Приближенные методы решения краевых задач типа Гильберта и типа Римана для бианалитических функций

Данная диссертационная работа посвящена разработке приближенных методов решения краевых задач типа Гильберта и типа Римана для бианали-тических функций.

Полианалитической функцией порядка и (и-аналитической) в некоторой области D называется ([4], [16], [82], [117], [129], [130]) функция.

F (z)=U{x, y)+iV (x, y) комплексного переменного z = x + iy, которая имеет в D частные производные по х и у до порядка п включительно и удовлетворяет там уравнению dnF (z) dz.

— П 0, где д 1 v д. д Л — + i — дх ду дифференциальный оператор Коши-Римана, dz, 2 neNfn> 2.

Полианалитическая функция порядка п- 2 называется бианалитической. Действительная и мнимая части бианалитической функции являются бигар-моническими функциями.

Одна из основных краевых задач типа Гильберта (см. [16], с. 301, или [106], с. 165) для бианалитических функций может быть сформулирована следующим образом.

Пусть простой замкнутый гладкий контур L ограничивает конечную односвязную область D, а.

Требуется определить в области D+ бианалитическую функцию F{z) = u{x, y) + iv{x, y), непрерывно продолжающуюся на контур L вместе со своими частными производными первого порядка, по краевым условиям: чди, ч dv ох ох ди a2(t)-+ b2(t) dv t),.

0.1) ду ду где ak{t), bk{t), ck{t) (? = 1,2) — заданные наL действительные функции комплексного аргумента, удовлетворяющие условию Гельдера вместе со своими производными до (3-&-)-го порядка, причем [ак (/)] 2+ [bk (/)] 2= 1 на L.

Одна из основных краевых задач типа Римана (см. [16], с. 316, или [106], с. 86) для бианалитических функций может быть сформулирована так: найти все кусочно бианалитические функции F±{z) с линией скачков L, исчезающие на бесконечности и удовлетворяющие на L следующим краевым условиям ох ох ду ду где Gk{t), gk (t) (к = 1,2) — заданные на L функции, удовлетворяющие условию Гельдера вместе со своими производными до порядка (3-к), причем Gk{t)* 0 на L.

Впервые задача (0.1) в случае, когда область D+ - круг или рациональный образ круга, была исследована в работах B.C. Рогожина [107]-[108], М. П. Ганина [15], а задача (0.2) впервые была решена в работе К. М. Расулова [82]. В течение последних десятилетий опубликовано достаточно большое количество работ (см. [106] и имеющуюся там библиографию), посвященных исследованию линейных краевых задач для бианалитических функций и их обобщений. Однако методы точных решений задач (0.1) и (0.2) в случае произвольных конечносвязных областей с гладкими границами были получены недавно в работах К. М. Расулова [81]-[106].

В классе аналитических функций приближенные методы решения краевых задач Римана и Гильберта рассматривались в работах А. В. Батырева [5], В. В. Иванова [34]-[37], В. Н. Русака [109]-[111] и других. С задачей поиска приближенных методов решения краевых задач тесно связана задача поиска методов приближенного решения сингулярных интегральных уравнений. Этой проблеме посвящены работы Б. Г. Габдулхаева [10]-[14], З. Пресдорфа [75], С. М. Белоцерковского и И. К. Лифанова [6], [63], А. В. Джишкариани [24], В. Д. Диденко и В. М. Мацкула [27] и некоторые другие ([41], [66]. Однако многие важные задачи математической физики и механики сплошной среды (см. например, [16], [42], [69]), приводятся к краевым задачам для бигармонических и бианалитических функций и, в первую очередь, к задачам вида (0.1) и (0.2). Поэтому разработка приближенных методов для решения краевыхзадач в классах бианалитических и бигармонических функций является актуальной задачей.

В настоящей диссертации предлагается приближенный метод решения краевых задач типа Гильберта и типа Римана для бианалитических функций, опирающийся на оригинальные методы приближенного вычисления интегралов типа Коши и интегральных уравнений Фредгольма с ядрами специального вида. Все результаты доведены до программ на языках Mathcad и Maple.

Перейдем к изложению полученных результатов.

Первая глава «Об одном методе приближенного решения уравнений Фредгольма второго рода» состоит из двух разделов. В ней общий подход к приближенным методам решения линейных уравнений, предложенный Ж. П. Обэном ([73]), применяется к приближенному решению интегральных уравнений Фредгольма второго рода.

Предлагаемая схема построения приближенного решения такого уравнения заключается в следующем. Интегральное уравнение заменяется системой линейных алгебраических уравнений. Находится решение этой системы. По этому решению строится кубический сплайн, который и является приближенным решением рассматриваемого уравнения. Исследуются условия устойчивости и сходимости такой схемы.

