Диплом, курсовая, контрольная работа
Помощь в написании студенческих работ

Спектральные вопросы задачи Франкеля для уравнения смешанного типа

Диссертация: Спектральные вопросы задачи Франкеля для уравнения смешанного типа
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Нахождение в явном виде (через функции Бесселя) общих решений вырождающихся эллиптико-гиперболических уравнений со спектральным параметром. Доказана базисность собственных функций задачи Франкля с нелокальным условием нечетности и с разрывом градиента решения. Доказана полнота собственных функций задачи Франкля с нелокальным условием четности и с разрывом градиента решения. Для задачи Франкля для… Читать ещё >

Содержание

  • 1. Построение частного решения уравнения смешанного типа в эллиптической части области и в гиперболической части области
  • 1. 1-Постановка задачи
  • 1. 2−0бщее решение видоизмененной задачи Франкля в эллиптической части области
  • 1. 3−0бщее решение видоизмененной задачи Франкля в гиперболической части области
  • 1. 4-Сшивание решения
  • 1. 5-Граничное условие задачи Франкля
  • 2. Базисность собственных функций задачи Франкля с нелокальным условием четности
  • 2. 1-Постановка задачи
  • 2. 2-Нахождение собственных значений и собственных функций
  • 2. 3-Полнота собственных функций
  • 2. 4-Базисность системы собственных функций
  • 3. Базисность собственных функций задачи Франкля с нелокальным условием четности и с разрывом градиента решения
  • 3. 1-Постановка задачи
  • 3. 2-Нахождение собственных значений и собственных функций
  • 3. 3-Полнота собственных функций
  • 3. 4-Базисность системы собственных функций
  • 4. Полнота собственных функций задачи Франкля с нелокальным условием четности и с разрывом градиента решения
  • 4. 1-Постановка задачи
  • 4. 2-Нахождение собственных значений и собственных функций
  • 4. 3-Полнота собственных функций
  • 5. Полнота собственных функций задачи Франкля с условием нечетности
  • 5. 1-Постановка задачи
  • 5. 2-Нахождение собственных значений и собственных функций
  • 5. 3-Полнота собственных функций
  • Выводы

Спектральные вопросы задачи Франкеля для уравнения смешанного типа (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Общая характеристика работы.

Актуальность темы

Теория краевых задач для уравнений смешанного типа является одним из важных разделов. Первым исследователем в этой области был Ф. Трикоми [42]. Началом нового этапа в развитии теории уравнений смешанного типа явилась работа Ф. И. Франкля[43]. Задача Франкля без спектрального параметра рассматривалась в работах А. В Бицадзе, М. М Смирнова, К. И Бабенко [1], [39]. Большой вклад в изучение разрешимости краевых задач для уравнений смешанного типа внесли работы И. М. Гельфанда, Геллерстедта (Се11ег8^сН-8).А. М. Нахушева, М. С. Салахитдинова, Т. Д. Джураева, А. П. Солдатова, В. Н. Врагова, Т. Ш. Кальменова, К. Б. Сабитова, А. Н. Зарубина, С. П. Пулькина, В. Ф. Волкодавова, В. П. Михайлова, А А. Пол осина, Н. Ю. Капустина, A.B. Псху. Спектральные свойства задач для уравнения смешанного типа активно изучались, начиная с 80-х годов.Т.Ш.Кальменов[14]первый доказал, что задача Трикоми имеет по крайней мере одно собственное значение для уравнения Лаврентьева-Бицадзе.С. М. Пономарев выписал собственные функции задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе и доказал их полноту в эллиптической части области, являющейся круговым. Е.й. Моисеев [20−31] нашел сектора на комплексной плоскости, в которых отсутствует спектр задачи Трикоми для уравнения Геллерстедта с переменными коэффициентами^ частности, для уравнения Трикоми).Е. И. Моисеев доказал базисность этой системы в эллиптической части области и, используя свойство базисности, построил спектральный метод решения краевых задач для уравнений смешанного типа. Я. Н. Мамедов [18] распространил результаты о полноте собственных функций для вырождающихся уравнений смешанного типа, в частности, для уравнения Трикоми, но в случае, когда эллиптическая часть области-это половина круга в соответствующей геометрии. Задача Геллерстедта для уравнения Лаврентьева-Бицадзе и для уравнения Геллерстедта[6]исследовалась в работах К. Б. Сабитова и его учеников[38]. В этой работе изучены полнота и базисность собственных функций для задачи Франкля для уравнения смешанного типа в эллиптической части области.

