линиях.- Тр. симпозиума по механике сплошной среды и родственным проблемам анализа. Тбилиси, Мецниереба, 1974, 2, 74−85.

11. ГОХБЕРГ И.Ц., ФЕЛЬДМАН И. А. Об интегрально-разностных уравнениях Винера-Хопфа.- ДАН СССР, 1968, 183, № I, 25−28. 109.

12. ГОХЕЕРГ И.Ц., СЕМЕНЦУЛ А. А. Теплицевы матрицы, составленные из коэффициентов Фурье функций с разрывами почти-периодического типа.- Мат. исслед., Кишинев, Штиинца, 1970, 5, вып.4, 63−83.

13. ГОХЕЕРГ И.Ц., ФЕЛЬДМАН И. А. Уравнения в свертках и проек-ционнве методы их решения.- М., Наука, 1971. 352 с.

14. ГОХБЕРГ И.Ц., КРУПНИК Н.Я.

Введение

в теорию одномерных сингулярных интегральных уравнений.- Кишинев, Штиинца, 1973. «427 с.

15. ГРУДСКИЙ С.М., ДЫБИН В. Б. Краевая задача Римана с разрывами почти-периодического типа у её коэффициента.- ДАН СССР, 1977, 237, № I, 21−24.

16. ГРУДСКИЙ С.М., ДЫБИН В. Б. Краевая задача Римана в пространстве Lp (r, р^) с почти-периодическими разрывами у её коэффициента.-Мат. исслед., Кишинев, Штиинца, 1980, вып. 54, 36−40.

17. ГРУДСКИЙ С. М. Краевая задача Римана с бесконечным индексом в классах суммируемых функций. Кандидатская диссертация, РГУ, 1981. 118 с. •.

18. ГРУДСКИЙ С. М. Краевая задача Римана с разрывами почтипериодического типа в классе Loo (Г) В сб: Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения. Элиста, 1982, 30−41.

19. ДАНИЛ ЮК И. И. Нерегулярные граничные задачи на плоскости. М., Наука, 1975, — 295 с.

20. ДЖРБАШЯН М. М. Биортогональные системы рациональных функций и представления ядра Коши. Изв. АН Арм. ССР, 1973, 8, }? 5, 384−409.

21. ДЖРБАШЯН М.М., РАФАШ1ЯН С.Г. О целых функциях экспоненцино ального типа из весовых классов Lp. ДАН Арм. ССР, 1981, 73, В I, 29−36•.

22. ДЖРБАШЯН М. М. Интерполяционные и спектральные разложения, ассоциированные с дифференциальными операторами дробного порядка.- Изв. АН Арм. ССР, 1984, 19, № 2, 81−181.4.

23. Д0Д0Х0ВА Г. В. Об одном двумерном аналоге краевой задачи Римана с бесконечным индексом.- Ростов н/Д.- 23 с. Рукопись представлена Ростовским университетом, Деп. в ШНИТИ 26.08.83, В 4679−83 Деп.

24. Д0Д0Х0ВА Г. В. О теплицевых матрицах, составленных из коэффициентов Фурье функций, имеющих разрывы почти-периодического типа.- Ростов н/Д, 1983. 10 с. Рукопись представлена Ростовским университетом, Деп. в ШНИТИ 3.10.83,5141−83 Деп.

25. ДЫБИН В.Б. О сингулярном интегральном операторе на вещественной оси с почти-периодическими коэффициентами. В сб.: Теория функций, дифференциальные уравнения и их приложения. Элиста, 1976, 98−108.

26. ДЫБИН В.Б., Д0Д0Х0ВА Г. В. Корректная постановка краевой задачи Римана на прямой с почти-периодическим разрывом коэффициента.- Ростов н/Д, 1981, 44 с. Рукопись представлена Ростовским университетом. Деп. в ШНИТИ 3"04-.81, В 1497−81 Деп.

27. ДЫБИН В.Б., Д0Д0Х0ВА Г. В. Корректная постановка краевой задачи Римана на прямой с почти-периодическим разрывомIll коэффициента.- В сб.: Мат. анализ и его приложения. Ростов н/Д, РГУ, 1983, 12−22.

28. ДЫЕИН В.Б., Д0Д0Х0ВА Г. В. Корректная постановка краевой задачи Римана на замкнутом контуре в случае почти-периодических разрывов у её коэффициента.- Изв. АН Арм. ССР, 1983, 18, № 5, 380−393.

29. КАКИЧЕВ В. А. Краевые задачи линейного сопряжения для функций голоморфных в бицилиндрических областях.- В.сб.: Теория функций, функциональный анализ и их приложения, Харьков, 1967, вып. 5, 37−58.

30. КАКИЧЕВ В. А. Краевые задачи линейного сопряжения для функций голоморфных в бицилиндрических областях.- ДАН СССР, сер. физ.-мат., 1968, 178, № 5, 1003−1006.

