Обратные задачи об источнике для параболических уравнений и систем с финальным и интегральным переопределением

Актуальность темы

.

Математическое моделирование играет чрезвычайно важную роль в современной науке. Математическое моделирование является частью процесса практического решения множества задач, относящихся к физике, химии, экономике и другим наукам. Воплощением же той или иной математической модели является вычислительный алгоритм и, затем, программа, позволяющая получить решение задачи в численном виде. По этой схеме и построена настоящая работа. В первой и второй главах мы развиваем математическую модель, включающую в себя чёткую постановку задачи, исследование её математических свойств, доказательство теорем существования и единственности решения задачи и его устойчивой зависимости от входных данных. В третьей главе приводится описание вычислительного алгоритма решения задачи и результаты некоторых численных экспериментов, проведённых при помощи написанной по этому алгоритму программы. В разделе Приложения мы для полноты изложения и удобства ссылок приводим некоторые известные результаты, касающиеся свойств прямых задач, а также доказываем ряд вспомогательных предложений. Аналог и этих предложений встречаются в литературе, однако для частных случаев, что пе позволяет нам па них ссылаться.

Наша математическая модель лежит в области так называемых «обратных задач». Интенсивность исследований в этой области обусловлена необходимостью разработки математических методов решения обширного класса важных прикладных проблем. К этим проблемам относятся разнообразные задачи из самых разных отраслей пауки, — от сейсмологии и геофизики до медицины и управляемого термоядерного синтеза. Математическими моделями для задач, ставящихся, например, в терминах получения того или иного состояния изучаемого объекта к фиксированному моменту времени, либо выяснения процессов, происходивших в объекте в то время, когда он был недоступен (частично или полностью) для наблюдения, являются обратные задачи для дифференциальных уравнений. В отличие от т. п. «прямых» задач, моделирующих развитие процессов в объекте, при известных условиях, в которые данный объект помещён, для обратных задач характерно отсутствие какой-либо необходимой информации об объекте или об условиях протекания процесса. К примеру, когда речь идёт о процессе распространения тепла в физическом теле, для прямой задачи нужно знать температуру на границе объекта, начальное её распределение и распределение в каждый момент времени «источников» и «стоков» тепла. В случае обратной задачи может быть неизвестен какой-нибудь из этих параметров. Разумеется, для корректной постановки подобных задач требуется некоторая дополнительная информация о моделируемом процессе, например, результирующее распределение температуры в теле или некоторые интегральные характеристики процесса распространения тепла. Такую дополнительную информацию принято называть «переопределением» для данной задачи.

Целью настоящего исследования является построение адекватной модели, как теоретической. так и численной, для ряда проблем, связанных с восстановлением неизвестных параметров, либо с поиском подходящего управления, для процессов. которые описываются либо общим параболическим уравнением p (x, t) ut — {(iij (x, t) uXi)Xj + b (x, t) uXi + с (х, t) u = /, либо системой дифференциальных уравнений щ + Su = /, где S = 5(.т, t) нестационарный сильно эллиптический оператор порядка 2 т. т 6 N. К таким процессам относится распространение тепла в физическом теле, диффузия газа в среде или вещества в растворе, задачи, связанные с подземной гидродинамикой, задачи электромагнитной дифракции ([39], с. 135), химической и биологической кинетики ([93], с. 205, 206), теории ядерных цепных реакций (см. [22], [45] и приведенную там библиографию).

Для простоты формулировок мы часто в тексте будем функцию (в случае системы — вектор — функцию) u (x, t) называть «температурой», а, функцию (векторфункцию) f{x, t) правой части уравнения «функцией распределения источников тепла» или «источником», полагая, что терминология, описывающая процесс распространения тепла, является наиболее наглядной и исторически связанной с п арабол и чес к и м и зад ач ам и.

