Краевые задачи для квазилинейных функционально-дифференциальных уравнений с необратимой линейной частью

В диссертационной работе объектом исследования являются краевые задачи для квазилинейных функционально — дифференциальных уравнений: где L, F: D В — линейный и непрерывный операторы, l, Rmлинейный и непрерывный вектор-функционалы, D, B — банаховы пространства, причем D = BxRtt. Задачу вида (0.1) принято называть абстрактной квазилинейной краевой задачей для функциональнодифференциальных уравнений. При исследовании задачи (0.1) ее иногда удобно записать в виде одного квазилинейного операторного уравнения: где А: Х ->Y — линейный ограниченный оператор, Ф: X->Yнепрерывный оператор и X, У — банаховы пространства.

Отметим, что в виде абстрактной квазилинейной краевой задачи (0.1) можно записать многие классы краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, для уравнений с частными производными, для функционально-дифференциальных уравнений и интегро-дифференциальных уравнений. Тогда первое уравнение в (0.1) — это дифференциальное уравнение или система уравнений, а второе уравнение является краевыми условиями.

Поэтому круг задач, возникающих в различных областях математики, физики и других наук, которые можно записать в виде краевой задачи (0.1) довольно широк.

Основы теории абстрактных краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений были заложены в работах Азбелева Н. В.,.

Lx = Fx, lx =.

0.1).

Ajc = OJC,.

0.2).

Кшурадзе И.Т., Максимова В. П., Рахматуллиной Л. Ф. [6,7, 12, 13, 47, 66]. В основном, общим методом исследования на разрешимость задачи (0.1) было ее сведения к операторному уравнению второго рода: x = Nx, к которому применимы классические схемы, использующие теоремы о неподвижных точках.

Разрешимости уравнения (0.2) в последнее время посвящено много работ. В них применяется широкий круг методов, в том числе: топологические [27, 29, 75, 77, 102, 110, 111, 114, 130, 131, 137, 147, 151], вариационные [79, 134, 138, 139], метод верхних и нижних решений [93, 108, 158], численные методы [94, 95], методы использующие теоремы о неподвижных точках [92,99,111,131,138].

Особое место в теории квазилинейных краевых задач занимают краевые задачи с необратимым оператором [/,/], так называемые «резонансные» краевые задачи. Признаки разрешимости резонансных краевых задач получены в работах [1 — 5, 17 — 19, 21, 95, 105, 109, 110, 111, 113,114,127,127,129,143 — 146,152,154].

Традиционно решение вопроса разрешимости квазилинейных краевых задач с необратимой линейной частью заключается в применении методов основанных на преобразовании Ляпунова — Шмидта. Однако применение данных методов имеет ряд трудностей, в том числе само фактическое построение уравнения разветвления довольно сложно и громоздко. В связи с этим возникла проблема создания новых простых в применении универсальных методов для исследования на разрешимость резонансных краевых задач.

К данным методам относится и подход, предложенный в диссертационной работе. Предлагаемый подход к исследованию разрешимости краевых задач для квазилинейных функциональнодифференциальных уравнений основан на применении теоремы о существовании неявного оператора и теорем существования с условиями на границе. Приведем краткое описание данного подхода.

Решение вопроса о разрешимости квазилинейной краевой задачи (0.1), записанной в виде операторного уравнения (0.2) разбивается на два этапа. На первом этапе находится множество М и непрерывный оператор T: Xq-> kerA (из нетеровости оператора Л следует, что X = ЛГ©- ® кегЛ) такие, что оператор Ф (/ + Т) переводит это множество в образ оператора Л (это связано с тем, что в общем случае R (a)*Y). Для этого применяется теорема о неявном операторе к операторному уравнению: есФ (*, и)=о, где Q° дополнительный проектор на образ R (a), %eXq, и е кегЛ.

На втором этапе, для доказательства существования решения уравнения (0.2) на найденном множестве М, используются теоремы существования с условиями на границе, являющиеся обобщениями классической теоремы Jlepe — Шаудера [116]. Из разрешимости уравнения (0.2) следует разрешимость краевой задачи (0.1).

Отметим, что для некоторых типов квазилинейных функциональнодифференциальных уравнений оператор T: Xq ->kerA, для которого выполняется условие:

Ф (/+гХ*оМ (л), можно записать в явном виде. В этом случае непосредственно применяются теоремы существования с условиями на границе (теоремы 2.2.1−3), гарантирующие существование решения уравнения (0.2).

Полученные условия разрешимости уравнения (0.2) в последствии применяются к решению вопроса разрешимости абстрактной квазилинейной краевой задачи (0.1) и системы квазилинейных операторных уравнений.

Заметим, что чаще всего теоремы о неявных операторах применяются к операторному уравнению: ф (*, г)=0, с непрерывным оператором 0: XxZ->F [15, 29, 37, 38, 40, 74, 138]. Однако в этом случае не учитывается специфика линейной части уравнения (0.2).

Приведем краткое содержание диссертационной работы. Работа состоит из трех частей оформленных в виде глав, которые в свою очередь разбиты на параграфы.

Содержание главы 1 носит вспомогательный характер. Здесь приведены необходимые в дальнейшем понятия и утверждения.

В параграфе 1.1 рассмотрены основные определения, связанные с банаховыми пространствами (прямого произведения пространств, прямой топологической суммы пространств, примеры функциональных пространств) и линейными операторами, определенными на них. Также в параграфе приведены основные сведения о нетеровых операторах, даны определения производной Фреше и частной производной оператора.

В параграфе 1.2 приведены сведения об абстрактной линейной краевой задаче.

Lx- /,.

0−3) lx = а, где L: D->B — линейный ограниченный оператор и lx = col^l1 х,., 1тх^, где /':/>—> i?1, / = 1,., т — линейный ограниченный вектор-функционал.

Причем D и В — банаховы пространства, а пространство D изоморфно прямому произведению BxRn.

Далее задача (0.3) рассматривается как одно линейное операторное уравнение:

Ах = у, где y = {f, a}eBxRm, Л = [Z,/]: D-+BxRm и Ax = [LJ]x = {Lx, lx}. Для оператора Л приводится условие нетеровости, дается описание ядра кегЛ, обобщенно обратного оператора К, проектора Q на образ оператора Л и оценка его нормы.

В параграфе 1.3 рассматривается операторное уравнение второго рода вида:

QcF (z + u)=0, где Qc дополнительный проектор на образ оператора L, %eXq, и е kerL (X = Xq © kerJL). Такое уравнение возникает при исследовании на разрешимость квазилинейного операторного уравнения.

Lx = Fx. (0.4).

Поскольку, в общем случае, образ оператора r (l) не совпадает со всем пространством, то с помощью теоремы о существовании неявного оператора, являющегося решением данного операторного уравнения, можно определить множество пар (%, и), которое оператор F (l + T) переводит в образ оператора L. Приведем здесь эту теорему:

Теорема 1.3.3. Пусть оператор F непрерывен на множестве Q = {(%, и)&Хо Ф ker L: х^, ||и|| й ги } и имеет на Q частную производную непрерывную в точке (0,0). Пусть далее г (0,0)е/?(/,), оператор QcFli (0,0) непрерывно обратим и справедливы следующие оценки:

1) [ecF-(0,0)]i.

2) W.

3) Г.

F’U (z, и) — F^(0,0| < 4z\ + H), для любых (z, и) e QJ|f (*, 0)-F (0,0|.