Спектральные характеристики одномерного оператора Шредингера с негладкими коэффициентами

При решении многих задач математической физики возникает необходимость исследования собственных значений и собственных функций дифференциальных операторов, а также проблема разложения произвольной функции в ряд (или интеграл) по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля.

Так, например, к такого рода вопросам приходят, применяя метод Фурье для нахождения решения дифференциальных уравнений в частных производных, удовлетворяющих начальным данным и краевым условиям.

Регулярный случай задачи Штурма-Лиувилля, соответствующий конечному отрезку и непрерывным коэффициентам уравнения, изучен сравнительно давно и обычно подробно излагается в руководствах по уравнениям математической физики и интегральным уравнениям.

Особенно возрос интерес к проблеме спектрального анализа самосопряженных дифференциальных операторов в последнее десятилетие. Оказалось, что ряд важных случаев изучения^{-функции} (одного из основных объектов, характеризующих поведение квантово-механической системы) сводится к спектральному анализу уравнения Штурма-Лиувилля.

1у] = -у'' + Ч{х)у{х) = Хр{х)у{х (а<�х<�Ъ), (0.1) решения которого должны быть подчинены некоторым граничным условиям и нормировочному условию ь у2(х)р{х)сЬс = (0.2) а в дальнейшем мы будем всегда предполагать, что весовая функция р (х)>0, а функция д (х) — вещественнозначная).

Простейшими граничными условиями являются «условия закрепления» у (а) = у (Ь) = 0. (0.3).

Спектральная задача (0.1)-(0.3) является классической, ей посвящена огромная литература. Отметим работы Штурма [67] и Лиувилля [65]. В этих работах в предположении достаточной гладкости коэффициентов уравнения (0.1) и при выполнении условия.

0<т< р (х)<�М (0.4) было установлено:

1. Существует счетное множество собственных чисел Яп спектральной задачи (0.1)-(0.3) с единственной предельной точкой + оо.

2. Все собственные числа вещественны и при п —> +оо.

Л, п2. (0.5).

4pC0dt, а J.

Все эти результаты были получены, в основном, путем применения асимптотических методов исследования решений дифференциальных уравнений при большом значении Л" И, развитых Лиувиллем [65], Биркгофом [62] и Я. Д. Тамаркиным [54].

Резюмируя итоги этих работ, можно сделать вывод о том, что в случае достаточно гладких коэффициентов уравнения (0.1) и при выполнении условия (0.4), спектральные свойства задачи Штурма-Лиувилля качественно совпадают со спектральными свойствами оператора {ц (х) = 0, р (х) = 1), рассмотренного еще Фурье.

Все вышеуказанные результаты получены при условии конечности области и определенной гладкости коэффициентов уравнения (0.1). Если область задания бесконечна или коэффициенты уравнения не суммируемы (или и то и другое), то задача Штурма-Лиувилля относится к так называемому сингулярному случаю, основы которого заложены Германом Вейлем в его известных работах [71 -73].

Сингулярные дифференциальные операторы могут иметь уже не только дискретный спектр, но и непрерывный, в связи с чем разложение по их собственным функциям в общем случае представляется в виде интеграла Стильтьеса.

Своим дальнейшим прогрессом теория сингулярных дифференциальных операторов обязана Э. Шредингеру, опубликовавшему в 1926 году две заметки [68], в которых был заложен математический фундамент квантовой механики.

Задачи на определение энергетического спектра конкретных систем, изученные после этого в различных работах по квантовой механике, стали решающими для дальнейшего развития теории сингулярных дифференциальных операторов.

Результаты первостепенной важности были получены М. Г. Крейном, Э. Ч. Титчмаршем, Б. М. Левитаном, М. А. Наймарком. Эти работы подытожены в монографиях [33, 35, 48, 49, 56, 57].

Однако, несмотря на эти фундаментальные результаты, проблема спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов еще далека от завершения даже в одномерном случае.

Здесь в первую очередь следует указать на задачу определения спектра и его кратности в зависимости от свойств коэффициентов уравнения. Особенно мало разработаны эти вопросы для случая операторов с обобщенными периодическими коэффициентами.

