Исследование и методы решения блочных алгебро-дифференциальных систем индексов 1 и 2

Актуальность темы

и объект исследования.

При построении математических моделей в различных приложениях, таких как теория электрических цепей, оптимальное управление, автоматическое регулирование, теория переноса нейтронов, в различных экономических задачах, а также при применении разностных схем для уравнений Навье-Стокса, часто используются блочные алгебро-дифференциальные системы.

Ax (t))' = Bx (t) +J (t). (1).

В литературе для обозначения таких систем применяются и другие названия: сингулярные, вырожденные, неразрешенные относительно старших производных, дифференциально-алгебраические и др.

Объектом исследования в диссертации являются системы вида (1), в которых матрицы, А и В — квадратные, образующие регулярную пару матриц (А, В) и имеющие следующее блочное строение:

А = (а 62 ], в =.

1о ° J Л у где Q и У?4 — квадратные блоки.

Большое внимание уделяется также системам (1), в которых матрицы имеют вид.

ГЕ (Г Г*.

А =, в = 1 о, 1*3 ^J.

Приведем несколько примеров.

П. 1. Задача минимизации функционала т.

J {и) — |[(Л, 1х, х) + 2(А12х, к) + (А21и, u)]dt о при ограничениях, заданных уравнением dx{t) dt.

Dx (t) + Cu (t) + /(/) и начальными данными х (0)=я, сводится к АДС вида (1), (3).

Ах)'=Вх + /, в которой.

Е 0 f D 0 С л.

А = 0 Е 0, В = -D* - 2¹².

0 0, { 2 АХ2 С* (А12 + А*22);

М ГЛ х = z, 7= 0 А.

П. 2. Система леонтьевского типа [50], вида.

ЫМи + /, где L и М-квадратные матрицы порядка п, detL — 0, а матрицы L и Мимеют вид 3 -1 -11.

L = — 1 21.

20 20 200.

1 103 8.

100 200 25.

0 0 0 М =.

4 5 20.

— 7 10 304 189 -70 836 357.

25 11 996 000 119 960 000 -4 -2 15 5 как можно видеть, является АДС вида (1), (2), где.

13 15 7 1 ] (21 ^.

0.= 20 1 20 103 > Qi = 200 8.

U00 200-, 25 ,.

3 -1.

4 5 -7 10 304 189.

1, 25 11 996 000,.

R2 = и =.

— 70 836 357.

119 960 000 *з =.

— 4 -2^.

17 ~5.

4 15.

VX2 J / =.

4/2У.

П.З. [20, с.21] Применение метода сферических гармоник для решения уравнения переноса нейтронов в плоскопараллельном случае, при некоторых дополнительных преобразованиях, приводит к системе, вида (1), (2).

Ах'= Вх + F, где.

А = 0 J.

7з о о.

7з о о 2 л/3⁵ о в=.

СГс о 2 ж.

0 0.

-<т 0.

0 — <7.

V (f.).

X = V, F = Л.

У 2) fij.

Число систем, имеющих блочную структуру, не ограничивается рассмотренными примерами.

Структура матриц (2) (или (3)) позволяет при исследовании получить методы решения блочных алгебро-дифференциальных систем, связанные с применением матриц меньшего порядка, чем порядок исходной системы. Несмотря на сравнительно широкую область применения блочных АДС, детальные описания и целенаправленные исследования их блочной структуры в литературе практически отсутствуют.

Напротив, алгебро-дифференциальные системы общего вида (1) являются объектом пристального внимания многих математиков. Впервые такие системы были рассмотрены Н. Н. Лузиным, 1940 г. [33] и Ф. Р. Гантмахером, 1966 г. [24]. Ф. Р. Гантмахером, например, было построено решение системы вида (1) с произвольными матрицами, А и В, основанное на канонической форме Кронекера-Вейерштрасса. Далее исследования стали проводить независимо друг от друга две группы математиков: Ю. Е. Бояринцев, В. М. Корсуков [18, 20] и C.W. Gear, S.L. Campell, L.R. Petzold, K.E. Brenan [77, 72−76, 71, 70]. Позже изучением таких систем занялись математики Германии и Швейцарии, такие как R. Maerz, Е. Griepentrog, М. Hanke, R. Lamour, Е. Hairer, Ch. Lubich и др. В настоящее время системам вида (1) посвящено множество работ.