31. КАКИЧЕВ В. А. Вырожденные двумерные сингулярные интегральные уравнения с ядрами Коши для бицилиндрических областей. В сб.: Теория функций, функциональный анализ и его приложения, Харьков, 1969, вып. 8, 25−28.

32. КОТЕЛЬНИКОВ В.А. О пропускной способности «эфира» и проволоки в электросвязи.- Мат. к 1-ому Всесоюзному съезду по вопросам технической реконструкции дела связи и развития слаботочной промышленности. 1933.

33. ЛИТБИНЧУК Г. С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом.- М., Наука, 1977. 448 с.

34. ЛИТВИНЧУК Г. С., СПИТКОВСКИЙ И. М. Факторизация матрицнйунк-ций.~ Одесса, 1984, — 460 с. Рукопись представлена ин-том экономики АН УССР, Деп. в ВИНИТИ 17.04.84, № 2410−84 Деп.

35. ЛЕН®Б.Я. Интерполяция целыми функциями экспоненциального типа.- В сб.: Математическая физика и функциональный анализ. ФТИНТ АН УССР, Харьков, 1969, 136−146. 112.

36. МОНАХОВ В.Н., СЕМЕНКО Е.В. О корректных постановках 1фаевых задач сопряжения с бесконечным индексом для квазианалитических функций.- В сб.: Некорректные задачи математической физики и анализа. Новосибирск, Наука, 1984, 91−101.

37. МУСХЕЛИШВИЯИ Н. И. Сингулярные интегральные уравнения.-М., Наука, 1968. 511 с.

38. НАТАНСОН И. П. Теория функций вещественной переменной.-М., Наука, 1974. 480 с.

39. НИКОЛЬСКИЙ С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения.- М., Наука, 1977. 456 с.

40. НИКОЛЬСКИЙ Н.К., ПАВИОВ Б.С., ХРУЩЕВ С. В. Безусловные базисы экспонент и воспроизводящих ядер.- Ленинград.ЛОЖ. Препринт Р-8−80, Р-9−80, Р-Ю-80, P-II-80, 1980.-174 с.

41. ПРИВАЛОВ И.И.

Введение

в теорию функций комплексного переменного.- М., Наука, 1977. 444с.

42. РАФАсйЯН С.Г. О базисности некоторых систем целых функций.-ДАН Арм. ССР, 1980, 7, № 4, 198−204.

43. САГИНАШШ1И А. И. Сингулярные интегральные операторы с полу-почти-периодическими разрывами у коэффициентов.- Сообщ. АН Груз. ССР, 1979, 95,№ 3, 541−543.

44. САДРЫГАЙ10 И.Е. О краевой задаче Римана с бесконечным индексом для полуплоскости.- ДАН БССР, 1975, 19, В 10, 872−875.

45. СКОМАХА Л. Н. Об одном сингулярном интегральном уравнении с бесконечным индексом для случая аналитического ядра.-Литовский мат. сборник. Вильнюс, 1976, 161−177.

46. СКОМАХА Л. Н. Сингулярное интегральное уравнение с бесконечным индексом для случая,'.¦когда ядро есть целая функция. Новочеркасск, 1981. Рукопись представлена Новочеркасским политехническим институтом, Деп. в ВИНИТИ 18.05.81, 21 с. В 2307−81 Деп.

47. TQI04K0 М.Э. О краевой задаче Римана с бесконечным индексом для полуплоскости.- Изв. АН БССР, серия физ.-мат., 1969, № 4, 52−59.

48. ТОЛ ОЧКО М.Э. О разрешимости краевой задачи Римана с бесконечным индексом для полуплоскости.- Изв. АН БССР, 1971,3, 31−38.

49. ХВЕЩЕЛЙДЗЕ Б. В. Линейные разрывные граничные задачи теории функций, сингулярные интегральные уравнения и некоторые их приложения.- Тр. Тбилисского мат. ин-та АН Груз. ССР, 1956, 23, 3−158.

50. ЧИКИН Л. А. Об устойчивости краевой задачи Римана.- ДАН СССР, 1956, III, В I, 44−46.

51. SarasonD. Toepfctг operculars wi^L Se.rn.icdtnosb- 114 periodic symbols.- Duke Matk.

52. RocMery R. JotplcЫ operators о^ ujecqlttd Hp spacesIndiana Unitf. Z, л/2, ZQ4−29S.

53. Wkittacker ?.T. On iU functions ьЛихк are nprtzvdedU expansions of ik interpolation ШогиProc. Rou обе. ?скпёи, грк, 4945,35- Шр. 1.

54. Sckattm R. a theory, of cross-spaces.-PrCnstborv lirLiversib^ Press, ^9b~0. -f45p.