Класс таких операторов Штурма-Лиувилля возникает в одном из разделов квантовой механики, а именно при описании одномерных структур и полимерных молекул в рамках простейших квантово-механических моделей [34, 50, 55, 66], которые с математической точки зрения сводятся к изучению спектральных характеристик в Ь2 (-оо-+оо) уравнения.

— у" + д (х)у (х) = Лр (х)у (х), х е (—со-+со), (0.6).

В уравнении (0.6) р (х) и д (х) — вещественные, периодические с периодом, равным со>0, функции, причем р (х)>0.

При условии суммируемости функции д (х) и р (х) = 1 спектральные характеристики уравнения (0.6) были исследованы Э. Ч. Титчмаршем в его монографии [56], в которой было установлено:

1. Спектр уравнения (0.6) полуограничен снизу, абсолютно непрерывен и двукратен;

2. Спектр уравнения (0.6) состоит из объединения отрезков (зон) Л], разделенных интервалами (лакунами) 7″ •;

3. Число лакун, вообще говоря, бесконечно;

4. Длина лакуны Гуасимптотически при) —> оо стремится к нулюу.

5. Произвольная функция /(х)еЬ (-ю-+оо) может быть представлена обобщенным интегралом Фурье, как суперпозиция решений уравнения (0.6), соответствующих непрерывному оо спектру Л=JЛj. о.

В дальнейшем, полагая, что периодический потенциал д (х) является гладкой функцией, был уточнен порядок стремления к нулю длины лакуны Г- (у—>оо) В. А. Марченко и И. В. Островским [45], а также найдены необходимые и достаточные условия на потенциал д (х), при которых спектр уравнения (0.6) состоит только из конечного числа зон.

И.М.Гельфанд (изложение его метода приводится в приложении к книге [57], написанном В.Б.Лидским) предложил новый метод разложения произвольных функций по собственным функциям уравнения с периодическими коэффициентами, применяемый к системам дифференциальных уравнений с частными производными.

В связи с некоторыми задачами теории твердого тела М. М. Гехтман и И. В. Станкевич [14], [15] исследовали спектр дифференциального уравнения.

Хилла с обобщенным периодическим потенциалом вида.

2(х, б) = д (х) +е^д (х-п), х е (-со-+оо). (0.7).

В формуле (0.7)? -произвольное вещественное число, а 8(х)~ функция Дирака. Потенциал (0.7) при д (х) = 0 впервые был введен Р. Кронигом и В. Пенни в работе [64].

М.М.Гехтман и И. В. Станкевич показали, что в случае обобщенного потенциала Кронига-Пенни (0.7) для уравнения (0.6) остаются справедливыми все утверждения теории Э. Ч. Титчмарша, кроме утверждения о стремлении к нулю длины лакуны 7у (у -" со). Показано, что в случае.

0 число лакун в спектре бесконечно и асимптотически при у' -> оо длина лакуны Гу стремится к пределу, равному с0 • е, (с0 >0).

М.Г.Гасымов и Р. З. Халилова выяснили, что в случае уравнения (0.6), где функция р (х + 1) = р (х)>0 определена формулой р (х) = <

V2 1, 0 <х <а < 1, ^^.

1, а<�х<1, длина лакуны в спектре уравнения (0.6) асимптотически стремится к бесконечности (у -" оо).

Наряду с изучением спектральных характеристик уравнения Хилла (0.6) и различных его обобщений, значительные усилия были направлены на изучение спектра возмущенного уравнения Хилла. Это возмущение может быть описано либо введением в уравнение (0.6) добавочного периодического потенциала р (х), либо рассмотрением уравнения Хилла на полуоси.

В последнем случае к уравнению (0.6) должны быть присоединены в граничной точке х=0 некоторые краевые условия, которые обеспечивают самосопряженность спектральной задачи на полуоси.

Эти исследования были обусловлены в значительной степени задачами квантовой механики и квантовой химии. Отметим прежде всего ставшую классической работу И. Е. Тамма [55], в которой была рассмотрена спектральная задача для уравнения Шредингера с потенциалом.

V, х < 0,.

0О (х, е, у) = ® (0.9) е — 2, Я (х-п), х>0,.

— П=1 и впервые было указано на возможность появления собственных чисел (поверхностных или таммовских состояний) в лакунах Гу-.