Мы часто будем опускать слова «вектор-» и «матриц-» в сочетаниях «векторфункция» и «матриц — функция», чтобы пс загромождать изложение, где это допустимо. Мы будем предполагать, что неизвестной является не только функция u (x, t), но и функция источника f (x, t). При этом полагается известным, что эта функция имеет вид /(.т, ?) = h (x, t)-p (x)+q (x, t) и функции h (x, t) и q (x, t) известны. (Для моделируемого процесса это может означать, что часть «источников» тепла в теле известна, а про остальные мы не знаем, где именно они расположены, либо, наоборот, мы можем сами задать их расположение для того, чтобы в результате наш процесс прошёл нужным нам образом.) Кроме того есть дополнительная информация о решении — либо распределение температуры и (х, Т) в т какой-либо (не начальный) момент времени Т, либо f w (t)u (x, t) dt с известной о функцией u}(t). Эти данные могут быть либо получены экспериментально, либо служить целью, то есть описывать желаемое состояние объекта к моменту времени Т.

Задачи в подобной постановкерассматривались рядом авторов. Однако среди известных автору работ нет таких, где рассматривалась бы та же или более общая задача для нестационарного параболического оператора с решением в тех же классах (пространствах Соболева).

Краткий обзор литературы.

Исследованию теории обратных задач посвящены книги [2], [5], [7|, [15], [17], [20], [21], [34], |35], [3G], [49], [52], |72], [73], [74], [83], [84], [94], [102], [105], [107]. Близкие по существу проблемы теории оптимального управления изучались в трудах |6|, [10], [18], [44], [92]. Численное исследование обратных задач проводилось в [32], [9], [28], [46], [77]. Многочисленные работы посвящены разработке и применению методов теории обратных задач для решения различных теоретических и прикладных проблем: |1|, |4|, |19|, |23|, |24|, [25|, |26|, |29|, |30|, |31|, |46|, |47|, |50|, |51|, [53], [54], [55], [56], [57], [59], [60], [61], [62], [63], [64], [65], [66], [67], [68], [69], [70], [75], [77], [80], [81], [85], [86], [87], [88], [95], [96], [97], [99], [100], [101], [103], [104], [106], [108], [110], [114].

Наиболее близкими по постановке задач к нашей работе являются [25], [29], [30], [31], [53], [54], [55], [56], [57], [59], [60], [61], [62], [63], [64], [65], [66], [67], [68], [69],.

80], [81], [85], [86], [87], И, |1001, [1011, [108].

Обратным задачам с финальным и нптегральным переопределением для параболического уравнения посвящены работы [25], [29|, [30], [31], |57], [60], [66], [67], [80],.

81], [100], [101]. При этом во всех работах, кроме [24], [25], [67], [80] параболический оператор стационарен, т. е. все его коэффициенты не зависят от времени, а в [67|, [S01 задача (только с финальным переопределением) исследуется в классах Гёльдера. Результаты, анонсированные в [24], [25], относятся к однозначной разрешимости финальной обратной задачи «в малом» для частного случая нестационарного параболического оператора, эллиптическая часть которого есть оператор Лапласа (в [24] - для одномерного по х случая).

Обратные задачи с точечным и финальным переопределением рассматривались в [60], [61], [62], [63], [64], [65], [68], [69]. Во всех без исключения указанных работах исследуется случай стационарной эллиптической части параболического оператора. В [60] обратная задача с финальным и интегральным переопределением исследуется «в целом» методом теории полугрупп. В [61], [62], [63], [64], [65], [68] этот метод используется для обратных задач с различными видами неизвестной функции источника и, соответственно, с различными переопределениями, в том числе и с финальным.

В последнее время численным исследованиям всевозможных задач математической физики, в том числе и обратным, посвящено множество работ. Упомянем классические и наиболее близкие к пашей тематике работы: [8], [32], [82], [83], [84], [77], [78], [79], [9], [28]. Здесь, как и во многих других работах приводятся алгоритмы численного решения прямых и обратных задач, а также задач оптимального управления.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Доказательство теорем существования и единственности решения обратной задачи с финальным переопределением (ФОЗ) и обратной задачи с интегральным переопределением (ОЗИП) для нестационарного параболического уравнения в терминах оценок типа неравенств.

2. Доказательство фредгольмовости и глобальной корректной разрешимости ФОЗ и ОЗИП для нестационарного параболического уравнения.

3. Доказательство фредгольмовости и локальной разрешимости ФОЗ и ОЗИП для нестационарной параболической системы порядка 2m, me N и глобальной корректной разрешимости ФОЗ и ОЗИП для слабо связанных систем второго порядка.