В первом разделе дается описание используемой вычислительной схемы приближенного решения интегрального уравнения Фредгольма и доказывается ее устойчивость.

Пусть X — банахово пространство. Для приближения его элементов используется следующая конструкция. Рассматривается последовательность банаховых пространств {Хп}. Связь между пространствами Хп и пространством X задается при помощи последовательности операторов Тн (п = 1,2,.) следующим образом.

ТпХ = Хп. (0.3).

В качестве оператора Тп мы будем рассматривать оператор, который строится следующим образом.

Разобьем отрезок a, b на п равных частей. Положим h = -—= а + h, t2 = а + 2h,., tn =¦а + nh = b. Пусть f (t) — функция из п рассматриваемого класса. Тогда Tn (f) есть вектор следующего вида: (/(/J,/(/2),.,/(О).

Во втором разделе доказывается сходимость используемых приближенных схем и оценивается порядок этой сходимости. Получены следующие основные результаты. Рассмотрим интегральное уравнение ь f{t)+K (t, T) f (T)dT = q (t). (0.4) а.

Будем предполагать, что уравнение (0.4) является однозначно разрешимым. В силу нашего предположения о свойствах ядра K (t, r) решение уравнения.

0.4) также будет принадлежать классу СА[а, ь]. Имеет место следующая.

Теорема 1.6. Пусть дано интегральное уравнение (0.4), где функция q (t)eC4[a, b], a K (t, T) — функция, имеющая в квадрате непрерывные частные производные до четвёртого порядка включительно. Заменим его системой линейных уравнений, применяя для дискретизации ядра формулу Симпсона. В качестве приближенного решения возьмем кубический сплайн, построенный по решению системы линейных уравнений. Тогда приближенное решение уравнения (0.4) сходится к точному решению в пространстве Саф, причем порядок сходимости равен 3.

Рассмотрим теперь следующее уравнение в пространстве X.

Af = q, (0.5) где, А ¦- линейный оператор.

Уравнение (0.5) будем называть точным уравнением, а его решенияточными решениями.

Последовательностью приближенных уравнений для уравнения (0.5), следуя В. А. Треногину ([122]), будем называть последовательность.

Anfn=qn, (0.6) где qn — элемент Хп.

Последовательность задач решения уравнений (0.6) называется приближенной схемой решения уравнения (0.5).

Вторая глава посвящена методам приближенного вычисления интегралов типа Коши.

Интегралы типа Коши нашли широкое применение в задачах математической физики, особенно в задачах механики сплошной среды. Свойства этих интегралов достаточно хорошо изучены, однако как пишет в своей монографии «Приближенные методы вычисления интегралов типа Коши специального вида» Г. Н. Пыхтеев, «методы их вычисления развиты слабо по сравнению с методами вычисления обычных интегралов Римана». В монографии [79], а также в работах [77]-[78] рассматриваются некоторые приемы вычисления интегралов типа Коши с плотностью специального вида для случая, когда контур интегрирования есть окружность или отрезок прямой.

Один из известных способов вычисления интегралов типа Коши состоит в замене плотности некоторым интерполяционным полиномом. Для случая окружности этот способ рассматривался, в частности, в работах Б.Г. Габдул-хаева [10] - [15], В. В. Иванова ([41], с. 159−163), для других классов контуров в работах В. А. Золотаревского и его учеников ([32], [33], [67]), В.К. Дзя-дыка [25], [26], М. И. Исраилова и Р. Джуракулова [42], а также в работах [127], [132], [133], [139], [140], [141], [142].

Большое число работ посвящено исследованию квадратурных формул для приближенного вычисления сингулярных интегралов с ядром Коши. К ним относятся работы В. В. Иванова [38]-[41], И. К. Лифанова [64], Д.Г. Са-никидзе [112]-[115], М. А. Шешко [121]-[124].

Предлагаемый нами метод приближенного вычисления интеграла типа Коши ориентирован на использование современных систем компьютерной алгебры. На наш взгляд, он свободен от некоторых недочетов методов, указанных выше. Так, при нахождении коэффициентов интерполяционных полиномов получаются плохо обусловленные матрицы, предложенные квадратурные формулы для приближенного вычисления интегралов с ядром Коши приводят к очень большому объему вычислений для случая, когда плотность интеграла зависит от двух аргументов. С такой ситуацией мы встречаемся при приближенном решении обобщенных задач Гильберта и Римана для аналитических функций.

Вторая глава состоит из пяти разделов.