Появление дискретной компоненты спектра в лакунах Т^, обусловленное граничными условиями или возмущением периодического потенциала д (х) слабым возмущением Р (х), было математически обосновано в работах [23−26].

Начиная с работы И. Е. Тамма [55], в физической литературе по теории твердого тела [14], [63] значительное внимание уделяется поверхностным состояниям, что особенно существенно в связи с рядом конкретных экспериментальных эффектов, установленных в последнее время.

В последние десятилетия проводится детальное исследование некоторого класса решаемых моделей квантовой механики, а именно моделей, задающихся оператором Шредингера с потенциалом, сосредоточенном на дискретном (конечном или бесконечном) множестве точек (источников). Модели с точечными взаимодействиями такого рода являются решаемыми в том смысле, что для них можно явно определить резольвенты в терминах интенсивности взаимодействия и координат источников. В результате спектр, собственные функции, равно как резонансы и характеристики рассеяния, так же могут быть явно определены. Модели указанного типа уже широко обсуждались в физической литературе (см. библиографию в [4]), посвященной задачам атомной физики и физики твердого тела [21].

Последующие исследования привели, в частности, к первой математически строгой работе на эту тему — статье Березина и Фадеева [6], посвященной определению гамильтонианов вида.

Н = -А+?еубу О, (0.10) уеУ где через Л обозначен самосопряженный лапласиан в Ь2(Яс1) с областью.

0 /7 определения Ж2 (Я) для с1=3. Здесь с1 — размерность объемлющего конфигурационного пространства, Г — дискретное (конечное или счетное) подмножество в Яа, £у — константа связи, приписанная точечному источнику, находящемуся в точке у, а 8 уфункция Дирака в точке у (т.е. единичная мера, сосредоточенная в точке у).

Любое возможное математическое определение самосопряженного оператора Н, отвечающего эвристическому выражению (0.10) в пространстве.

Ь2 (Яа), должно учитывать тот факт, что оператор Нсовпадает с оператором.

00 // // ¦ а на множестве Со (^ -Г) гладких в Я функций с компактным носителем, не содержащим точку-/.

Причем в одномерном случае возможно непосредственное описание.

8 -взаимодействий с помощью квадратичных форм. На самом деле в одномерном случае имеет место новое явление: поскольку (в отличие от.

1=2,3) оператор — обладает четырехпараметрическим семейством самосопряженных расширений в пространстве Ь (К), то существуют дополнительные типы взаимодействий (например, -взаимодействия).

Рассмотрим однопараметрическое семейство, отвечающее 8'-взаимодействию.

Для этого рассмотрим в Ь2 (Я) минимальный оператор Н’у а2 ну=—Т> (0−11) ох.

0{Н'у) = ^^{К?)Г{у]) = 0, у] еУ^-ем] (0.12).

Оператор Н’у [4, с.377−378] замкнут, неотрицателен и имеет индексы дефекта (оо-оо). В соответствии с результатами, приведенными в [4, с.445−450] оператор Н’у обладает самосопряженными расширениями следующего специального вида: н/з,? ~ а2 сЬс' ф^) fzwhRYfXyj +о) = -0) = Пу,), I (0ЛЗ) f (y^+o)-f (yj-o) = /зJf'(yJ),.

По определению, оператор НрГ описывает 8' - взаимодействия интенсивности Р ¦, сосредоточенные в точках у ^ еУ с: Я.

Исследованию спектральных характеристик оператора Н ^ у посвящена обширная литература (см. библиографию в [4]). Этому же кругу вопросов посвящена и настоящая диссертационная работа.

Заметим, что близкими к исследуемым в диссертационной работе вопросам относятся результаты, полученные в последнее время в работах Назарова А. Д. [47] и Бучаева Я. Г. [7] .

Рассмотрим в Ь2 (^-оо-+оо) спектральную задачу.

— у" + Я (х, е) у = Лу, хе (-<�ю-+оо), хФп (п = 1,2,3,.). (0.14).

Случай оо.

2(х, е) = д (х) + ?УЕЗ'(х-п), (0.15) п=-00 где д (х + 1) = д (х)е. С (-оо-+оо),? — произвольное вещественное число {е, а 8'(х) — потенциал нулевого радиуса иливзаимодействие, рассмотрен в работе Назарова А. Д. [47], в которой установлено, что спектр задачи (0.14), (0.15) абсолютно непрерывен, однократен и совпадает с множеством, А = У А^, называемым зонами, которые разделены лакунами Т] пропусками), причем число лакун счётно и длина лакуны Г. асимптотически при у —> оо стремится к бесконечности.