Начало систематического исследования АДС вида (1) и численных методов их решения положил профессор Ю. Е. Бояринцев [8−10, 14−17, 61]. В монографиях [20, 14, 15] и серии работ основное внимание уделено взаимосвязи кронекеровой структуры пучка матриц ЛА-В, общего решения системы (1) и свойств численных методов. При проведении этих исследований широко использовался аппарат обобщенных обратных матриц: полуобратных и Дразина. Ю. Е. Бояринцевым были выведены классы АДС, для которых неособенные преобразования не меняют кронекеровой структуры пучка матриц исходной системы. Для таких систем и их разносных аналогов выписаны формулы общего решения.

В работе [20] впервые было исследовано влияние структуры АДС на поведение численных методов и обнаружено интересное явление, возникающее при применении разносных методов для решения АДС, названное позже «пограничным слоем ошибок».

В книге [11] вводится аппарат базовых матриц, который позволяет исследовать систему (1), с постоянной матрицей А, и преобразовать исходную систему (1) к системе с невырожденной матрицей при производной (в диссертации используется теория базовых матриц, предложенная в этой монографии).

Ряд результатов получен сотрудниками Ю. Е. Бояринцева. В работе [27] В. М. Корсуков сформулировал критерии устойчивости матриц вида, А В, где, А является полуобратной к А, а именно удовлетворяет уравнению АА А=А. Эти результаты можно использовать при исследовании АДС на устойчивость по Ляпунову и при построении устойчивых разностных схем.

В.А. Данилов в работах [25, 61] обосновал для случая линейных систем с регулярным пучком постоянных матриц класс разностных схем высокого порядка точности.

В.Ф. Чистяковым [6, 62, 63, 23] для исследования и численного решения линейных АДС и систем интегро-дифференциальных уравнений предложен подход, базирующийся на понятии левого регуляризирующего оператора, т. е. оператора, приводящего исходную систему к виду, разрешенному относительно производной. Эти результаты использованы при доказательстве ряда утверждений о свойствах тождественно вырожденного квадратичного функционала.

В работах А. А. Щегловой [65−67, 95, 96] рассматривается проблема разрешимости и излагаются алгоритмы приведения к нормальной форме нелинейных АДС, а также линейных АДС с отклоняющимся аргументом и выраженных систем, с непрерывным и дискретным временем. Исследуются качественные свойства линейных АДС, а также построение решения типа Соболева-Шварца для линейных АДС.

В совместной монографии В. Ф. Чистякова и А. А. Щегловой [64] много внимания уделяется качественным свойствам как линейных, так и нелинейных АДС. В рамках условия разрешимости получены условия устойчивости по Ляпунову и приводимости АДС, доказаны аналоги теорем Ляпунова-Флоке и Еругина. Обоснованы критерии управляемости и наблюдаемости АДС, доказан аналог теоремы дуальности Кальмана.

Ряд аспектов теории и построения численных методов изучены в работах М. В. Булатова [21−23]. В его работах рассмотрен ряд способов преобразования АДС и исследован вопрос о понижении индекса системы (1). Так же исследуется проблема выбора начальных данных, совместных с АДС. Рассматриваются различные численные методы применительно к АДС.

Профессор Г. А. Свиридюк и его ученики [52, 53, 98, 59, 60] развивают теорию вырожденных дифференциальных уравнений с операторными коэффициентами в банаховых пространствах. Исследуются уравнения Соболевского типа. Введено понятие фазового пространства системы дифференциальных уравнений, как множества, содержащего все ее решения и являющегося замыканием множества допустимых начальных данных задачи Коши исследуемого операторного уравнения. В работах Г. А. Свиридюка и С. В. Брычева [54], Г. А. Свиридюка и И. В. Бурлачко [50, 51] на основе метода фазового пространства построен и реализован численный алгоритм для решения вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

В работах Н. А. Сидорова, О. А. Романовой, М. В. Фалалеева, Е. Ю. Гражданцевой [55, 56, 58, 97] исследуются некоторые классы вырожденных линейных дифференциальных и интегральных уравнений на предмет существования и построения непрерывных и обобщенных решений с использованием теории псевдообратных операторов и теории фундаментальных операторов-функций соответствующих сингулярных дифференциальных операторов банаховых пространствах.

Г. А. Куриной в работах [31, 32] изучаются матрично сингулярно возмущенные задачи оптимального управления. Исследуется вопрос о поведении решений этих задач при стремлении к нулю малого параметра. Исследуется связь между множествами сингулярно возмущенной системы и вырожденной системы.

А.А. Абрамов, К. Балла, В. И. Ульянова, Л. Ф. Юхно [1−4] предлагают и исследуют метод решения краевых задач для линейных систем дифференциально-алгебраических уравнений, основанный на совокупности последовательных преобразований исходной системы, в результате которых получается система ОДУ, либо система линейных алгебраических уравнений.