Цель работы. Целью работы являются доказательства базисности или полноты собственных функций задачи Франкля с нелокальным условием четности или нечетности и с разрывом градиента решения или без разрыва градиента решения на линии изменения типа уравнения.

Методы исследования. Построение частного решения уравнения смешанного типа в эллиптической части области и в гиперболической части области выписывается с помощью метода разделения переменных, используется функция Бесселя. Базисность собственных функций задачи Франкля и полнота собственных функций задачи Франкля исследуются с помощью теорем о полноте и базисности систем синусов и косинусов в пространстве Ьр. Кроме того, используется ортонормированная система функций Бесселя.

Научная новизна. В первой главе изучается построение частного решения уравнения смешанного типа в эллиптической части области и в гиперболической части области, ранее во второй главе доказана базисность собственных функций задачи Франкля с нелокальным условием четности, в третьей главе доказана базисность собственных функций задачи Франкля с нелокальным условием нечетности и с разрывом градиента решения, в четвёртой главе доказана полнота собственных функций задачи Франкля с нелокальным условием четности и с разрывом градиента решения. В пятой главе доказана полнота собственных функций задачи Франкля с условием нечетности.

Практическая и теоретическая ценность работы.

Полученные результаты и предложенные методы исследования представляют теоретический интерес и могут быть использованы в спектральной теории краевых задач для уравнения смешанного типа и в газовой динамике.

Апробация работы. Результаты, приведенные в диссертации, докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедр общей математики и функционального анализа и его применений факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова, а также докладывались на Тихоновских чтениях в октябре 2008 г.

Публикации.Основные результаты работы подготовлены, оформлены в пяти статьях и опубликованы[44−48].

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из оглавления, введения, пяти глав и списка литературы. В введении указана актуальность задачи и краткая история основных результатов по уравнениям смешанного типа и основные результаты диссертации. Объём диссертации составляет 100 страниц.

Выводы.

В работе получены следующие результаты:

1.Нахождение в явном виде (через функции Бесселя) общих решений вырождающихся эллиптико-гиперболических уравнений со спектральным параметром.

2. Для задачи Франкля для уравнения Лаврентьева-Бицадзе нахождение собственных значений и собственных функций.

3.Доказана базисность собственных функций задачи Франкля с нелокальным условием четности.

4.Доказана базисность собственных функций задачи Франкля с нелокальным условием нечетности и с разрывом градиента решения.

5.Доказана полнота собственных функций задачи Франкля с нелокальным условием четности и с разрывом градиента решения.

6. До казана полнота собственных функций задачи.

Франкля с условием нечетности.