Зоны, А ¦ и лакуны Т] определены в главе 1 диссертационной работы. Случай.

V, х<0, д (х, е, У) = «(0.16) х) + а• ¿-¿-о (х-п), х>0, п=1 где V — произвольное вещественное число (V Ф оо), рассмотрен в работе Бучаева Я. Г. [7], в которой установлено, что спектр задачи (0.14), (0.16) состоит из дискретной и непрерывной компоненты.

Дискретная компонента состоит из разве что конечного числа собственных чисел, принадлежащих множеству (-оо-У)СТ, где Т = У]Tj, а. непрерывная компонента заполняет множество.

Г -+">) П (Л[) Т)) и ((-ооV) С) Л), причем на множестве ((-соV) П Л) и ([У-+со) Г) Т) — спектр абсолютно непрерывен и однократен, а на множестве — абсолютно непрерывен и двукратен.

Перейдем к изложению основных результатов диссертационной работы.

Рассмотрим в Ь2 (-оо-+оо) спектральную задачу.

— у" + £)(х, а, а) у = Яу, [ х |< оо, х ф п, (п = 1,2,3,.), (0.17) в соотношении (0.17) потенциал а>8) определим формулой ах, х<0-, (0.18) д (х) + ?^5''(х-п), х>0. х, а, б) = <

У1—1.

0.19).

Обозначим через в (х, Я) и ср{х, А) решения уравнения Чу) = ~у" (х) + <2(х, а, 0) у (х) = Яу (х), | х |< оо, удовлетворяющие при х = 0 условиям Коши.

0(0, Я) = <р'(0, Я) = 1- в'(0, Я) = <р (0, Я) = 0. (0.20).

Кроме того образуем функцию.

Г (Я) = в (1,Я) + <�р'(1Я) + е в'(1,Я). (0.21).

Обозначим через Я] а=0,1,.) нули функции (р (А,)+2), а через // • (у = 0,1,.) — нули функции (Р (Х)-2).

Обозначим также.

5 = {Ц&- = 0},.

Л1 = ] = 2к, к = 0,1,2,.,, ] = 2к + 1, к = 0,1,2,. .

0.22) (0.23).

0.24).

TJ =.

— 00 -Л0),.

Н]-1->"] ] = 2к + 1, к = 0,1,2,., (0.25).

— 2к, к = 1,2,. .

Л = иЛ— - Т = [}Т]. (0.26) з з.

Пусть в (х, Я) и ф (х, Х) — решения уравнения (0.17), которые на [0−1] совпадают с в (х, Л) и <�р (х, Я), соответственно.

•у.

В гильбертовом пространстве Ь (-со-+сс) на множестве функций 0(Н (?, а)), определенных условиями.

D{H (s, a)) =.

0.27) def feW2(RN)f'(n + 0) = f'(n-0) = f’n, f (n + 0) — f (n-0) = efn>l[f] G L2(-co—"*)} посредством дифференциального выражения l[f] (из (0.19)) определим оператор Н (s, a) по формуле.

H (s, a) f = l[f], feD{H (s, a)). (0.28).

В первой главе диссертационной работы исследованы спектральные характеристики оператора Н (е, а) в случае, а <0 ив этом направлении получены результаты:

1. Оператор Н (е, а) в существенном самосопряжен.

2. Резольвента оператора Н (s, a) (im определена формулой.

R+xf, ImX>0, Rlf, ImX<0,.

0.29) где.

Rtf = Ro±ir{f>W-1{.

00 y3(x, X) y/2{t, X) f (t)dt.

0.30) t>0).

В формуле (0.30) Ж (Я), у/2 (х, X) и ц73(х, А) определены формулами (1.2.7), (1.1.31), (1.1.35), соответственно.

3. Спектр оператора Н (?, а) состоит из абсолютно непрерывной компоненты, расположенной на множестве Л, причем кратность спектра равна единице, и дискретной компоненты, которая состоит из разве что счетного множества чисел ^ е, где U S2 U S3, а множества Sj (j -1,3) определены соотношениями (1.3.2), (1.3.38), (1.3.48), соответственно.