В работах Г. Ю. Куликова [28−30] подробно проанализировано применение различных модификаций методов Адамса, Ныотона и Рунге-Кутты для решения системы дифференциально-алгебраических уравнений.

АДС вида (1) активно изучают и за рубежом. Математиками R. Maerz, Е. Griepentrog, R. Lamour, М. Hanke и др. предлагаются критерии определения АДС индекса 1 и для них строятся численные методы [78−82, 89, 91]. Предлагаются подходы к исследованию разрешимости АДС индексов 1 и 2 [68,90, 83, 84] и согласованию начальных данных [88].

W.C. Rheinboldt, P.J. Rabier [92−94] рассматривают многие аспекты качественной теории АДС. В частности, для квазилинейной автономной системы предлагается процедура последовательного понижения индекса АДС с помощью многообразий касательных пучков, стабилизация процесса означает, что исходная АДС становится эквивалентна системе ОДУ в нормальной форме на некотором многообразии.

В работах P. Kunkel, V. Mehrmann [85, 87] для линейных АДС постоянного ранга построен аналог канонической формы, на основе которого осуществляется процесс понижения индекса. Этот подход также применяется для нелинейных АДС. В вышедшей одновременно с работай [19], книге [86] дается введение в анализ теории дифференциально-алгебраических уравнений, и описываются некоторые соответствующие численные методы для задач начальных и краевых условий.

Стоит отметить, что все приведенные работы в области АДС в основном исследуют общий вид (1), не затрагивая достаточно распространенной в приложениях блочной структуры (1), (2) или (1), (3). В связи с этим исследование блочных АДС вида (1), (2) и (1), (3) является весьма актуальным.

Диссертационная работа направлена на развитие теории базовых матриц для алгебро-дифференциальных систем, предложенной Ю. Е. Бояринцевым, и на адаптацию данного подхода к исследованию блочных АДС, где, А и В постоянные матрицы, с существенным учетом их структуры.

Цель работы — исследование блочных алгебро-дифференциальных систем с учетом их блочной структуры и получение методов решения линейных и нелинейных блочных АДС.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

1. Провести анализ теории базовых матриц Ю. Е. Бояринцева и применить результаты для исследования блочных АДС.

2. Используя блочную структуру системы, получить критерии ее принадлежности к системам того или иного индекса, при этом особое внимание обратить на системы индексов 1 и 2.

3. Найти достаточно простые способы вычисления базовых матриц.

4. Применить полученные результаты для разработки вычислительных методов решения линейных и нелинейных блочных АДС индексов 1 и 2.

Научная новизна и практическая значимость. Основные результаты, изложенные в диссертации, являются новыми и имеют как теоретическую, так и практическую значимость.

Обобщена теория базовых матриц для алгебро-дифференциальных систем Ю. Е. Бояринцева, доказана теорема существования и единственности базовых матриц. Построен метод нахождения базовых матриц с использованием обратной матрицы Дразина. Получены ранговые критерии разрешимости системы для базовых матриц.

Исследованы вопросы применения теории базовых матриц к блочным АДС. Построены критерии принадлежности блочных АДС к системам индексов 1 и 2 и найдены для них явные записи базовых матриц. Исследована возможность понижения индекса системы при построении решения и доказана соответствующая теорема о понижении индекса.

На основе полученных при исследовании результатов разработаны вычислительные методы решения линейных и нелинейных АДС.

Результаты диссертации могут быть использованы при исследовании математических моделей, возникающих при изучении реальных объектов и процессов, а также при составлении программ для решения задач, связанных с АДС.

Методы исследования. При исследовании использовались: теория матриц и теория итерационных процессов для решения систем алгебраических и трансцендентных уравнений. Также в работе применялась теория базовых матриц для алгебро-дифференциальных систем, предложенная Ю. Е. Бояринцевым.

Краткое содержание диссертации. Кроме введения диссертация содержит три главы и список литературы.

В первой главе приведены некоторые обобщения теория базовых матриц для алгебро-дифференциальных систем.

П. 1.1 носит вспомогательный характер. Здесь даны необходимые сведения о регулярности пары матриц и индексе системы. В п. 1.2 описан объект исследования. В н.1.3 приводятся общие сведения из теории базовых матриц Ю. Е. Бояринцева [11]. В заключении параграфа вводится система для базовых матриц имеющая единственное решение. Существование и единственность решения системы для базовых матриц доказывается в н.1.4.

