Почти периодические решения основных задач плоской теории упругости

Задачи теории упругости для многослойных сред, составленных из различных по упругим свойствам полос, рассматривались многими авторами. Подробный обзор таких работ можно найти, например, в монографии Я. С. Уфлянда [63], в работах В. М. Александрова, Е. В. Коваленко, С. М. Мхитаряна [5], [7] и др. Основными методами решения большинства указанных задач являются методы интегрального и дискретного преобразование Фурье, с помощью которых решаемые задачи, как правило, сводятся к обыкновенным дифференциальным уравнениям, бесконечным системам линейных алгебраических уравнений, задаче линейного сопряжения, интегральным уравнениям и т. д. Воз можность применения этих методов накладывает определенные условия на поведение как исходных, так и искомых параметров (напряжений, перемещений) задачи на бесконечности. Они должны иметь конечные пределы при стремлении к бесконечности. Решения задач в большинстве случаев выражаются через несобственные интегралы от осциллирующих функций (интегралы Фурье), вычисление которых таит в себе немалые трудности. Если исходные и искомые механические параметры задачи лишь ограничены и не имеют определенных конечных пределов, то использование указанных методов для решения задачи невозможно. В связи с этим представляет научный интерес и является актуальной разработка методов решения задач теории упругости для многослойных сред в новых классах исходных и искомых механических параметров.

Первым решением из области теории упругости, связанным с аппаратом интегралов Фурье, согласно [63], следует считать исследование JI. Файлона [68] напряженного состояния в бесконечной полосе, по кромкам которой заданы внешние усилия. В дальнейшем этим же вопросом занимались многие авторы, которые либо видоизменяли и усовершенствовали решение Файлона, либо применяли его к конкретным задачам. Большинство работ по применению интегральных преобразований в задачах теории упругости основаны на возможности представления бигар-монической функции (или двух гармонических функций), через которую выражается решение плоской задачи теории упругости, в виде интеграла по параметру Л от частных решений бигармонического уравнения.

А) + г/В (А)]еЛ* + [С (А) + г/0(А)]е-Л")е?}, А > О, в пределах рассматриваемой полосы —оо < х < +оо, у < а. Если заданные внешние нагрузки разложить в соответствующие интегралы Фурье, то можно найти коэффициенты А, В, С, D. Изложение этой методики дано П. Ф. Папковичем в его курсе теории упругости [46].

И. Снеддон [61] рассмотрел упругое равновесие бесконечной полосы и, в частности, полуплоскости (у > 0), причем в последнем случае следует, очевидно, положить, А = В = 0.

Интегральное преобразование Фурье дает возможность получить точное решение плоской задачи теории упругости для бесконечной полосы при заданных на ее границе перемещениях (вторая основная задача), а также смешанной задачи, когда на одной кромке заданы усилия, а на другой — перемещения. Точное решение смешанной статической задачи теории упругости для бесконечной полосы приведено в работе Н. И. Сомова [62].

В работе Д. Г. Хлебникова [64] с помощью интегрального преобразования Фурье решен ряд плоских задач о деформации полуплоскости и полосы с подкреплениями в виде стержней или тонких плит.

Наряду с плоскими задачами теории упругости интегральное преобразование Фурье широко применяется также к вопросам поперечного изгиба упругих тонких плит, имеющих форму бесконечной плоскости, полуплоскости и бесконечной полосы при различных краевых условиях. Отдельные частные случаи таких задач рассматривались во многих работах. Например, B.C. Никишиным и Г. С. Шапиро в [44] с помощью интегрального преобразования Фурье построены общие решения задач теории упругости о сжатии (растяжении) и изгибе многослойных полос путем сведения к системам функциональных уравнений. Решение задачи о плоской деформации многослойной среды при произвольном нагружении ее границы сводится к рассмотрению двух случаев, когда функция интенсивности нормальной нагрузки четная, а касательной нагрузки нечетная и, наоборот, когда нормальное напряжение на границе полосы представляет собой нечетную функцию, а касательное — четную. Заданные граничные функции являются финитными, т. е. отличными от нуля на отрезке произвольной длины и равными нулю вне этого отрезка. Теми же авторами в работе [43] с помощью интегрального преобразования Ханке-ля решены пространственные задачи о локальном сжатии многослойных плит со скрепленными и свободными краями, а также задачи об изгибе многослойных плит.

Систематическое изложение методов расчета ленточных плит дано в монографии П. Ф. Папковича [47]- им же рассмотрены некоторые случаи изгиба плиты в виде полуполосы.