4. Оператор H (s, a) полуограничен снизу.

5. Длина лакуны Г. в непрерывном спектре оператора Н (е, а) асимптотически при Л —" +оо стремится к бесконечности. л.

6. Пусть f (x)<=L (—оо-+оо), тогда справедлива формула f (x)=-^sR,(f)-^^f^%(t,.

В формуле (0.31) Q (cr), y/3(x, cr) и, А (а) определены формулами (1.2.9), (1.3.4) и (1.3.52) соответственно.

Во второй главе диссертационной работы исследованы спектральные характеристики оператора H{s, a) в случае а> 0 ив этом направлении получены следующие результаты:

1. Оператор Н (s, a) в существенном самосопряжен.

2. Резольвента оператора Н (е, а) {im ЛфО) определена формулой.

Rtf, ImA>0,.

Rxf = 1.

Rlf, ImX<0, где.

Rlf — K. ir (/)=w-1 (xv2 (x, Л) (/, X) f (i)dt+ 00 г-(х, л) w2 (t, X) f{t)dt X.

R-Xf = Rair (/) = w:1 {л*2(x, Л) JiPy (t, X) f{t)dt +.

00 f/M) ч>2 (t, x) f (t)dt.

0.32).

0.33).

0.34).

В формулах (0.33) — (0.34) 1¥-±-(Л), f/^(x, X) и у/2{х, Л) определены формулами (2.2.1), (2.2.2), (2.1.21), (2.1.24), (1.1.31), соответственно.

3. Спектр оператора Н (в, а) абсолютно непрерывен и расположен на всей спектральной оси Л, причем кратность спектра равна единице на множестве Т и двум на множестве, А .

4. Оператор Н (s, a) не ограничен ни сверху, ни снизу.

5. Пусть f (x)eL (оо-+оо), тогда справедлива формула.

00 = м (о-)у/2(х, ст) y/2(t, Cj) f (t)dtd<

7 +.

7t.

2 +oo.

J ^ J (A (cr)y/(t, а), y/(x, сг)) 2 f (t)dtda.

0.35) л.

В формуле (0.35) функции у/ 2 (х, а), М{р), Л (а), Л (<�т) и ц/(х, а) определены формулами (2.3.22), (2.3.23), (2.3.43), (2.3.50), (2.3.51), соответственно.

В гильбертовом пространстве Ь2(-со-+со) на множестве функций 0{Н (е)), определенных условиями.

D{H (s)) = def feW22(RN)f (n + 0) = f'(n-0) = f’n, п + 0)-/(п-0) =^, 10Ше Ь2 (-<*-+">)) посредством дифференциального выражения ь [У] = -у (*) + й (х, р (х), 0) у (х) определим оператор Н (£) по формуле.

Н (8)/ = 10[/], /ЕО{Н (?)), где р (х), х<0- д (х, р (х),?) = <

0.36).

0.37) (0.38).

0.39) q (x) + ?^д'(х-п), х>0, п=1 в формуле (0.39) q (x)~ вещественная, периодическая с периодом равным единице, кусочно-непрерывная функция, а р (х) — вещественная функция, удовлетворяющая условиям 1)-4) из главы 3.

В третьей главе диссертационной работы исследованы спектральные характеристики оператора Н (s) в случае р (х)е Х~ и р (х)е Х+, где Х±- -множества функций р (х) —> ±-оо, соответственно, и получены следующие результаты:

1. Оператор Н (£) в существенном самосопряжен.

2. Построена резольвента оператора Н (£) как в случае р (х)е Х~, так ив случаер (х)е Х+, определенная формулами (3.1.31)-(3.1.32), (3.6.3), соответственно.

3. Пусть р (х)е Х~, тогда спектр оператора Н (£) абсолютно непрерывен и расположен на всей спектральной оси Я, причем кратность спектра равна единице на множестве Тр = {jTf и равна двум на множестве Лр ={JAP, где ЛР, ТР, ЛР., Т? определены j формулами (3.1.13)-(3.1.15).