4. На основе общей теории, развитой в пунктах 1. — 3., предложен итерационный разностный алгоритм решения обратных задач. Некоторые результаты вычислений при помощи этого алгоритма приведены в 10-ти примерах с иллюстрациями. Этот алгоритм завершает построение математической модели для случая нестационарного параболического уравнения.

Новизна представленных результатов.

В Главе 1 настоящей работы мы исследовали обратные задачи для общего параболического уравнения. В отличие от работ [29], |30|, [31|, |57|, |60|, |66|, |81|, |Ю0|, [101], мы не требуем стационарности параболического оператора. Более точно, для задачи с финальным переопределением нам удалось полностью спять требование стационарности при доказательстве фредгольмовости и корректной разрешимости «в малом» и существенно ослабить его при доказательстве корректной разрешимости «в целом». Кроме того, результаты для финальной обратной задачи «в целом», будучи спроецированы на случай стационарного оператора, являются более общими по сравнению с наиболее близкими результатами работы [57]. В [67], [80] задача (только с финальным переопределением) исследуется в классах Гсльдсра, мы же доказываем корректную разрешимость такой задачи в классах Соболева и с применением другой техники. В отличие от [24], [25], мы решаем обратные задачи для случая общего параболического оператора без ограничений па размерность. При этом паши результаты, будучи применёнными к тем случаям, которые исследованы в [24], [25], не совпадают с ними и не перекрываются ими, а дают другие утверждения.

Для случая обратной задачи с интегральным переопределением нам удалось также ослабить требование стационарности параболического оператора, имевшее место во всех известных автору работах, касающихся данной проблемы ([57], [60]). Глава 2 данной работы посвящена обратным задачам для систем щ + Su = / с нестационарным сильно эллиптическим оператором S = S (x, t) порядка 2m, m € N. Следует отмстить, что для стационарного оператора S в абстрактном случае методом теории полугрупп подобные обратные задачи изучались в работах [60],.

61], [62], [63], [64], [65], [68], [69], [107]. Их результаты формулировались в терминах положительности и компактности полугруппы и поведения спектра оператора S. Исследование обратных задач для общих систем в Соболевских пространствах проводится впервые и с применением метода априорных оценок. В отличие от указанных работ, мы не пользуемся методом полугрупп, доказываем фредгольмовость задач с финальным и интегральным переопределением при условии, что стационарными являются лишь старшие коэффициенты эллиптической части параболического оператора. При тех же ограничениях приводится условие корректной разрешимости «в малом» для финальной обратной задачи. Доказана подобная теорема для задачи с интегральным переопределением. Доказывается также общая теорема о глобальной корректной разрешимости ФОЗ и ОЗИП для слабо связанных систем при достаточно общих и легко проверяемых условиях на коэффициенты оператора S и правую часть. Следует отметить, что все результаты для систем также являются новыми и для случая стационарного оператора.

Глава 3 представляемой работы посвящена описанию условий и результатов численных экспериментов, проводимы на основе теоретической части, развитой в Главах 1 и 2. Основным отличием данных результатов от известных автору работ ([8], [32], [83], [84], |77], [78], [79], [9], [28]) является использование разложимости решения операторного уравнения Фредгольма 2-го рода в ряд по степеням оператора. Поскольку основной идеей Глав 1 и 2 является эквивалентность обратных задач такому уравнению, построенному специальным образом с учётом специфики задачи, то использование такого алгоритма является весьма удобным способом для наших задач.

Успешное применение построенной модели для обратных задач показывает её адекватность рассматриваемым задачам и практическую применимость. Рамки этой применимости также видны из проведённых вычислений. Общая идея итерационного метода отмечалась в цитированных выше работах, но без численной реализации. Численно такой алгоритм для решения обратных задач реализован впервые. Методы исследования.

Методологически мы в данной работе следуем |67|, |57|, |Ю7|, и решаем задачу о нахождении неизвестной компоненты р (х) функции «источника» f (x, t) = h (x, t) p (x) +q (x, t) (в случае системы h (x, t) является матриц функцией, а р (х) и q (x, t) вектор функциями), исходя из знания дополнительной функции, характеризующей поведение решения. При этом рассматриваются два вида такой дополнительной информации: финальное и интегральное переопределение. Алгоритм решения состоит в сведении исходной задачи к уравнению Фредгольма 2-го рода с компактным оператором, А и изучении нормы этого оператора для решения задач «в малом», и применении свойств типа принципа максимума для решения «в целом». Однако, в отличие от [67], паше исследование проводится в соболевских классах. Кроме того мы решаем данную задачу для нестационарного оператора левой части уравнения, что является существенно более сложным случаем, чем рассматривалось в |57|, [Ю7|. После доказательства теорем о корректной разрешимости нашей задачи мы используем её эквивалентность уравнению Фредгольма 2-го рода. В случае разрешимости «в малом» мы можем численно искать решение этого уравнения (а по нему восстанавливается решение исходной задачи) в виде ряда по степеням оператора А. Апробация работы.