Первый раздел посвящен вычислению интеграла типа Коши во внутренности контура. В нем изложена сущность предлагаемого метода приближенного вычисления приближенного метода вычисления интеграла типа Коши. Она состоит в том, что интеграл типа Коши аппроксимируется квазирациональной функцией (рациональной функцией от функции, осуществляющей конформное отображение единичного круга на область D) в замкнутой области.

Для погрешности данного метода здесь получены следующие оценки. Теорема 2.1. Пусть функция f (r{s)) принадлежит классу Гелъдера Hp, функция z = y/{w), осуществляющая конформное отображение единичного круга на область D+ удовлетворяет условию: у/' (и>) непрерывна при |w| < 1.

Тогда для всякого числа J3 такого, что 0 < /?'< /3, найдутся константы cIq и d], для которых max z<=D+^L п.

Здесь и далее Ф+(z) — точное, значение интеграла типа Коши с плотностью /(т), а Ф +n{z) — его приближенное значение.

Теорема 2.2. Пусть:

1) односвязная область D+ ограничена контуром L,.

2) т — - уравнение контура L, отнесенное к натуральному параметру;

3) т = t (s) дифференцируема и производная этой функции принадлежит классу Гелъдера На;

4) плотность интеграла типа Коши /(г) удовлетворяет условию: функция /'(т (б')) дифференцируема, и ее производная принадлежит классу Гелъдера Hp.

Тогда существуют константы dQ и dx, не зависящие от п, что max ze?>+ui.

Ъ + пп ар v п.

Теорема 2.3. Пусты.

1) односвязная область D+ ограничена контуром L;

2) т = t (s) -уравнение контура L, отнесенное к натуральному параметру s;

3) гr (s) m раз дифференцируема (т> 2).

4) плотность интеграла типа Коши /(г) удовлетворяет условию: функция f (r{sj) Iраз дифференцируема (1>т).

Тогда существуют константы d0 и clA, не зависящие от п, для которых имеет место соотношение.

Ъ + пп max|< dn v n.

В разделе 2 приводится пример приближенного вычисления интеграла типа Коши по улитке Паскаля, в разделе 3 описывается приближенное вычисление интеграла типа Коши во внешности контура, а в разделе 4 приводится пример приближенного вычисления интеграла типа Коши во внешности эллипса.

Часто приходится сталкиваться с ситуацией, когда вместо функций, задающих конформное отображение области D на единичный круг, единичного круга на область D, приходится пользоваться их приближениями. Естественно попытаться оценить, насколько изменится погрешность, если заменить здесь функции, задающие конформное отображение рассматриваемых областей, их приближениями. Соответствующий результат приведен в пятом разделе главы 2.

Пусть Dm — последовательность ограниченных областей, содержащих D, {у/т (w)} - последовательность функций, осуществляющих конформное отображение единичного круга на Dm, — последовательность функций, осуществляющих конформное отображение Dm на единичный круг, <�р (м>) функция, осуществляющая конформное отображение единичного круга на.

D.

Функция f (t) определена на контуре L, ограничивающем область D. Пусть F (w) = f (if/{w)), Fm (w) = fiy/m (w)), S"(w) — «-я частичная сумма ряда Фурье функции F{w), Sm^n (w) — пя частичная сумма ряда Фурье функции Fm (w) на единичной окружности, |w| = 1.

Имеет место следующая.

Теорема 2.4. Пусть f (t)e Ha (l ! i =.

1 г S" (<�р (т)).

2 т, гz j (<Рт ®) ^ Aq (m)a + Bh (m).

L T~Z I T~Z.

В третьей главе рассматриваются методы приближенного решения обычной и обобщенной краевых задач типа Гильберта для аналитических функций, а также краевой задачи типа Гильберта для бианалитических функций. Эта глава состоит из 7 разделов.

Первый раздел посвящен приближенному решению краевой задачи Гильберта для аналитических функций.

Известно, что краевая задача Гильберта для аналитических функций ставится следующим образом: найти аналитическую в области D и непрерывную на контуре L функцию f{z)=u{x, y)+iv{x, y), предельные значения действительной и мнимой частей которой удовлетворяют на L соотношению a (t)u (t) + b (t)v (t) = c{t (0.7) где a{t b (t) и c (t) — заданные на L действительные функции комплексного аргумента, удовлетворяющие условию Гельдера (т. е. a{t b (t), c (f)e H (l)). a (t) + ib (t) a (t) — ib (t).

Н.И. Мусхелишвюш, число к будем называть индексом задачи Гильберта (0.7).

Как известно (см., напр., [106]), при к>0 общее решение задачи Гильберта (0.7) дается формулой.