4. Пусть р (х)е Х+, тогда спектр оператора H (s) состоит из абсолютно непрерывной компоненты, расположенной на множестве Лр, причем кратность спектра равна единице и дискретной компоненты, которая состоит из разве что счетного множества чисел tk eSp cz Тр, где множество Sp определено соотношениями Sp =St U Sp U Sp, а множества St, Sp, SP определены в свою очередь соотношениями (3.6.10), (3.6.14)-(3.6.16), (3.6.21)-(3.6.23), соответственно.

5. Пусть р (х)е Х+, тогда оператор Н (е) полуограничен снизу.

6. Получены разложения произвольной функции из Ь2(-оо-+со) по спектру оператора Н (£) как в случае р (х) е Х~, так и в случае р (х)еХ+, определенные формулами (3.5.3) и (3.8.5), соответственно.

В заключении рассмотрен оператор Н¡-(s) с областью определения D{H (б)) и р (х) = ах, (Ima 0), для которого исследована структура спектра и установлено, что спектр оператора Н1(б) состоит из абсолютно непрерывной компоненты, совпадающей с множеством Лр и дискретной компоненты, совпадающей с множеством S4 при Ima >0 и с множеством S5 при Ima<0 (через S4 обозначили множество корней функции у (А,), определенной формулой (3.9.16), а через S5 — множество корней функции у (А), определенной формулой (3.9.17)), причем собственных чисел может быть разве что счетное множество с предельными точками на + со, или же на берегах разрезов Лр (j = 0,1,.).

Основные результаты диссертации обсуждались на семинаре по спектральной теории в Даггосуниверситете (руководитель доктор физ.-мат. наук, профессор Айгунов Г. А.), на межвузовском городском семинаре (руководитель доктор физ.-мат. наук, профессор Вагабов А.И.), на семинаре по спектральной теории в Московском госуниверситете (руководителидоктор физ.-мат наук, профессор Костюченко А. Г., доктор физ.-мат. наук, профессор Шкаликов A.A.) и опубликованы в работах [36−44].

1. Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. — М.: Наука, 1966.

2. Арсеньев A.A. Сингулярные потенциалы и резонансы. М.: Изд-во МГУ, 1974.

3. Абрамович М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. М.:Наука, 1979.

4. Альбеверио С., Гестези Ф., Хёг-Крон Р., Хольден X. Решаемые модели вквантовой механике. М.: Мир, 1991.

5. Айгунов Г. А. О спектре одного класса одномерных операторов типа Шредингера с обобщенным потенциалом. //Математические заметки. 1997. Т.62. № 4. С.617−618.

6. Березин Ф. А., Фадеев Л. Д. Замечание об уравнении Шредингера ссингулярным потенциалом. //ДАН СССР. 1961. Т.137, № 5. С.1011−1014.

7. Бучаев Я. Г. Авторская диссертация на соискание ученой степеникандидата физ.-мат. наук. 1998.

8. Бочвар Д. А., Станкевич И. В., Чистяков А. Л. Некоторые интегральныехарактеристики распределений в применении к квантовомеханическим системам. Энтропия локализации. //Журнал физической химии. 1962. Т.36, № 12. С. 2674−2679.

9. Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. М., Наука, 1971.

10. Гельфанд И. М. Разложение по собственным функциям уравнения с периодическими коэффициентами. // ДАН СССР. 1950. т.73, № 6. С.1117−1120.

11. Гехтман М. М. К вопросу о спектре самосопряженных расширений симметрического полуограниченного оператора. // ДАН СССР. 1969. Т. 186, № 6. С. 1250−1252.

12. Гехтман М. М. Изучение спектра некоторых неклассических самосопряженных расширений оператора Лапласа. //Функц. анализ и его приложения. 1970. Т. 4, № 4. С. 72.

13. Гехтман М. М., Станкевич И. В. Обобщенная задача Кронига-Пенни. //Функц. анализ и его приложения. 1977. T. II, вып.1. С.59−61.

14. Гехтман М. М., Станкевич И. В. Спектральная теория некоторых неклассических дифференциальных операторов. Учебное пособие. -Махачкала: Даггосуниверситет. 1985.

15. Гехтман М. М., Станкевич И. В. Исследование спектральных характеристик некоторых операторов Штурма-Лиувилля, применяемых в теории кристаллов. //Дифф. уравнения. 1981. Т.18. № 12. С.2269−2270.