Результаты данной работы докладывались на научных семинарах: 1. Обратные задачи анализа, математической физики и естествознания. (Научный семинар Механико — Математического Факультета МГУ им. М. В. Ломоносова.) Руководители: академик РАН, проф. В. А. Садовничий, проф. А. И. Прилспко;

2. Научно методологический семинар НИВЦ МГУ. Руководители: проф. А. Г. Ягола, проф. А. Б. Бакушинский, проф. А. В. Тихоиравов;

3. Прикладные вопросы математической физики. (Научный семинар кафедры № 31 МИФИ.) Руководитель: академик Российской Академии Естественных Наук (РАЕН), проф. Н. А. Кудряшови па конференциях:

1. Всероссийская научная конференция «Алгоритмический анализ неустойчивых задач», Екатеринбург, 2001. ([88]);

2. «Обратные и некорректно поставленные задачи» УП конференция, посвященная памяти академика А. Н. Тихонова. Москва, МГУ, ВМиК, июнь 2001 г. ([87|);

3. Еругинские чтения VIII. Международная математическая конференция (2023 мая 2002 г.)Беларусь, Брест. ([70]);

4. Международная Конференция по Дифференциальным Уравнениям и Динамическим Системам. Суздаль, июль 2002. ([71]);

5. Международная Конференция «111 Posed and Inverse Problems», Новосибирск, 5−9 августа 2002. ([109], [113]).

Основные результаты работы вошли в работы [70], [71], [87], [88|, [89], |108|, [109], [112], [113]. В работах [70], [71], [108], [109] соавтору (А.И. Прилспко) принадлежит общая идея постановки и исследования обратных задач, а доказательство всех теорем проведены автором диссертации самостоятельно. Благодарности.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю профессору А. И. Прилепко за огромное внимание к данной работе и постоянную поддержку.

Автор также весьма благодарен к.ф.-м.п. В. В. Соловьёву и к.ф.-м.п. А. Б. Костину за внимание к работе на разных её этапах и ценные замечания. Кроме того, автор благодарит профессора С. П. Струпкова за цепные советы и моральную поддержку.

1. Алифанов О. М. Идентификация процессов теплообмена летательных аппаратов (введение в теорию обратных задач) — М.: Машиностроение, 1979. -216 с.

2. Аниконов Ю. Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач. Новосибирск: Наука, 1978. 118 с.

3. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы М.: Лаборатория базовых знаний, 2002. — 632 с.

4. Безнощенко Н. Я, Прилепко А. И. Обратные задачи для уравнений параболического типа//М.: Наука 1977. — Проблемы матем. физики и выч. матем.С. 51 63.

5. Бек Дж., Блэкуэлл Б., Сент-Клер Ч.(мл.) Некоторые обратные задачи теплопроводности. М.: Мир, 1989. — 312 с.6| Бутковский А. Г. Теория оптимального управления системами с распределёнными параметрами М.: Наука, 1965. — 474 с.

6. Бухгейм A.JI.

Введение

в теорию обратных задач Новосибирск: Наука, 1988. 182 с.

7. Вабищсвич П. Н. Числспнос решение задачи идентификации младшего коэффициента эллиптического уравнения//Дифференц. уравнения. 2002. Т.38. № 7. — С. 190 — 198.

8. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач М: Наука, 1988. 550 с.

9. Васильев Ф. П., Ишмухаметов А. З., Потапов М. М. Обобщённый метод моментов в задачах оптимального управления М.: Изд-во МГУ, 1989. 143 с.

10. Вишик М. И. О сильно эллиптических системах дифференциальных уравнений// Мат. Сборник 1951. — Т.29(71). — № 3. — с. 615−676.