Многочисленные приложения преобразование Фурье находит при расчетах тонких плит, лежащих на упругом основании, например, в работах Г. С. Шапиро [65], [66], Б. Г. Коренева [26], [27], Г. Я. Попова [50], С.С. Го-лушкевича [16] и др.

В связи с развитием методов Н. И. Мусхелишвили [39], [40] решения задач плоской теории упругости ряд авторов обратились к исследованию напряженного состояния в балках бесконечной длины при задании нагрузки на продольных сторонах. Так, в работе С. Е. Бирмана [12] решение JI. Файлона [68] преобразовано к виду, весьма удобному для практических целей, а также даны многочисленные приложения этой методики. Применение аналогичных методов к задачам о равновесии балок служило и позднее предметом многих работ.

Методы теории функции комплексной переменной дали возможность получить — в виде интегралов Фурье — решения ряда более сложных смешанных задач теории упругости для бесконечной полосы. В работе И. Г. Альперина [9] рассмотрена полоса, сжатая по половине длины, причем задача сведена к парным интегральным уравнениям специального вида, разрешимым по методу факторизации. М. Я. Беленьким [10] исследовалась плоская контактная задача для жесткого штампа, вдавливаемого в упругую полосу.

Среди большого количества работ, связанных с применением интегрального преобразования Фурье к плоским задачам теории упругости в прямоугольных координатах, отметим монографию Я. С. Уфлянда [63], в которой исследован широкий круг задач теории упругости, решаемых с помощью интегральных преобразований.

Интегральные преобразования находят применение и в контактных задачах теории упругости. Плоские контактные задачи теории упругости для полуплоскости при наличии сцепления или трения по области контакта достаточно хорошо изучены, обзор работ по теории контактных задач можно найти в работе ([53]). Соответствующие контактные задачи для упругих тел, отличных по форме или своим механическим свойствам от изотропной упругой полуплоскости, первыми начали разрабатываться в работах Г. Я. Попова [51], [52]. В. М. Александровым в работе [1] дан общий анализ структуры решения неклассических задач при наличии сцепления или трения, указаны возможные способы их эффективного решения.

Широкий круг плоских контактных задач для линейно деформированных полуограниченных тел в работах В. М. Александрова [5], [8], а также в его совместной с И. И. Ворович и В. В. Бабешко [15] работе сводится к решению интегральных уравнений первого рода с разностным ядром посредством интегрального преобразования Фурье или иного интегрального преобразования. В статье В. М. Александрова [2] рассматриваются типичные интегральные уравнения, возникающие при решении линейных плоских контактных задач для полуограниченных тел. На основе специального представления ядра этого уравнения развит приближенный метод решения, эффективный в широком диапазоне изменения входящего в ядро безразмерного геометрического параметра.

В работе В. М. Александрова и С. М. Мхитаряна [7] получены решения контактных задач для тел с тонкими покрытиями и прослойками. В частности, с помощью интегрального преобразования Фурье получено решение задачи о равновесии бесконечной упругой полосы, находящейся под действием произвольных нормальных и касательных усилий. Найденное решение асимптотически упрощено с учетом того, что упругая полоса является относительно тонкой (длина участка ее активного на-гружения велика по сравнению с толщиной).

В работе B.C. Саркисяна [57] исследованы контактные задачи для полос и полуплоскостей с упругими накладками. Рассмотрена контактная задача для упругой полосы, усиленной бесконечным стрингером. При помощи интегрального преобразования Фурье построены функции влияния для защемленной одной гранью упругой бесконечной полосы от приложенного на ее другой грани единичной сосредоточенной нормальной или касательной силы. На основе предположения, что для стрингера, нагруженного одновременно горизонтальными и вертикальными силами, справедлива модель изгиба балки в сочетании с моделью одноосного напряженного состояния стержня, задача математически сформулирована в виде системы интегро-дифференциальных уравнений относительно неизвестных контактных напряжений, и при помощи интегрального преобразования Фурье последняя система решена в замкнутой форме. Выражения контактных напряжений представлены интегралами Фурье.

В.М. Александровым, JI.A. Галиным, Н. П. Пирцевым и Е. В. Коваленко [3], [4] рассмотрены контактные задачи при учете износа путем сведения к своеобразным интегральным уравнениям, содержащим фредгольмовский оператор по пространственной координате и вольтеровский оператор по времени.