16. Гехтман М. М., Станкевич И. В. О классификации локальных состояний в спектрах одномерных кристаллов. Первая Всесоюзная конференция по квантовой химии твердого тела. Тезисы докладов. Л. 1982. С.53−54.

17. Глазман И. М. Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов. М.: Физматгиз. 1963.

18. Демков Ю. Н., Островский В. Н. Метод потенциалов нулевого радиуса в атомной физике. Л.: изд-во ЛГУ. 1975.

19. Дмитрущенков В. А. О спектре обобщенного оператора Хилла. //Функц. анализ и его приложения. 1979. Т.13, вып.4. С.69−70.

20. Желудев В. А. О собственных значениях возмущенного оператора Шредингера с периодическим потенциалом. В сб.: Проблеммы математической физики, вып.2.изд-во ЛГУ. 1967.

21. Желудев В. А. О возмущениях периодического оператора Шредингера убывающим потенциалом. // Вестник ЛГУ, серия математическая, 1968, № 7, вып.2.

22. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.

23. Китинявонг Тхепсаван. Авторская диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук. -1993.

24. Кочубей А. Н. О спектре самосопряженных расширений симметрическогооператора.//Матем. заметки. 1976. Т. 19, № 3. С.429−434.

25. Костюченко А. Г., Левитан Б. М. Об асимптотическом поведении собственных значений операторной задачи Штурма-Лиувилля. //Функц. анализ и его приложения. 1967. Т.1, вып. 1. С.86−96.

26. Костюченко А. Г., Саргсян И. С. Распределение собственных значений. -М.: Наука, 1979.

27. Красносельский М. А. О самосопряженных расширениях эрмитовыхоператоров. //УМЖ. 1949. № 1. С.21−38.

28. Крейн М. Г. Теория самосопряженных расширений полуограниченных эрмитовых операторов и её приложения 1. //Матем. сб. 1947. Т.20, вып.З. С.431−491.

29. Ландау JI.Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. М.-Л.: Гостехиздат, 1948.

30. Левитан Б. М. Разложение по собственным функциям дифференциальныхуравнений второго порядка. М.: Изд-во научно-технической литературы, 1950.л.

31. Лугуева A.C. О разложении произвольной функции из L (-оо-+оо) задачи Штурма-Лиувилля с обобщенным потенциалом Q (x, a, s) на всей оси в случае ос<0. ДГУ. Махачкала. 1999. 19 с. Деп. в ВИНИТИ 16.04.99 № 1227-В99.

32. Лугуева A.C. О резольвенте задачи Штурма-Лиувилля с обобщенным потенциалом Q (x, a, e) на всей оси в случае а<0. ДГУ. Махачкала. 1999. 12 с. Деп. в ВИНИТИ 30.07.99 № 2528-В99.

33. Лугуева A.C. О природе спектра задачи Штурма-Лиувилля с обобщенным потенциалом на всей оси. // Тез. докл. на междунар. научной конференции, посвященной 275-летию РАН и 50-летию ДНЦ РАН. Махачкала. 1999. С. 365.

34. Лугуева A.C. О резольвенте задачи Штурма-Лиувилля с обобщенным потенциалом на всей оси. // Известия высших учебных заведений. СевероКавказский регион. Ест. науки. 2000. № 1. С. 19−23.

35. Лугуева A.C. Изучение спектральных характеристик задачи Штурма-Лиувилля с обобщенным потенциалом Q (x, a, s) в случае а>0. ДГУ. Махачкала. 1999. 26 с. Деп. в ВИНИТИ 07.11.99. № 3385-В99.

36. Лугуева A.C. Построение резольвенты оператора H (s, a) задачи Штурма-Лиувилля с обобщенным потенциалом Q (x, a, e) в случае а>0 // Вестник ДГУ. Естественно-технические науки. 1999. N4.

37. Лугуева A.C. Исследование спектральных характеристик дифференциальных операторов Штурма-Лиувилля с обобщеннымпотенциалом Q (x, p (x), e) в случае р (х)е!". ДГУ. Махачкала. 2000. 22 с. Деп. в ВИНИТИ 03.03.00. № 570-В00.