11. Вишик М. И. Задачи Копти для уравнений с операторными коэффициентами, смешанная краевая задача для систем дифференциальных уравнений иприближённый метод их решения// Матем. Сборник 1956. Т.39(81). №. С.51−148.

12. Вишик М. И., Ладыженская О. А. Краевые задачи для уравнений в частных производных и некоторых классов операторных уравпепий//Успехи Матем. Наук. 1956. — Т.П. — вып.6(72). — С.41−97.

13. Гилбарг Д., Трудингср Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка М.: Наука, 1989. 464 с.

14. Гласко В. Б. Обратные задачи математической физики М.: Изд-во МГУ, 1994. 176 с.

15. ГусеваО. В. О краевых задачах для сильно эллиптических систем // ДАН СССР 1955. Т. 102. № 6. с. 1069−1072.

16. Денисов A.M.

Введение

в теорию обратных задач. М.: Изд-во МГУ, 1994.208 с.

17. Егоров А. И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами М.: Наука, 1978. — 463 с.

18. Емельянов С. П., Коровин С. К. Новые типы обратной связи М.: Наука, 1997. — 348 с.

19. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и её приложения. М.: Наука, 1978. — 208 с.

20. Иванов В. К., Мельникова И. В., Филинков А. И. Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи. М.: Физматлит, 1995. 176 с.

21. Ивасишен С. Д., Эйдельман С. Д. Параболические уавнения: примеры, задача Коши, свойства решений//Матем. сегодня: научно методич. сб. Вища Школа. Киев, 1987. — С. 74 — 108.

22. Искендеров А. Д. Об одной обратной задаче для квазилинейных параболических уравнений //Дифференц. уравнения. 1974. — Т.10. — № 5. — С. 890 -898.

23. Камынин В. Л. Об обратной задаче для параболического уравнения с условием финального переопределения //Алгоритмический анализ неустойчивых задач: Тез. докл. Всеросс. Научн. конф. Екатеринбург: Изд-во Уральского Ун-та, 2001. С. 91 92.

24. Камынин В. Л. Об одной обратной задаче с финальным переопределением //Обратные и некорр. поставленные задачи: Тез. докл. конф., М.: Изд-во АО «МАКС Пресс», 2001. С. 36.

25. Клибапов М. В. Об одном классе обратных задач для линейных параболических уравнений// ДАН СССР. 1985. Т. 280. № 3. С. 533 536.

26. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. — 544 с.

27. Короткий А. И., Осипов Ю. С. Аппроксимация в задачах позиционного управления параболическими системами//ПММ. 1978. Т.42. № 4. С.599 605.

28. Костин А. В. Разрешимость одной проблемы моментов и её связь с параболической обратной задачей//Вестник Моск. Ун-та. Сер. 15, Вычисл. Матем. и Кибсрп. 1995. -т. С. 28 33.

29. Костин А. В., Прилепко А. И. О некоторых задачах восстановления граничного условия для параболического уравнения. 1.//Диффер. Уравнеия. 1996. Т.32. № 1. — С. 107 — 116.

30. Костин А. В., Прилепко А. И. О некоторых задачах восстановления граничного условия для параболического уравнения. I.//Диффер. Уравнеия. 1996. Т.32. № 11. — С. 1519 — 1528.

31. Крянев А. В. Итерационный метод решения некорректных задач//Журнал вычисл. матем. и матем. физ. 1974. Т. 14. № 1. С. 25 35.

32. Куржанский А. В., Сивергипа И. Ф. Метод гарантированных оценок и задачи регуляризации для эволюционных систем// Журнал вычисл. матем. и матем. физ. 1992. — Т.32. — № И. — С. 1720 — 1733.

33. Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Изд-во СО АН СССР, 1962. 92 с.

34. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Васильев В. Г. Многомерные обратные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1969. — 68 с.

35. Лаврентьев М. М. Романов В.Г., Шитпатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. 288 с.

36. Ладыженская О. А. О решении нестационарных операторных уравнений// Матем. Сборник. 1956. — Т.39(81). — № 4. — С.491 — 524.

37. Ладыженская О. А. О решении нестационарных операторных уравнений и их приложениях к линейным задачам математической физики //Матем. сб.1958. Т.45(87). № 4. С.123 158.