В п. 1.5 рассматривается частный случай пары матриц (А, В) когда В=Е. В этом случае система для базовых матриц сводится к равенствам, определяющим обратную матрицу Дразина. Также приведены необходимые сведения об обратной матрице Дразина. В п. 1.6 предложен метод нахождения базовых матриц с использованием обратной матрицы Дразина.

В п. 1.7 исследуется вопрос о разрешимости системы для базовых матриц. Получены критерии разрешимости системы для базовых матриц, которые также могут служить определениями индекса системы.

Во второй главе исследованы вопросы применения теории базовых матриц к блочным алгебро-дифференциальным системам.

В п. 2.1 вводятся вспомогательные сведения, адаптированные на структуру системы.

В п. 2.2 построены критерии принадлежности блочных АДС вида (1), (2) к системам индекса 1 и получены явные записи их базовых матриц. Все полученные критерии и явные записи базовых матриц также показаны на примерах. В п. 2.3 рассматриваются блочные пары матриц (2) индекса 2. Получены критерии принадлежности к системам индекса 2 при некоторых предположениях относительно блоков матриц.

П. 2.4 посвящен полуявным блочным парам матриц вида (3) индекса 1 и 2. В заключении параграфа исследована возможность понижения индекса системы при построении решения и доказана соответствующая теорема о понижении индекса.

В п. 2.5 рассмотрен частный случай блочных пар матриц индекса 2 и показано, что решение системы индекса 2 сводится к решению системы индекса 1.

Во второй главе (п. 2.6) показана также возможность получения результатов, аналогичных результатам для блочных АДС (п. 2.1, 2.2, 2.3), для исследования систем, названных в работе вертикально-блочными АДС.

Третья глава посвящена применению полученных результатов для решения и исследования линейных и нелинейных АДС индексов 1 и 2.

В п. 3.1 излагаются основные идеи применения базовых матриц при построении решения для нелинейной системы вида (Ах)' = Вх + j (x, t). Далее в и.3.2 рассматривается нелинейная система индекса 1.

В п. 3.3 приведены итерационные методы, используемые при решении. Далее, в п. 3.4, на примере метода типа ломанных Эйлера показан предлагаемый вычислительный метод.

Предложенный метод в п. 3.5 применяется также для случая нелинейных систем общего вида (Ах)' =J[x, /), кроме того, в п. 3.5 для нелинейной системы общего вида сформулированы теоремы о согласовании начальных данных.

П. 3.6. содержит некоторые преобразования полуявных АДС индекса 2 к виду удобному для построения численных методов. При преобразованиях используется теорема о понижении индекса.

Основные результаты.

1. Доказана теорема существования и единственности базовых матриц для алгебро-дифференциальных систем.

2. Построен метод нахождения базовых матриц с использованием обратной матрицы Дразина.

3. Получены ранговые критерии разрешимости системы для базовых матриц.

4. Используя блочную структуру АДС, найдены критерии ее принадлежности к системам индексов 1, 2 и найдены для них явные записи базовых матриц.

5. Исследована возможность понижения индекса системы при построении решения и доказана соответствующая теорема о понижении индекса.

6. Полученные при исследовании результаты применены для построения вычислительных методов для решения линейных и нелинейных АДС.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

S Международная конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям, Новосибирск, 2002;

S «Ляпуновские чтения и презентация информационных технологий», Иркутск, 2002;2004гг.;

S Вторая Восточно-Сибирская зональная межвузовская конференция по математике и проблемам ее преподавания в вузе, Иркутск, 2003;

S IV Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям, Красноярск, 2003;

S III Всероссийская конференция «Математика. Информатика. Управление», Иркутск, 2004;

S XIII Байкальская Международная школа-семинар «Методы оптимизации и их приложения», Иркутск — Северобайкальск, 2005;

S IV Всесибирский конгресс женщин-математиков, Красноярск, 2006;

S Всероссийская научная конференция «Математика. Механика. Информатика», Челябинск, 2006.

Результаты работы обсуждались на семинарах лаборатории алгебро-дифференциальных систем, объединенном семинаре ИДСТУ СО РАН и на семинаре кафедры математического анализа Иркутского государственного университета (руководитель-д.ф.-м.н. Н.А. Сидоров).

Работа выполнена при поддержке Фонда содействия отечественной науке.

Публикации. По теме диссертации опубликована 21 работа. В том числе монография [19], написанная совместно с руководителем диссертационной работы Ю. Е. Бояринцевым и три статьи в изданиях, одобренных ВАК [7], [36], [46].