Пусть к-lnd Тогда к = 2 т, где т = Inda{t)+ ib{t Следуя p (z)=zmX{z).

L ^ ^ y=Q где //(г) — решение интегрального уравнения Фредгольма.

Tt^-fWY.

2m г.

L J (0.8).

X (z) = exp{-L.

2ro I t — Z у (?) — также является решением некоторого интегрального уравнения Фред-гольма второго рода, функции Wj (z) выражаются через интегралы типа Коши с плотностью, получаемой как решение интегрального уравнения Фредгольма. Поэтому приближенное решение задачи (0.7) удается получить, используя результаты глав 1 и 2.

В разделе 2 третьей главы приводится оценка погрешности приближенного решения задачи Гильберта, описанного в первом разделе.

В разделе 3 описывается приближенное решение обобщенной краевой задачи Гильберта для аналитических функций.

Под обобщенной краевой задачей типа Гильберта для аналитических функций будем понимать следующую задачу: пусть дана конечная односвяз-ная область D, ограниченная простым замкнутым контуром Ляпунова L. Требуется найти аналитическую в D функцию (p (z) = u{x, y) + iv (x, y), непрерывную в DU L и удовлетворяющую на L условию.

Re{[fir (0 — /ВД]ф+(0+ /4(г, т) Ф+(т>/т + т) ф+(т>/т} = c (t), (0.9) l l где a (t b{t c{t) — заданные на L действительные функции класса, а ядра А] (t, г), В1 (/, г) — заданные на LxL фредгольмовы ядра.

Как показано К. М. Расуловым, {[105], [106]), решение задачи (0.9) сводится к решению интегрального уравнения Фредгольма второго рода.

2т+1.

МЧ)+N{t, T) fi{T)d<j = 2c (t)~ (*), (0.10).

L к=1 где.

X (t).

TO I 1−1J ' TO i т — T, 1 ''.

0)2W (0 = 21m] ЦТ)?" 4 + Ц (f, x) xk'ldx — B{ (t, x) xk~ldx i l l.

0.11).

CO.

2k A,(t, xy-xdx+ Bx{t, x) xk-[dx, a2W =Imcbl,? = 1,2,., m +1- a2/t =RecA, 15 k-, 2,., m.

Важно заметить, что в ядро (0.11) входят сингулярные интегралы вида 1 и 1 .

В данной работе рассматривается только случай, когда однородное интегральное уравнение с ядром N (t, z), соответствующее (0.10), имеет лишь нулевое решение, т. е. случай, когда неоднородное уравнение (0.10) однозначно и безусловно разрешимо.

Как указано выше, в ядро интегрального уравнения Фредгольма (0.10).

1 rAityZ^dz, «входят сингулярные интегралы вида — I-. При их аппроксимации та ^ z — Г] используется метод приближенного вычисления интегралов типа Коши, описанный в гл. 2. Оценка возникающей при этом погрешности приведена в разделе 4ДТеоремы 3.5−3.7) ,.

Сформулированные выше теоремы дают возможность оценить погрешность аппроксимации ядра интегрального уравнения (0.10). Для оценки погрешности приближенного решения интегрального уравнения (0.10) можно воспользоваться одним результатом, полученным Ф. Трикоми (см., например, [45], с. 165).

Как было показано К. М. Расуловым ([105], [106]), решение задачи (0.1) сводится к последовательному решению обычной и обобщенной задач Гильберта для аналитических функций. Поэтому приближенное решение задачи (0.1) удается получить, последовательно решая приближенно обобщенную и обычную краевые задачи Гильберта для аналитических функций.

Параметры интегральных уравнений, к которым сводится решение обычной и обобщенной задач Гильберта, определяются с некоторой погрешностью. Естественно возникает вопрос о том, как влияет погрешность на решение соответствующих интегральных уравнений. Эта оценка дается теоремой 3.8.

Общая оценка погрешности предлагаемого нами приближенного метода решения краевой задачи типа Гильберта для бианалитических функций приведена в разделе 3.6. Получена следующая теорема.

Теорема 3.9. Пусть ak{tbk{tck{t) — заданные на L действительные функции, причем Ь&С5Ц, ak ($bk (tck (t).

Тогда, если соответствующее интегральное уравнение разрешимо, можно найти приближенное решение рассматриваемой задачи с погрешностью, имеющей порядок 0 + ОК-, где 0 < а < 1, в классе Hl{L), где па j 1.

Km) п — порядок аппроксимации интегралов типа Коши, т — порядок дискретизации интегральных уравнений, используемых при решении задачи.

