Некоторые типичные свойства конечно определенных групп

Методы комбинаторной теории групп позволяют исследовать свойства как конкретных групп заданных порождающими элементами и определяющими соотношениями, так и целых классов групп. Однако большинство интересных результатов относится к различным весьма специальным классам групп. Это обусловлено тем, что для какого-то широкого класса групп достаточно трудно получить содержательные утверждения. В такой ситуации на наш взгляд естественным является следующий подход: фиксируя некоторый обширный класс групп, пытаться изучать структуру группы являющейся «типичным» представителем этого класса. В этом смысле в теореме М. Громова сформулированной им без доказательства (и даже его наброска) утверждается, что типичным представителем класса конечно определенных групп, то есть групп заданных конечным числом порождающих и конечным числом определяющих соотношений, является гиперболическая группа [16]. Доказательство этого утверждения приведено в работе [23], где также отмечается, что в определенном статистическом смысле почти каждая конечно определенная группа является диаграммно асферической. Многочисленные определения и основные свойства гиперболических групп можно найти, например, в [13], о диаграммах над группами см. в книгах [4], [6]. Другие примеры исследования типичных свойств содержатся в работе [9]. В частности, там показано, что типичным представителем класса конечно порожденных групп с двумя определяющими соотношениями является гиперболическая группа когомологической размерности 2, а также изучена граница такой группы.

В настоящей работе мы рассматриваем класс конечно определенных групп и устанавливаем ряд свойств, которыми обладает случайным образом выбранная группа из этого класса. Такие свойства мы называем «общими» (или типичными). Более точно, пусть Хт = {xf1,.^^} групповой алфавит, где т > 2. Для фиксированного п рассмотрим все копредставления групп вида.

G = {xi,., xm | n = 1,., г&bdquo- = 1), (1) где {fx,., rn} множество циклически приведенных слов в алфавите Хт, имеющих длины | гг- |< t. Обозначим N = N (m, n, t) число всех копредставлений вида (1) с этим условием, a N-p число таких копредставлений среди них, что группа G обладает некоторым свойством V. Свойство V га — порожденных групп будем называть общим если для любого п отношение N-p/N стремится к 1 при t —> оо. Будем говорить об экспоненциальной общности, если это отношение стремится к 1 быстрее, чем функция 1 — exp (cf), для некоторого с < 0. Далее везде речь идет только об экспоненциальной общности. Нахождение общих свойств полезно еще для предъявления различных контрпримеров потому, что сочетание любого конечного числа общих свойств является опять-таки общим свойством групп.

Стоит отметить, что существуют несколько различных неэквивалентных определений общности. Например, в упомянутых работах [23] и [9] понятие общности отлично от нашего. Там в качестве параметра стремящегося к бесконечности рассматривается t = min гА. С этими определениями, а также с много.

1<�г<�гг численными гипотезами относительно общности того или иного свойства можно ознакомиться по работам [16],[15], [1].

В настоящей работе схема доказательства общности какого-либо свойства выглядит следующим образом:

1-й шаг. Высказывается гипотеза об общности некоторого свойства конечно определенной группы.

2-й шаг. Формулируется специальное условие на определяющие слова конечно определенной группы при котором группа обладает необходимым свойством.

3-й шаг. Доказывается общность этого специального условия в смысле нашего определения.

Вспомогательным инструментом для формулировки условия на определяющие слова (как правило своего для каждого общего свойства) служат размеченные графы. Очевидно, например, что любое слово от переменных xf1, xf1, xf1 может быть прочитано при обходе букета из трех циклов длины 1, изображенном на рисунке 1.

Х2.

Рисунок 1. Рисунок 2.

Если же рассмотреть граф рисунка 2, то обходя его можно прочесть сколь угодно длинные слова, например :

XX2XX2XZX2lXilX2X%Xi. .. , ' и число таких слов экспоненциально растет вместе с их длиной, но в то же время экспоненциально убывает с ростом I их доля среди всех несократимых слов длины t от трех переменных. (Слово х или XX2Xil уже не читаемо по этому графу).

Остановимся теперь подробнее на содержании и результатах диссертации. Диссертация состоит из четырех глав. Вводная часть содержит известные определения и утверждения необходимые в дальнейшем.

1. B.C. Губа, Об условиях, при которых 2-порожденные подгруппы в группах с малым сокращением свободны, Известия вузов, Сер. Математика, 7(1986), 12−19.

2. Д. Коллинз, X. Цитат, Комбинаторная теория групп и фундаментальные группы, М: ВИНИТИ, Соврем, пробл. матем. Фундам. направления, 58(1990), 5−190.

3. Коуровская тетрадь (Нерешенные вопросы теории групп), Изд. 11-е, Новосибирск, 1990.

4. Р. Линдон, П. Шупп. Комбинаторная теория групп, М: Мир, 1980.

5. У. Шасси, Дж. Столлингс, Алгебраическая топология.

Введение

М: Мир, 1977.

6. А. Ю. Ольшанский, Геометрия определяющих соотношений в группах, М: Наука, 1989.

7. G. Baumslag, Intersection of finitely generated subgroups in free products, J. London Math. Soc. 41(1996) 637−679.

8. B. G. Burns, On the finitely generated subgroups of an amalgamated product of two groups, Trans. Amer. Math. Soc. 169(1972) 293−306.