Благодарности. Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору Юрию Еремеевичу Бояринцеву за неоценимую помощь в работе над диссертацией и чуткое руководство.

Особую благодарность автор выражает своим родным: мужу Евгению Владимировичу и сыну Владиславу за терпение и заботуродителям Жилкиным Виталию Васильевичу и Надежде Николаевне за безграничную помощь и за веру в успех.

1. Абрамов, А. А. Нелинейной сопряженная спектральная задача для некоторых дифференциально-алгебраических уравнений / А. А. Абрамов, К. Балла, В. И. Ульянова, Л. Ф. Юхио //Дифференциальные уравнения. — 2003. -Т.39, № 7. — С.867−878.

2. Абрамов, А.А. О выделении решений, ограниченных в особой точке, для некоторых дифференциально-алгебраических систем уравнений / А. А. Абрамов, В. И. Ульянова, Л. Ф. Юхно //Дифференциальные уравнения. 2004. Т.40, № 7. С.893−897.

3. Абрамов, А. А. Один метод решения краевых и спектральных задач для линейных дифференциально-алгебраических систем уравнений / А. А. Абрамов, В. И. Ульянова, Л. Ф. Юхно //Дифференциальные уравнения. 2006. Т.42, № 7. С.874−882.

4. Бояринцев, Ю.Е. Алгебро-дифференциальные системы. Методы решения и исследования / Ю. Е. Бояринцев, В. Ф. Чистяков. Новосибирск: Наука. Сиб. предприятие РАН, 1998. — 224с.

5. Бояринцев, Ю. Е. Блочные алгебро-дифференциальные системы и их индексы / Ю. Е. Бояринцев, И. В. Орлова // Известия Вузов. Математика. -2004. -№ 6. -С.6−13.

6. Бояринцев, Ю.Е.

Введение

в численные методы решения сингулярных систем / Ю. Е. Бояринцев. Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1989. — 76с.

7. Бояринцев, Ю. Е. Замечание о неявной разностной схеме, аппроксимирующей систему уравнений Стокса / Ю. Е. Бояринцев, Т. П. Бояринцева // Численные методы анализа и их приложения. Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1983.-С.127−131.

8. Бояринцев, Ю. Е. Итерации с назначенным управлением / Ю. Е. Бояринцев // Оптимизация, управление, интеллект. Иркутск, ИДСТУ СО РАН, 2002. — № 6. — С.77−84.

9. Бояринцев, Ю. Е. Линейные и нелинейные алгебро-дифференциальные системы / Ю. Е. Бояринцев. Новосибирск: Наука, 2000. — 223с.

10. Бояринцев, Ю. Е. Методы прогонки решения полуявных алгебро-дифференциальных систем / Ю. Е. Бояринцев, И. В. Орлова // Ляпуновские чтения. Тезисы докладов. Иркутск, ИДСТУ СО РАН, 2002.

11. Бояринцев, Ю. Е. Методы решения вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений / Ю. Е. Бояринцев. -Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1988. 158с.

12. Бояринцев, Ю. Е. Методы решения непрерывных и дискретных задач для сингулярных систем уравнений / Ю. Е. Бояринцев. Новосибирск: Наука. Сиб.изд.фирма РАН, 1996.-261с.

13. Бояринцев, Ю. Е. Об одном разрешающем преобразовании неизвестных в неявной системе обыкновенных дифференциальных уравнений / Ю. Е. Бояринцев // Алгебро-дифференциальные системы и методы их решения.-Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1993.-С.4−18.

14. Бояринцев, Ю. Е. Применение разностных методов к решению регулярных систем обыкновенных дифференциальных уравнений / Ю. Е. Бояринцев, В. М. Корсуков // Вопр. прикладной математики. Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1975.-С.140−152.

15. Бояринцев, Ю. Е. Пучки матриц и алгебро-дифференциальные системы / Ю. Е. Бояринцев, И. В. Орлова. Новосибирск, Наука, 2006. — 124с.

16. Бояринцев, Ю. Е. Регулярные и сингулярные системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений I Ю. Е. Бояринцев. -Новосибирск: Наука, 1980.-222с.

17. Булатов, М. В. Решение алгебро-дифференциальных систем методом наименьших квадратов / М. В. Булатов, В. Ф. Чистяков // Тр. XI Междунар. Байкальской школы-семинара «Методы оптимизации и приложения». -Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 1998. Т.4. — С.72−75.