38. Ладыженская О. А. О разрешимости «в целом» краев >тх задач для линейных и квазилинейных параболических уравнений и уравнений Навье Стокса: Труды 4-го Всесоюзного Мат. съезда. Т.1. Ленинград, 1961. — С. 134 — 157.

39. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости М.: Наука, 2-е издание, 1970. 288с.

40. Ладыженская О. А. Уравнения математической физики М.: Наука, 1973. -407с.

41. Ладыженская О. А, Солотшиков В. А., Уральцева H.h. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа М.: Наука, 1967, 763с.

42. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа М.: Наука, 1964, 538с.

43. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972. — 416 с.

44. Лыков А. В. Тепломассообмен: справочник М.: Энеогия, 1978. 480 с.

45. Максимов В. И. Численное решение некоторых обратных задач теплопроводности//Автоматика и телемеханика. 1993. — № 3. — С. 127 — 132.

46. Марчук Г. И. О постановке некоторых обратных задач// ДАН СССР. 1964.Т. 256. № 3. С.503 506.

47. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. -М.: Наука, 1983. 424 с.

48. Морозов В. А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задачМ.: Наука, 1987. 240 с.

49. Музы лев Н. В. Теоремы единственности для некоторых обратных задач теплопроводности// Журнал вычисл. матем. и матем. физ., 1980. Т. 20. № 2. С.120 134.

50. Музылёв Н. В. О единственности решения одной обратной задачи нелинейной теплопроводности//' Журнал вычисл. матем. и матем. физ. 1985. — Т. 25. — № 9. — С.1346 — 1352.

51. Осипов Ю. С., Васильев Ф. П., Потапов М. М. Основы метода динамической регуляризации. М.: изд-во МГУ, 1999. — 328 с.

52. Приленко А. И. Обратные задачи теории потенциала (эллиптические, параболические, гиперболические уравнения и уравнение переноса)// Матем. заметки. 1973. Т. 14. Вып. 6. С. 755 767.

53. Прилспко А. И. Прогттоз-управлспис, обратные и нелокальные задачи для нестационарных уравнений//Распределённые системы: оптимизация и приложения в экономике и науках об окруж. среде. Екатеринбург: УРО РАН, 2000. С. 22−23.

54. Прилепко А. И. Прогпоз-управлепие и пеклассические задачи для уравнений с частными производными//Межд. конф. по дифференц. уравнениям и динамическим системам. Владимир: Владимир. Гос. Ун-т, 2000. С. 168−169.

55. Прилепко А. И., Васин И. А. Некоторые обратные начально-краевые задачи для нестационарных линеаризованных уравнений Навье-Стокса //Дифференц. уравнения. 1989. — Т.25. — № 1. — С. 106 — 117.

56. Прилепко А. П., Костин А. Б. О некоторых обратных задачах для параболических уравнений с финальным и интегральным наблюдением //Матем. сборник. 1992. — Т.183. — № 4. — С.49 — 68.

57. Прилепко А. И., Костин А. Б. Об обратных задачах определения коэффициента в параболическом уравнении I //Сиб. Матем. Журнал. 1992. Т.ЗЗ.3. С.146 155.

58. Прилепко А. П., Костин А. Б. Обратная задача определения коэффициента в параболическом уравнении II //Сиб. Матем. Журнал. 1993. Т.34. № 5. С.147 162.

59. Прилепко А. П., Костин А. Б. Оценка спектрального радиуса одного оператора и разрешимость обратных задач для эволюционных уравнений//Матем. Заметки. 1993. Т.53. Вып. 1. С. 89 93.

60. Прилепко А. П., Орловский Д. Г. Обратные задачи для эволюционных полулинейных уравнений//ДАН СССР. 1984. — Т.277. — № 4. — С. 799 — 803.

61. Прилепко А. П., Орловский Д. Г. Об определении параметра эволюционного уравнения и обратных задачах математической физики. I.//Дифф. Уравне-ия. 1985. — Т. 21. — № 1. — С. 119 — 129.

62. Прилепко А. П., Орловский Д. Г. Об определении параметра эволюционного уравнения и обратных задачах математической физики. П.//Дифф. Урав-неия. 1985. — Т. 21. — № 4. — С. 694 — 701.

63. Прилепко А. П., Орловский Д. Г. Об определении параметра эволюционного уравнения и обратных задачах математической физики. III.//Дифф. Урав-неия. 1987. — Т. 23. — № 8. — С. 1343 — 1353.