В данной диссертации рассматриваются почти периодические задачи плоской теории упругости. Частными случаями почти периодических задач являются периодические задачи, которым посвящено огромное число работ, подробный обзор которых имеется в монографиях JI.T. Бережниц-кого, В. В. Панасюка, Н. Г. Стащука [11], Э. И. Григолюка, JI.A. Фильштин-ского [18], В. В. Панасюка, М. П. Саврука, А. П. Дацышина [45], М.П. Са-врука [54], в статьях А. П. Дацышина, М. П. Саврука [19], A.M. Линькова [38], Н. Н. Поляхова [49], М. П. Саврука, В. М. Зеленяка [55], М. П. Саврука, Н. В. Тимошука [56] и др. Для решения этих задач применяются методы сопряжения, интегральных уравнений, «обобщенных» степенных рядов и другие. В работе Ю. А. Антипова [67], а также в работах [71], [72], [73], [74] и других разными методами решаются периодические задачи теории упругости для однородных и анизотропных сред. Периодическая контактная задача для упругого слоя при учете износа для случая, когда износостойкость поверхности одного из взаимодействующих тел меняется по пространственной переменной периодическим образом (двумерный случай), решена В. М. Александровым и Ф. В. Кудровой [6] путем сведения к системе последовательно решаемых интегральных уравнений.

В работах МЛ. Бурышкина, Н. М. Сироткиной [13], [14], Г. А. Ка-мышевой, Б. М. Нуллера, ЕЛ. Нахмейна, М. Б. Рывкина [25], [41], [42], В. В. Сильвестрова [58]—[60] строятся непериодические решения плоских задач теории упругости для тел периодической структуры, названные квазипериодическими. Для этой цели используется метод дискретного преобразования Фурье, теория представлений групп симметрии, метод краевой задачи Римана. Так, в работе М. Б. Рывкина и Б. М. Нуллера [70] представлена общая схема решения квазипериодической задачи теории трещин, основанная на применении дискретного преобразования Фурье. Получено численное решение задачи об антиплоской деформации полосы, ослабленной периодической системой произвольно нагруженных краевых трещин.

Метод, примененный в данной диссертации, предполагает непрерывность всех граничных функций. Ввиду изменения класса граничных условий приходится менять также и класс решений. Использованнный метод решения плоских основных задач теории упругости для однои многослойных полос основан на обобщенном дискретном преобразовании Фурье, разработанном М. Ф. Кулагиной [29]—[32]. Ею же было предложено использование указанного преобразования к решению некоторых интегро-дифференциальных уравнений [34], задач о распространении поверхностных волн [35] и к решению задач плоской теории упругости для многослойных полос [33].

В диссертации используются классические постановки задач теории упругости для однои многослойных полос, такие же, как и в работах В. М. Александрова и С. М. Мхитаряна [7], B.C. Никишина и Г. С. Шапиро [44], Я. С. Уфлянда [63] и др. В этих работах большинство задач решаются с помощью интегрального преобразования Фурье, которое предполагает существование интегралов Фурье от всех заданных и искомых функций. Для этого необходимо исчезновение этих функций на бесконечности или существование определенного конечного предела на концах полосы. Решения задач выражаются через обратные интегральные преобразования Фурье, которые представляют собой несобственные интегралы от колеблющихся функций, вычисление этих интегралов представляет большие трудности. Так, П. Ф. Папковичем в [46] для расчета напряжений в полосе были составлены таблицы значений некоторых трансцендентных функций. Все имеющиеся в указанных работах примеры предполагают, как правило, равенство нулю заданных функций вне некоторого конечного интервала или на луче (—оо, 0), результаты записаны в виде интегралов. Графики напряжений и перемещений по таким формулам трудны для построения и, как правило, отсутствуют.

В диссертации заданные функции представлены в виде сходящихся рядов Фурье с произвольными показателями: оо апе*АпХ, {ап}~ ! 6 1 г. п= 1.

Такие функции не могут быть представлены в виде интегралов Фурье, и поставленные задачи не могут быть решены с помощью интегрального преобразования Фурье. Решения построены в классе почти периодических функций и представлены в виде обобщенных рядов Фурье, которые сходятся абсолютно и равномерно внутри заданных полос. Преимущество использованного метода состоит в том, что задачи теории упругости для многослойных полос сводятся к решению систем линейных алгебраических уравнений конечного порядка относительно неизвестных коэффициентов обобщенных рядов Фурье искомых механических параметров. Решенные задачи проиллюстрированы конкретными примерами, в которых заданные функции определены на границе полосы и не обращаются в нуль на бесконечности, построены графики искомых напряжений и перемещений. Во всех рассматриваемых в данной работе задачах заданные почти периодические механические параметры непрерывны. Использованный метод, к сожалению, не дает возможность рассматривать задачи с разрывными граничными условиями, а также задачи с дискретными сингулярностями (трещинами, включениями и т. д.).