18. Булатов, М.В. О преобразовании алгебро-дифференциальных систем уравнений / М. В. Булатов // Журнал вычислительной математики и мат. физики. 1994. — Т.34, № 3. — С.360−372.

19. Булатов, М. В. Об одном численном методе решения дифференциально-алгебраических уравнений /М.В. Булатов, В.Ф. Чистяков// Журнал вычислительной математики и мат. физики. 2002. — Т.42, № 4. -С.459−470.

20. Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц / Ф. Р. Гантмахер. М.: Наука, 1966. -576с.

21. Директор, С.

Введение

в теорию систем / С. Директор, Р. Рорер. -Москва: издательство «Мир», 1974. -464с.

22. Корсуков В. М. Некоторые свойства обобщенных обратных матриц /B.М. Корсуков // Вырожденные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1982. — С. 19−36.

23. Куликов Г. Ю. Об использовании итерационных методов Ньютоновского типа для решения систем дифференциально-алгебраических уравнений индекса 1II Журнал вычислительной математики и мат. физики. -2001. -Т.41, № 8. С.1180−1189.

24. Курина, Г. А. Асимптотика решения задач оптимального управления для дискретных слабоуправляемых систем / Г. А. Курина // ПММ. Т.66, № 2. -С.214−227.

25. Курина, Г. А. О поведении множеств достижимости линейных матрично сингулярно возмущенных систем I Г. А. Курина // Труды МИРАН. -1995.-Т.211.-С.316−325.

26. Лузин, Н.Н. К изучению матричной системы теории дифференциальных уравнений //Автоматика и телемеханика. 1940. — № 5.C.4−66.

27. Орлова, И. В. Базовые матрицы для алгебро-дифференциальных систем / И. В. Орлова // Тезисы докладов IV Всероссийской конференциимолодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. Красноярск, ИВМ СО РАН, 2003.

28. Орлова, И. В. Базовые матрицы для алгебро-дифференциальных систем и метод их вычисления с использованием обратной матрицы Дразина / И. В. Орлова // Вестник Красноярского государственного университета. Физико-математические науки.-2006. -№ 4-С. 125−134.

29. Орлова, И. В. Индексы блочных алгебро-дифференциальных систем / И. В. Орлова // Ляпуновские чтения. Тезисы докладов. Иркутск, ИДСТУ СО РАН, 2002.

30. Орлова, И. В. Индексы блочных алгебро-дифференциальных систем полуявного типа / И. В. Орлова //Международная конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. Тезисы докладов. Новосибирск, ИВТ СО РАН, 2002.

31. Орлова, И. В. Использование базовых матриц для исследования алгебро-дифференциальных систем блочного вида / И. В. Орлова // Всероссийская научная конференция. Математика. Механика. Информатика: Тезисы докладов. Челябинск: ЧелГУ, 2006. — С. 101 -102.

32. Орлова, И. В. Использование базовых матриц для решения АДС блочного вида индекса 2 / И. В. Орлова // Ляпуновские чтения. Тезисы докладов. Иркутск, ИДСТУ СО РАН, 2004.

33. Орлова, И. В. Нахождение базовых матриц и их единственность / И. В. Орлова // Ляпуновские чтения. Тезисы докладов. Иркутск, ИДСТУ СО РАН, 2003.

34. Орлова, И.В. О базовых матрицах для алгебро-дифференциальных систем / И. В. Орлова // Тезисы докладов школы-семинара молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. -Иркутск, 2003.

35. Орлова, И. В. Об одном методе вычисления базовых матриц для алгебро-дифференциальных систем / И. В. Орлова // Вычислительные технологии. Том 9. — Часть III. — Алматы — Новосибирск, 2004. — С.254−258.

36. Орлова, И. В. Построение методов решения для некоторых нелинейных алгебро-дифференциальных систем / И. В. Орлова // III Всесибирский конгресс женщин-математиков. Тезисы докладов. -Красноярск, 2004.

37. Орлова, И. В. Построение методов решения для некоторых нелинейных алгебро-дифференциальных систем / И. В. Орлова // IV Всесибирский конгресс женщин-математиков. Материалы конференции. -Красноярск: РИО СибГТУ, 2006. С. 133−134.

38. Свиридюк, Г. А. Алгоритм решения задачи Коши для вырожденных линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами / Г. А. Свиридюк, И. В. Бурлачко // ЖФМ и МФ. 2003. — Т.43, № 11. — С. 1677−1683.

39. Свиридюк, Г. А. К общей теории полугрупп операторов / Г. А. Свиридюк // Усп. мат. Наук. 1994. — Т.49, № 4. — СМ-14.