38. Лугуева A.C. Изучение спектра одного класса несамосопряженных операторов Штурма-Лиувилля с сингулярным потенциалом. ДГУ-Махачкала. 2000. 9 с. Деп. в ВИНИТИ 03.03.00. № 569-В00.

39. Лугуева A.C. Исследование спектральных характеристик дифференциальных операторов типа Штурма-Лиувилля с обобщеннымпотенциалом Q (x, p (x), e) в случае р (х) е Х+. ДГУ. Махачкала. 2000. 18 с. Деп. в ВИНИТИ.

40. Марченко В. А., Островский И. В. Характеристика спектра оператора Хилла. Мат. сб. 1975, 97 (139), № 4(8), с. 540−606.

41. Назаров А. Д. Авторская диссертация на соискание ученой степеникандидата физико-математических наук, 1982.

42. Назаров А. Д. О спектре задачи Штурма-Лиувилля с потенциалами нулевого радиуса на всей оси. Функционально-дифференциальныеуравнения и их приложения. //Межв. сб. Махачкала. 1997. С. 146−155.

43. Наймарк М. А. О самосопряженных расширениях второго рода симметрического оператора. //Известия АН СССР. Сер.матем. 1940. Т.4, № 1. С.53−104.

44. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969.

45. Нейман И. Математические основы квантовой механики. М.: Наука, 1964.

46. Нижник Л. П., Дюженкова Л. И. Аналитическое продолжение резольвенты самосопряженного оператора через непрерывный спектр. //УМЖ. 1968. Т.20, № 6. С.759−765.

47. Пхомассон С. Авторская диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук. -1989.

48. Рофе-Бекетов Ф. С. Самосопряженные расширения дифференциальных операторов вектор-функций. // ДАН СССР. 1969. Т. 184, № 5. С. 10 341 037.

49. Тамаркин Я. Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений и о разложении произвольных функций в ряды. Петроград, 1917.

50. Тамм И. Е. О возможной связи электронов на поверхности кристалла. Phys. 2, Soviet Union. 1932, VI 733.

51. Титчмарш Э. Т. Разложение по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка, T.I. М.: ИЛ, 1960.

52. Титчмарш Э. Т. Разложение по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка, T.II. М.: ИЛ, 1961.

53. Федорюк М. В. Метод перевала. М.: Наука, 1977.

54. Шкаликов A.A., Нейман-заде М. И. Операторы Шредингера ссингулярными потенциалами из пространства мультипликаторов. // Матем. заметки. 1999.Т.66, № 5.

55. Шкаликов A.A., Савчук A.M. Операторы Штурма-Лиувилля ссингулярными потенциалами из пространства мультипликаторов. // Матем. заметки.1999.Т.66, № 5.

56. Avron Y.E., On the spectrum of p +v (x)+ax with v periodic and a complecx. // Y.Phys. A: Math. Gen. 1979. Vol. 12, N 12.

57. Birkhoff G.D. On the asymptotic character of the Solutions of certain lineardifferential equations containing a parameter. //Trans. Amer. Math. Soc. 1908. 9. P.219−231.

58. Carleman T. Uber die Verteilung der Eigenwerte partieller Differentialgleichungen. //Ber. der Sachs. Akad. d. Wiss. Leipzig, 1936. 86. -S.l 19−132.

59. Kronig R. and Penney W.G. Quantum mechanics of elektrons in krustal lattices //Proc Royal, Soc. Scr. A, 1930, V 130, p.449−513.

60. Neumann J. Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren.Math. Ann. 1929. V 102, N1 S.49−131.

61. Sears D., Nate of the unigueness of the Green functions associated with certaindifferential eguations. //Canadian J. Math. 1950. 2. P.314−325.

62. Weyl H. Das asymptotische Verteilungsgesetz der Eigenwerte Linearer partieller Differential-gleichungen. //Math. Ann. 1912. 71. S.441−479.

63. Weyl H. Uber gewonliche Differentialgleichungen mit singularen stel len und ihre eigenfunch Kioner.// Nachr. Acad. Wiss. Gottingen Math. Phys. K.l.1909. S. 37−64.

64. Weyl H. Uber gewonliche Differentialgleichungen mit singularen stel len undzugechorigln Entwick Lunglnwill Kurlichen Fienktionen // Math. Ann. 1910.-8d. 6b.-S. 220−269.