В первой главе приводятся почти периодические решения основных задач о равновесии бесконечных горизонтальных однородно-изотропных упругих полос. На основе общего решения уравнений плоской задачи теории упругости в форме Галеркина [44] и в форме Папковича-Нейбера [63] при помощи обобщенного дискретного преобразования Фурье задачи сводятся к системам алгебраических уравнений четвертого порядка. Доказывается совместность систем и существование единственного решения. Представлены числовые расчеты, построены графики искомых напряжений и перемещений. Также решена задача об изгибе тонкой упругой плиты в форме полуплоскости. После применения обобщенного дискретного преобразования Фурье к бигармоническому уравнению относительно прогиба задача сводится к решению неоднородного дифференциального уравнения Эйлера.

Во второй главе исследуются почти периодические задачи о равновесии двухслойных однородно-изотропных упругих полос с различными упругими постоянными со следующими условиями на общей границе слоев: в § 1 — жесткое сцепление, в § 2 — гладкий контакт, в § 3 — контакт с однонаправленным трением. Получены аналитические решения в классе почти периодических функций, искомые механические параметры представлены в виде обобщенных рядов Фурье, коэффициенты которых находятся из систем линейных алгебраических уравнений 8-го порядка.

В § 4 получено аналитическое решение почти периодической задачи о равновесии кусочно-однородной изотропной упругой области, представляющей собой полосу и полуплоскость, на общей границе которых заданы условия контакта с однонаправленным трением. Получены формулы, выражающие искомые механические параметры в полосе и полуплоскости. Результаты числовых расчетов представлены в виде аналитических выражений искомых механических параметров и их графиков.

В третьей главе исследуются следующие задачи. Рассматривается равновесие бесконечной многослойной упругой полосы —оо < х < оо, у 6 [Нн, Но], состоящей из N однородно-изотропных слоев, занумерованных по порядку ] = 1,2,., N сверху вниз. Слои ограничены параллельными прямыми у = Н) у = О, ./V), Hj > ортогональными оси Оу. Общая толщина всех N слоев равна Н = Щ—#лгТолщины = Н^^—Н^ модули сдвига и коэффициенты Пуассона и^ задаются произвольно для каждого слоя. На прямых у = Ну совмещения слоев рассматриваются различные условия контакта слоев (контакт с трением, гладкий контакт или жесткое сцепление). На границе полосы заданы значения напряжений и/или перемещений в классе Т1уТребуется найти плоское напряженно-деформированное состояние полосы в классе почти периодических параметров внутри заданных слоев.

Задачи сводятся к нахождению неизвестных коэффициентов обобщенных рядов Фурье, через которые представлены искомые напряжения и перемещения. Приведено доказательство существования решения в классе почти периодических функций. Получены решения конкретных примеров, искомые механические параметры в которых представлены в аналитическом и графическом виде.

Числовые расчеты при выполнении диссертационной работы проводились с использованием математических пакетов программ MathCad 2001i Pro и Maple v8.0.

По теме диссертации опубликованы следующие работы: [20]—[24], [36],.

69].

Основные результаты исследований и работа в целом докладывались:

— на пятой и шестой Казанской международной летней школе-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» (Казань, 2001, 2003);

— на тринадцатой межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2003);

— на научном семинаре им. JI.A. Толоконникова по механике деформируемого твердого тела при Тульском государственном университете (Тула, 2003, руководитель — профессор A.A. Маркин);

— на семинарах кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений Чувашского государственного университета (Чебоксары, 2000;2003, руководитель — профессор В.В. Сильвестров).

Основная часть результатов, отраженных в диссертационной работе, выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 01−01−720).

Основные результаты, полученные в данной диссертационной работе, выносимые на защиту:

1. Методом обобщенного дискретного преобразования Фурье получены аналитические решения основных задач о равновесии однородно-изотропных упругих полос в классе почти периодических механических параметров.

2. Получено аналитическое решение задачи об изгибе тонкой упругой плиты в форме полуплоскости в классе почти периодических механических параметров.

3. Построено аналитическое решение почти периодической задачи о равновесии кусочно-однородной изотропной области, состоящей из упругой полосы и полуплоскости, на общей границе которых заданы условия контакта с однонаправленным трением.

4. Приведена общая схема решения задач плоской теории упругости в классе почти периодических механических параметров для областей, состоящих из конечного числа параллельных однородно-изотропных упругих полос, на общих границах которых заданы различные условия контакта.

5. Получены решения конкретных задач, построены графики искомых механических параметров.

Заключение

.