Полученные результаты были протестированы на примере решения некоторых задач теории пластин, решение которых сводится к решению краевых задач вида (0.1). Соответствующие результаты приведены в разделе 7.

В главе 4 рассматривается приближенное решение задачи (0.2), полученное по той же схеме, что и приближенное решение задачи (0.1). Получена следующая теорема.

Теорема 4.1. Пусть контур L принадлежит классу С5М, функции.

Gk{t), gk (/) принадлежат классу Н5(ь). Тогда погрешность при решении первой основной задачи типа Римана для бианалитических функций (0.2) 1 ^ fin/Л будет иметь порядок О —— + О —, где 0 < а < 1 в классе Н { (l), а т т2 j, а П порядок дискретизации ядер интегральных уравнений, п — порядок ряда Фурье.

В приложении к диссертации приводится программа на языке Maple, реализующая алгоритм приближенного решения задач типа Гильберта для биа-налитических функций.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

На защиту выносятся следующие результаты:

— метод приближенного вычисления интегралов типа Коши;

— метод приближенного решения краевой задачи типа Гильберта для аналитических функций.

— метод приближенного решения обобщенных краевых задач типа Гильберта и типа Римана для аналитических функций;

— метод приближенного решения краевых задач типа Гильберта и типа Римана для бианалитических функций.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [46]-[59], [80], [134]-[135] и докладывались на Минском городском семинаре по краевым задачам им. Ф. Д. Гахова (руководитель — проф. Э.И. Зверович), на семинаре кафедры вычислительной математики и программирования БГУ (руководитель — проф. П.И. Монастырный), на семинаре кафедры математического анализа Белорусского государственного педагогического университета (руководитель — проф. Н.Т. Стельмашук), на семинаре факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ (руководитель — проф. И.К. Лифа-нов), на семинаре кафедры информатики и вычислительной математики МГСУ (руководитель — проф. А.Б. Золотов), на Смоленском городском семинаре по комплексному анализу (руководитель — проф. К.М. Расулов), на семинаре по функциональному анализу СГПУ (руководитель — проф. В.Д. Будаев), на Смоленском городском семинаре по параллельным вычислениям и компьютерной алгебре СГПУ (руководители — доцент Е. П. Емельченков и доцент В.И. Мунерман), на международном семинаре Смоленского государственного педагогического института и Хагенского заочного университета (Смоленск-1997), на международной конференции, посвященной 75-летию профессора М. Б. Балка (Смоленск-1998), на школе-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы», посвященной 130-летию со дня рождения Д. Ф. Егорова (Казань-1999), на конференции «Системы компьютерной математики и лингвистики» (Смоленск-2000), на международной конференции «Системы компьютерной математики и их приложения» (Смо-ленск-2001).

При получении и обосновании результатов широко используются методы комплексного анализа (см. [1], [16], [21], [65], [117]), теории приближений (см. [40], [76]), функционального анализа (см. [120], [122]), методы вычислительной математики, в частности, теорию сплайнов (см. [3], [20], [60], [61], [68]). При программировании алгоритмов широко использовались методы компьютерной алгебры, реализованные в системах MathCad и Maple (см. [18], [28], [74], [136]).

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 142 наименований и приложения. Нумерация формул сквозная в пределах каждой главы, например, (3.4) означает четвертая формула третьей главы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В диссертационной работе получены приближенные методы решения краевых задач типа Гильберта и типа Римана для аналитических и бианалитических функций. Среди результатов, полученных в диссертации, основными являются следующие:

1. Разработан метод приближенного вычисления интеграла типа Коши. Получены оценки погрешности этого метода. Разработаны программы на языках сверхвысокого уровня MathCad и Maple, реализующие этот метод для вычисления интегралов типа Коши по внутренности и внешности эллипса и по улитке Паскаля.

2. Разработан метод приближенного решения краевой задачи Гильберта для аналитических функций. Получены оценки погрешности этого метода. Разработана программа на языке MathCad, реализующая этот метод для приближенного решения задачи Гильберта в случае, когда контуром является эллипс.

3. Разработаны методы приближенного решения обобщенных краевых задач Римана и Гильберта для аналитических функций. Получены оценки погрешностей. Доказана устойчивость используемых вычислительных схем. Написаны программы на языке MathCad, реализующие этот метод.

4. Разработаны методы приближенного решения краевых задач типа Гильберта и типа Римана для бианалитических функций, опирающиеся на алгоритм аналитического решения этих задач, разработанный К. М. Расуловым. Получены оценки погрешностей. Доказана устойчивость и сходимость используемых вычислительных схем. Получены приближенные решения некоторых задач механики, опирающиеся на эти методы.