40. Свиридюк, Г. А. Об одной сингулярной системе обыкновенных дифференциальных уравнений / Г. А. Свиридюк // Дифференциальные уравнения. 1987. -Т.23, № 9. — С. 1637−1639.

41. Свиридюк, Г. А. Численное решение систем уравнений леонтьевского типа / Г. А. Свиридюк, С. В. Брычев // Известия вузов. Математика. 2003. -№ 8.-С.46−52.

42. Сидоров, Н. А. Задача Коши для однородного класса дифференциальных уравнений / Н. А. Сидоров // Дифференциальные уравнения. 1972. -Т.8, № 8. — С.1521−1524.

43. Сидоров, Н.А. О применении некоторых результатов теории ветвления при решении дифференциальных уравнений с вырождением / Н. А. Сидоров, О. А. Романова // Дифференциальные уравнения. 1983. — Т19, № 9. — С.1516−1526.

44. Фаддеев, Д. К. Вычислительные методы линейной алгебры / Д. К. Фаддеев, В. Н. Фаддеева. М.: Физматгиз, 1960. — 656с.

45. Фалалеев, М. В. Фундаментальные оператор-функции сингулярных дифференциальных операторов в банаховых пространствах / М. В. Фалалеев // СМЖ. 2000. — Т.41, № 5. с. 1167−1182.

46. Федоров, В. Е. Вырожденные сильно непрерывные полугруппы операторов // Алгебра и анализ. 2000. — Т. 12, № 3. — С. 173−200.

47. Федоров, В. Е. Оптимальное управление линейными уравнениями Соболевского типа / В. Е. Федоров, М. В. Плеханова // Дифференциальные уравнения. 2004. — Т.40, № 11. — С.1548−1556.

48. Численные методы решения сингулярных систем / Ю. Е. Бояринцев, В. А. Данилов, А. А. Логинов и др. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1989. -223с.

49. Чистяков В. Ф. Алгебро-дифференциальные операторы с конечномерным ядром / В. Ф. Чистяков. Новосибирск: Сиб.изд.фирма РАН «Наука», 1996.-278с.

50. Чистяков В. Ф. О нетеровом индексе линейных алгебро-дифференциальных систем I В. Ф. Чистяков // Сиб.мат.журнал. 1993. — Т.34, № 3. — С.209−221.

51. Чистяков, В. Ф. Избранные главы теории алгебро-дифференциальных систем / В. Ф. Чистяков, А. А. Щеглова. Новосибирск: Наука, 2003. — 320с.

52. Щеглова А. А. Линейные алгебро-дифференциальные системы с переменным отклонением аргумента / А. А. Щеглова // Изв.вузов. Математика. 2002. — № 6. — С.69−77.

53. Щеглова, А. А. Левый регуляризующий оператор для алгебро-дифференциалъной системы с запаздыванием /А.А. Щеглова // Изв.вузов. Математика. 2003. — № 4. — С.73−85.

54. Щеглова, А. А. Об обобщенных решениях линейных алгебро-дифференциальных систем /А.А. Щеглова // Изв.вузов. Математика. 2006. № 4. С.65−77.

55. Balla, К. A unified approach to linear differential algebraic equations and their adjoints / K. Balla, R. Marz // Journal for Analysis and its Applications, 2002. V.21, N3, p.783−202.

56. Boyarintsev, Yu. Methods of solving singular systems of ordinaiy differential Equations / Yu. Boyarintsev. ChichesterNew YorkBrisbaneTorontoJohn Wiley and Sons, 1992.-163p.

57. Brenan, K.E. Numerical solution of initial-problems in differential-algebraic equations (classics in applied mathematics- 14) / K.E. Brenan, S.L. Campbell, L.R. Petzold. Philadelphia: SIAM, 1996. — 256p.

58. Campbell, S.L. Canonical forms and solvable singular systems of differential equations / S.L. Campbell, L.R. Petzold // SIAM J. Alg. Discrete Methods, 1983. N4. -P.517−521.

59. Campbell, S.L. Applications of the Drazin inverse to linear systems of differential equations with singular constant coefficients / S.L. Campbell, C.D. Meyer, N.J. Rose // SIAM J. Appl. Math, 1976. N31. — P.411−425.

60. Campbell, S.L. Singular linear systems of differential equations with delays / S.L. Campbell//Applicable Analyses, 1980. VI1. — P. 129−136.