64. Прилепко А. И., Орловский Д. Г. О полугрупповом подходе к задаче определения неоднородного члена в эволюционных уравнениях//ДАН СССР. 1989. Т.305. № 5. С. 1045 1049.

65. Прилспко А. И., Соловьев В. В. О разрешимости обратных краевых задач определения коэффициента перед младшей производной в параболическом уравпении//Дифференц. уравнения. 1987. — Т.23. — № 1. — С. 136 — 143.

66. Прилепко А. И., Соловьёв В. В. Теоремы разрешимости и метод Ротэ в обратных задачах для уравнений параболического типа //Дифференц. уравнения.1987. Т.23. № 11. С. 1971 1980.

67. Прилепко А. И., Тихонов И. В. Единственность решения обратной задачи для эволюционного уравнения и приложения к уравнению переноса // Матем. Заметки. 1992. — Т. 51. — Вып. 2. — С. 77 — 86.

68. Прилепко А. И., Тихонов И. В. Восстановление неоднородного члена в абстрактном эволюционном уравнении // Изв. РАН, серия матем. 1994. Т. 58. № 2. — С. 167−188.

69. Прилепко А. И., Ткаченко Д. С. Обратная задача об источнике для параболического уравнения с точечным и интегральным переопределением // Еругипскио чтения VIII: тез. докл. международ, матем. конф. Брест: Издатель С. Б. Лавров, 2002. С. 146 147.

70. Пташник Б. И. Некорректные граничные задачи для дифференциальных уравнений с частными производными Киев: Наукова Думка, 1984. — 264 с.

71. Романов В. Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений Новосибирск: Изд-во Новосибирск, ун-та, 1973. 252 с.

72. Романов В. Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984. — 262 с.

73. Романов В. Г., Кабанихин С. И. Обратные задачи геоэлектрики. М.: Наука, 1991. 304 с.

74. Сабитов К. Б. Экстремальные свойства решений одного класса параболических систем и их применения//Дифф. уравнения. 1990. Том 26. — № 2. — С. 287 — 297.

75. Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Разностные методы решения обратных задач математической физики// Фунд. Основы матем. моделирования. М.: Наука. 1997, с. 5 97.

76. Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Числсштыс методы решения задач конвекции диффузии. М: Эдиториал УРСС, 1999. 248 с.

77. Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Аддитивные схемы для задач математической физики. Ин-т мат. моделирования. РАН — М.: «Наука», 2001. — 319 с.

78. Соловьев В. В. О разрешимости обратной задачи определения источника с переопределением на верхней крышке для параболического уравнения//Дифф. Уравнения. 1989. — Т.25. — № 9. — С. 1577 — 1583.

79. Соловьёв В. В. Определение источника и коэффициентов в параболическом уравнении в многомерном случае//Дифф. Уравнеия. 1995. Т.31. N5 6.С. 1060 1069.

80. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики М.: Изд-во МГУ, 1999. — 798 с.

81. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 288 с.

82. Тихонов А. Н., Леонов А. С., Ягола А. Г. Нелинейные некорректные задачи. М.: Наука, 1995. 308 с.

83. Тихонов И. В., Эйдельман Ю. С. Единственность решения двухточечной обратной задачи для абстрактного диффернциального уравнения с неизвестным параметром.//Дифф. Уравнеия. 2000. Т. 36. № 8. С. 11 321 133.

84. Тихонов И. В., Эйдельман Ю. С. Критерий единственности для обратной задачи с финальным переопределием.//Обратные и некорр. поставленные задачи: Тез. докл. конф. М.: Изд-во АО «МАКС Пресс», 2001. — С. 82.

85. Ткачепко Д. С. Об одной обратной задаче для параболического уравнения с финальным переопределением //Обратные и пекорр. поставленные задачи: Тез. докл. конф., М.: Изд-во АО «МАКС Пресс», 2001 С. 84.

86. Ткаченко Д. С. Об одной обратной задаче для параболического уравнения с интегральным переопределением//Алгоритмический анализ неустойчивых задач: Тез. докл. Всеросс. Научн. конф., Екатеринбург: Изд-во Уральского Ун-та, 2001. С. 120.