Показать весь текст

Список литературы

  1. Бабенко К.И.К теории уравнений смешанного типа.дис.д-ра физ.-мат., 1952.
  2. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции Т.2.М.Д987.
  3. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М., 1983.
  4. Волкодавов В.Ф., Быстрова О.К.//Неклассические уравнения и уравнения смешанного типа. Новосибирск, 1990. с. 47−52.
  5. Врагов В.Н.//Дифференц уравнения. 1977.Т. 13.С. 1098−1105.
  6. Геллерстедт^еИегвг^с^ 8).Агк1у Ма^Аз^-осИ Руз1к 29,1937,В.25А.
  7. Гельфанд И. М. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений.м., Физ-Мат-Гиз, 1958.
  8. Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов.-Ташкент: ФАН, 1979.
  9. Зарубина А. Е. Исследование начально-краевых задач для уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом. Докторская диссертация, 1996 г., 234с.
  10. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. 1965.
  11. Ильин В.А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа,-ч. 1-М. наука, 1982.
  12. Ильин В.А.//Дифференц уравнения. 1980.Т.16.№ 5. С. 6.
  13. Ильин В.А.//Дифференц уравнения. 1980.Т.16.ДО5. С.771−794.
  14. Кальменов Т.Ш.//Дифференц уравнения. 1977.Т. 13. № 8.0.1418−1426.
  15. Капустин Н.Ю.//Дифференц уравнения.2003.Т.5.Ж С.-.
  16. Каратопраклиев Г. Д.//Докл.АН.1970.Т.193.№ 6. С.1226−1229.
  17. Лаврентьев М.А., Шабат М. В., Методы теории функции комплексного переменного М., 19 858.
  18. Мамедов Я.Н.//Дифференц.уравнения.1982.Т.25.№ 1. С.167−169.
  19. Михайлова В. П. Об обобщенной задаче Трикоми, //Докл.АН.1967.Т. 175.С. 1012−1014.
  20. Моисеев Е.И.//Дифференц.уравнения.1992.Т.28.№ 4. С 721 -723.
  21. Е. И.//Докл.АН СССР. 1984.Т.275.№ 4. С 795−798.
  22. Моисеев Е.И.//Дифференц.уравнения.1987.Т.23.№ 1. С.177−179.
  23. Моисеев Е.И., Ильин В.А.//Тр.Мат.ин-та им. В. А. Стеклова.1992. Т.201. С.219−230.
  24. Моисеев Е.И.//Дифференц.уравнения.1990.Т.26.№ 26. С.93−103.
  25. Моисеев Е.И.//Дифференц.уравнения.1990.Т.26.№ 7. С.1160−1172.
  26. Моисеев Е.И.//Дифференц.уравнения.1992.Т.27.№ 4. С.721−723.
  27. Моисеев Е.И.//Дифференц.уравнения.1991.Т.27.№ 7. С.1229−1237.
  28. Моисеев Е.И.//Частичная финансовая поддержка научной школы № 2726−2008−1.
  29. Моисеев Е.И.// Гранты РФФИ № 2008−01−313.
  30. Моисеев Е.И.уравнения смешанного типа со спектральным параметром .-М. Изд-во. МГУ, 1988 г.
  31. Моисеев Т.Е.//Дифференц.Уравнения.2003.Т.39.Ж11. с.1568−1570.
  32. Мусхелищвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения.М., 1968.
  33. Нахушев А. М. Об одной задаче смешанного типа для уравнения у (у — 1) ихх + иуу = 0, ДАН СССР 166,3,1966.
  34. Полосин A.A.О регулярной разрешимости некоторых краевых задач для уравнений смешанного типа. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук-Москва-1996г.
  35. Пономарев С. М. Докл.АН.1979.Т.249.№ 5.С.Ю68−1070.
  36. Псху A.B., Краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными дробного и континуального порядка диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук-Москва-2007.
  37. Пулькин С.П.//Докл.АН.1958.Т.118.№ 1.С.38−41.
  38. Сабитов К.Б., Кучкарова А. Н. Спектральные свойства решения задачи Геллерстедта для уравнения смешанного типа и их применения//Сиб.мат.ж.2001.Т.42.№ 5.С.1147−1161.
  39. Салахитдинов М. С. Уравнения смешанного типа.-Ташкент:ФАН, 1974.
  40. Смирнов М. М .Уравнения смешанного типа.М., 1985.
  41. Солдатов А.П.//Дифференц уравнения. 1972.Т.8.С. 143−146.
  42. Трикоми Ф. О линейных уравнениях смешанного типа, Гостехиздат, 1948.
  43. Франкль Ф. И. Избранные труды по газовой динамике. М., 1973.
  44. Моисеев Е. И. Аббаси.Н.//Дифференцуравнения.2008. Т.44.№З.С.408−412.
  45. Е. И. Аббаси.Н.//Дифференц уравнения.2008. Т.44.№ 6.С 831−836.46. .Моисеев Е. И .Аббаси. Н. //Дифференц уравнения .2008. Т. 44. М0.С. 1399−1404.
  46. Моисеев.Е. И. Аббаси.Н.//Integral transforms and special functions.2009.vol.20.Issue.2.С. 155−160.
  47. . H. / / Док л.АН.2009. Т. 79 Д9.2,С.1−4.
Заполнить форму текущей работой

На отлично!