61. Campbell, S.L. Singular system of differential equations / S.L. Campbell. -San-Francisco: Pitman, 1980. .

62. Campbell, S.L. Singular system of differential equations 2 / S.L. Campbell.- San-Francisco: Pitman, 1982.

63. Campbell, S.L. Uniqueness of completions for linear time varying differential algebraic equations / S.L. Campbell // Linear Algebra and Aplications, 1992.-N161.-P.55−678.

64. Gear, C.W. Differential-algebraic systems and matrix pensil / C.W. Gear, L.R. Petzold // Lect. Notes Math, 1983. -N973. -P.75−79.

65. Griepentrog, E. Differential-algebraic equations and their numerical treatment / E. Griepentrog, R. Maerz. Leipzig: BSB B. G. Teubner Verlag gesellschaft, 1986.

66. Hanke, M. Asymptotic expansions for regularization methods of linear fully implicit differential-algebraic equations / M. Hanke // Journal for Analysis and its Applications, 1994. V. 13, N3 — P.513−535.

67. Hanke, M. On asymptotics in case of index 2 differential-algebraic equations / M. Hanke, E.I. Macana, R. Maerz. Humboldt-Universitat Berlin, Institut fur Mathematik. Prepr. N3. — Berlin, 1997.

68. Hanke, M. On the regularization of index 2 differential-algebraic equations / M. Hanke. Humboldt-Universitat Berlin, Sekt. Math. Prepr. N174. — Berlin, 1986.

69. Hanke, M. Regularization of differential-algebraic equations revisited / M. Hanke // Math. Nachr., 1995. N174 — P. 159−183.

70. Higueras, I. Stability preserving integration of index-1 DAEs /1. Higueras, R. Maerz, C. Tischendorf // Applied Numerical Mathematics, 2003. N 45, p. 175−200.

71. Higueras, I. Stability preserving integration of index-2 DAEs /1. Higueras, R. Maerz, C. Tischendorf // Applied Numerical Mathematics, 2003. N 45, p. 201−229.

72. Kunkel, P. Canonical forms for linear differential-algebraic equations with variable coefficients / P. Kunkel, V. Mehrmann // J. Сотр. Appl. Math., 1995. -N56.-P. 225−251.

73. Kunkel, P. Differential-algebraic equations. Analysis and numerical solution / P. Kunkel, V. Mehrmann. EMS, 2006. — 392p.

74. Kunkel, P. Regular solutions of nonlinear differential-algebraic equations and their numerical determination / P. Kunkel, V. Mehrmann // Numer. Math., 1998. N79. — P.581−600.

75. Lamour, R. Index determination and calculation of consistent initial values for DAEs / R. Lamour // Computer and Mathematics with Applications, 2004. to appear.

76. Lamour, R. Stability of periodic solutions of index-2 differential-algebraic equation / R. Lamour, R. Marz, R. Winkler // J. Math. Appl., 2003. N279, p.475−494.

77. Maerz, R. Differential algebraic systems with properly stated leading term and MNA equations / R. Maerz // International Series of Numerical Mathematics, 2003.-V. 146, p. 135−151.

78. Maerz, R. On linear differential-algebraic equations and linearizations / R. Maerz // APNUM, 1995. N 18, p. 267−292.

79. Rabier, P.J. Nonholonomic motion of rigid mechanical systems from DAE viewpoint / P.J. Rabier, W.C. Rheinboldt. Philadelphia, PA: SIAM Publications, 2000.

80. Rabier, P.J. Theoretical and numerical analysis of differential-algebraic equations. Handbook of Numerical Analysis / P.J. Rabier, W.C. Rheinboldt. -V.VIII. Amsterdam, 2002.

81. Rheinboldt W.C. Differential-algebraic systems as differential equations on manifolds / W.C. Rheinboldt // Math. Сотр., 1984. V.43, N168. — P.473−482.

82. Shcheglova, A.A. Classical and generalized solutions of differential-algebraic systems with deviating argument / A.A. Shcheglova // Functional Differential Equations. 2004. — Vol. 11, N3−4. — P.485−510.

83. Shcheglova, A.A. On observability of singular linear hybrid systems / A.A. Shcheglova // Nonlinear Analysis. Hybrid Systems. 2005. — N62. — P. 1419−1436.

84. Sidorov, N. Lypunov-Schmidt method in nonlinear analysis and application / N. Sidorov, B. Loginov, A. Sinitsin, M. Falaleev. Kluwer Academic Publishers, 2002.-566p.

85. Sviridyuk, G.A. Sobolev type equations and degenerate semigroups of operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov. Utrecht-Boston: VSP, 2003 — 179p.