87. Ткаченко Д. С. Обратная задача об источнике для параболических си-стем//Журнал Естественных и Технических Наук, 2002. Вып. 2. С. 54 -56.

88. Турчак Л. И., Плотников П. В. Основы численных ме'.одов: Учебное пособие. 2-е изд. М.: Физматлит, 2002. 304 с.

89. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М.: Мир, 1968. 427 с.

90. Фурсиков А. В. Оптимальное управление распределёнными системами. Теория и приложения Новосибирск: Научная Книга, 1999. 350 с.

91. Эйдельман С. Д. Параболические уравпения//Итоги науки и техники ВИНИТИ. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. 1990. — Т. 63. — С. 201 — 313.

92. Яхио В. Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений упругости Новосибирск: Наука, 1990. 304 с.

93. Санпоп J., DuChateau P. An inverse problem for an unknown source in a heat equation// J. Mathem. Anal. 1980. V.75. № 2. P. 465 485.

94. Choulli M. An inverse problem for a semilinear parabolic equation//Inverse Problems. 1994. — V.10. — p. 1123 — 1132.

95. DnCliateau P., Rundell W. Uniqueness in an inverse problem for an unknown reaction term in a reaction diffusion equation.//J. Differ. Equations. 1985. V. 59. № 2. P. 155 164.

96. Garding L. Dirichlet’s problem for linear partial differential equations//Mayh. Scand. 1953. 1. P. 55 71.

97. Hoffman K.-H., Yamamoto M. Generic uniqueness and stability in some inverse parabolic problems//Inverse Problems in Mathem. Physics. Lecture notes in Physics. 1993. — V. 422. — P.49 — 54. Springer: Berlin-Heidelberg.

98. Isakov V. Inverse source problems AMS: Providence, RI. 1990.

99. Isakov V. Inverse parabolic problems with the final overdetermination // Comm. on Pure and Appl. Math. 1991. — V 44. — P. 185 — 209.

100. Isakov V. Inverse problems for partial differential equations Springer: New York-Berlin-Heidelberg. 1998. 254 p.

101. Lorenzi A., Sinestrari E. An inverse problem in the theory of materials with memory. Part I.//Univer. Degli Studi di Milano. 1986. — № 23. — P. 1 — 24.

102. Lorenzi A., Prilepko A. Fredholm-type results for integro-differential identification parabolic problems.// Differ, and Integral Equations. 1993. -V. 6. — № 3. — P. 535 — 552.

103. Osipov Yu.S., Kryazimskii A.V. Inverse problems of ordinary differential equations: dynamical solutions. London: Gordon&Breach, 1995. 625 p.

104. Osipov Yu.S., Kryazimskii A.V., Maksimov V.I. Dynamical inverse problems for systems with distributed parameters.//J.Inv. Ill-posed Problems. 1996. — V.4. № 4. — P. 267 — 282.

105. Prilepko A.I., Orlovsky D.G., Vasin I.A. Methods for solving inverse problems in mathematical physics Marcel Dekker inc., New York-Basel, 2000. — 709 p.

106. Prilepko A.I. and Tkachenko D.S. An inverse problem for a parabolic equation with final ovcrdctermination// Ill-Posed and Inverse Problems, S.I. Kabanikhin and V.G. Romanov (Eds). VSP, Utrecht, 2002. P. 317 353.

107. Rundcll W. An inverse problem for a parabolic partial differential equation//Rocky Mount. J. Mathem. 1983. V. 13. P. 679 688.

108. Sperb R. Maximum principles and their applications New York: Academy Press, 1981. — 224 p.

109. Tkachenko D.S. On a parabolic inverse problem with integral oveгdetermination//Диффepeнциaлhныe и интегральные уравнения. Математические модели: Тез. докл. межд. конф., 4−8 февраля 2002, Челябинск: Изд. центр ЧелГУ, 2002. С. 128.

110. Tkachenko D.S. On solvability of an inverse problem//International conference «Ill-Posed and Inverse Problems» (august 5−9, 2002, Novosibirsk, Russia): Abstracts Novosibirsk, Sobolev Institute of Mathematics, 2002. P. 161.

111. Yamainoto M. Conditional stability in the determination of force terms of heat equations in a rcctangle//Mathcm. Comput. Modeling. 1993. V. 18. № 1.P. 79 88. о Y3236−6-03.