9. C. Champetier, Proprietes generiques des groupes de type fini, these de doctorat, Universite de Lyon I, decembre 1991.

10. D. J. Collins and J. Hyebschmann, Spherical diagrams of identities between relations, Math. Ann. 261 (2) (1982), 155 183.

11. R. Gitik, On quasiconvex subgroups of negatively curved groups, J. Pure Appl. Algebra 119(2)(1997), 155−169.

12. R. Gitik and E. Rips, On separability properties of groups, Internat. J. Algebra Comput. 5(1995), 703−717.

13. E. Ghys and P. de la Harpe (eds), Sur les groupes hyperboliques d’apres Mikhael Gromov, Birkhauser, Progress in Math., 83, 1990.

14. L. Greenberg, Discrete groups of motions, Canad. J. Math., 12(1960), 414−425.

15. M. Gromov, Asymptotic invariants of infinite groups, in Geometric Group Theory (G. A. Niblo and M. A. Roller, eds.), London Math. Society Lecture Notes Series 182(2)(1993).

16. M. Gromov, Hyperbolic groups, in: Essays in group theory, ed. S.M. Gersten, M.S.R.I. Publ. 8, Springer, 1987, 75−263.

17. J. Hempel, The finitely generated intersection property for Kleinian groups, in: D. Roflsen, ed., Knot Theory and Manifolds, Lecture Notes in Mathematics 1141, Springer, Berlin, 1985, 18−24.

18. T. Jorgensen, Compact 3-manifolds of constant negative curvature fibering over the circle, Annals of Math., 106(1977), 61−72. 552−565.

19. A. Karrass and D. Solitar, On finitely generated subgroups of a free group, Proc. Amer. Math. Soc., 22(1969), 209−213.

20. А. К arras and D. Solitar, The subgroups of a free product of two groups with an amalgamated subgroup, Trans. Amer. Math. Soc. 150 (1970) 227−255.

21. S. W. Margolis and J.C. Meakin, Free inverse monoids and graph immersions, Int. J. Algebra and Comput., 3(1)(1993), 79−93.

22. D. I. Moldavanskii, The intersection of finitely generated subgroups, Sib. Mat. Zhurnal 9(1968), 1422−1426.

23. A.Yu. OVshanskii, Almost every group is hyperbolic, Int. J. Algebra and Comput., 2(1)(1992), 1−17.

24. Ch. Pittet, Surface groups and quasi-convexity, in: Geometric Group Theory (G. A. Niblo and M. A. Roller, eds.), London Math. Society Lecture Notes Series 181(1)(1993), 169−175.

25. E. Rips, Subgroups of small cancellation groups, Bull. London Math. Soc., 14(1982), 45−47.

26. J. P. Serve, Trees, Springer-Verlag, New-York, 1980.

27. H.B. Short, Quasiconvexity and a Theorem of Howson’s, Group Theory from a Geometric Viewpoint, Proc. ICTP. Trieste, Word Scientific, Singapore, 1991.

28. H.B. Short (ed.), Notes on word hyperbolic groups, Group Theory from a Geometric Viewpoint, Proc. ICTP. Trieste, Word Scientific, Singapore, 1991.

29. T. Soma, 3-manifold groups with the finitely generated intersection property, Trans. Amer. Math. Soc. 331 (1992), 761 769.

30. J. R. Stallings, Topology of finite graphs, Invent. Math., 71(1983), 552−565.

31. J. R. Stallings, On fibering certain 3-manifolds, in: Topology of 3-manifolds, Proc. Top. Inst. Univ. Georgia (ed. M. K. Fort, jr), (1961), 95−100.

32. D. Sullivan, Travaux de Thurston sur les groupes quasi-fuchsiens et les varietes hyperboliques de dimension 3 fibrees sur S1, in: Seminaire Bourbaki, expose 554 (32)(1979/1980), Lectures Notes in Math. 842, Springer (1980), 196−214.

33. R. G. Swan, Groups of cohomological dimension one, J. Algebra, 12(1969), 585−610.Публикации по теме диссертации:

34. Г. Н. Аржанцева, А. Ю. Ольшанский, Общность класса групп, в которых подгруппы с меньшим числом порождающих свободны, Мат. Заметки, 59(4)(1996), 489−496.

35. Г. Н. Аржанцева, О группах, в которых подгруппы с заданным числом порождающих свободны, Фундаментальная и прикладная математика, 3(3)(1997), 675−683.

36. G.N. Arzhantseva, Generic properties of finitely presented groups and Howson’s Theorem, Communications in Algebra, (1998).

37. Г. Н. Аржанцева, Общие подклассы класса конечно определенных групп, Межд. конф. «Математика. Моделирование. Экология.», тезисы докладов, Волгоград, 27−31 мая (1996), 23.

38. Г. Н. Аржанцева, Плотные подклассы класса конечно определенных групп, Межд. конф. «Современные проблемы теории чисел и ее приложения», тезисы докладов, Тула, 9−14 сентября (1996), 9.

39. Г. Н. Аржанцева, Общность свойства Хаусона для конечно определенных групп, Межд. алгебраическая конференция памяти Д. К. Фаддеева, тезисы докладов, Санкт-Петербург, 24−30 июня (1997), 158−159.

40. G.N. Arzhantseva, On subgroups of infinite index in a free group, International Algebraic conference dedicated to the memory of A. G. Kurosh, Moscow, 24−31 May (1998), 29−30.