Задача о растяжении случайно неоднородного упругого цилиндра

Задача об определении напряженно-деформированного состояния упругого цилиндра является одной из распространенных и важных пространственных задач теории упругости. Разработка математических методов решения задач механики твердого деформируемого тела для областей цилиндрической формы привлекала и привлекает к себе множество исследователей. Из наиболее ранних работ, посвященных задачам об упругом однородном цилиндре, следует отметить работы Вангерина [б9], Иериша[б4], Кри[62], Л. Похгаммера [.67] t В. А. Стеклова [44, 45], I. Файлона 1бЗ]. В 30-х годах задачами об упругом равновесии цилиндра занимается Б. Г. Галеркин [, 13]. Большой вклад в разработку методов решения задач о цилиндре сделал в конце 40-х начале 50-х годов В. К. Прокопов Цз5, зб]. В работе [35] им дано решение задачи о цилиндре, удовлетворяющее краевым условиям на боковой поверхности, и показано, что использование однородных решений позволяет полностью удовлетворить условиям на торцах для нормальных напряжений — условия же для касательных напряжений Tpi, однако, остаются невыполненными.

В книге А. И. Лурье [28] отмечается, что «краевые задачи, которые здесь возникают, весьма сложны, и если не говорить о некоторых тривиальных случаях, то не известно ни одного решения, которое полностью и строго удовлетворяло бы всем краевым условиям и на боковой поверхности и на торцах цилиндра» .

Эти слова относятся к 1955 годуоднако, несмотря на прошедшие почти 30 лет, положение с получением точных решений для задач о цилиндре существенно не изменилось. Попрежнему такие решения для цилиндра, как и вообще «полезные частные решения пространственных задач, можно свободно пересчитать по пальцам». СИ. С. Сокольников [43]).

Во все годы выходит большое число работ, посвященных задачам для цилиндрических областей, но в кратком введении невозможно сделать сколько-нибудь обстоятельный разбор всех этих работ. Отметим еще книги А. А. Ильюшина, П. М. Огибалова [17], М. А. Кол-тунова, Ю. Н. Васильева, В. А. Черных [l8], обзор работ по однородным решениям задач теории упругости и их приложениям В. К. Про-копова [37], статью Р. Литла и С. Чилдса [бб], а из работ последних лет — статьи С. М. Хзардаяна [51, 52].

Все упомянутые выше работы посвящены задачам в классической постановке, когда материал деформируемого тела представляется в виде однородной сплошной среды. В последние два-три десятилетия решение задач механики твердого деформируемого тела все больше связывается с использованием усложненных моделей сплошных сред, основанных на более полном учете различных факторов, определяющих процессы деформирования реальных тел. Показано [l6, зэ], что параметров, определяющих в классических теориях состояние квазиоднородной среды, уже недостаточно.

Например, дяя характеристики напряженного состояния такой среды недостаточно одного тензора напряженийнапряженное состояние характеризуется тензором напряжений и некоторой совокупностью дополнительных параметров. При статистическом подходе к исследованию напряженно-деформированного состояния структурированных сред такие параметры появляются наиболее естественно [2б].

Вообще, появление и развитие статистических методов в механике твердого деформируемого тела объясняется требованиями более полного учета свойств реальных тел, наличием всегда некоторой неопределенности в знании условий нагружения и упругих характеристик конкретного тела, для которого решается задача, и необходимостью более точных расчетов, чем те, что обеспечиваются детерминированными методами. Обычно применяемые детерминированные методы расчета являются первым и в ряде случаев недостаточным приближением. Неточности такого расчета на прочность покрываются, например, назначением коэффициентов запаса прочности, которые во многих случаях выбираются без достаточных основании и не являются оптимальными. Это приводит либо к неиспользованным резервам прочности в реализуемых конструкциях, либо к преждевременному их разрушению. Есть ряд факторов, которые вообще не могут быть учтены и никак не объясняются в рамках детерминированных методов. (Проявление масштабного эффекта. В. А. Ломакин [24]. Влияние на прочность качества обработки поверхности деформируемого тела. В. А. Пальмов Ы).

Роль статистических методов в механике твердого деформируемого тела, несомненно, большая и, конечно, в будущем будет еще увеличиваться. Это связано с более быстрой сменой конструкций, с появлением новых машин и конструкций с небольшим опытом эксплуатации, с использованием новых материалов, высоких скоростных режимов, давлений, температур и т. д. В связи с этим возрастает значение научного прогноза и, как следствие этого, роль статистических методов исследования.

Первые работы, связанные с применением статистических методов в механике твердого деформируемого тела, относятся к двад-цатым-тридцатым годам. В работе Майера [.бб] впервые ставится вопрос о статистическом подходе к назначению коэффициента запаса прочности. Далее этот подход развивается в СССР Н. С. Стрелецким [4б]. В последующие годы диапазон применения статистических методов для обоснования нормативных расчетов в строительстве, машиностроении и авиации постоянно расширяется. Существенный вклад в разработку этих методов внесен Н. С. Стрелепким [46], А. Р. Ржаницыным [38], В. В. Болотиным [4], С. Д. Волковым [ю].

Первоначально в работах этого направления используются простейшие вероятностные метода, основанные лишь на свойствах распределения случайных величин. Дальнейшее развитие и применение статистических методов в механике твердого деформируемого тела связано с использованием теории стационарных случайных процессов при расчете колебаний упругих систем под действием случайных сил (В. В. Болотин [7], В. В. Екимов [15], В. Ф. Гладкий [и]). Широкому кругу проблем, связанных с применением статистических методов в механике деформируемых твердых тел и надежности конструкций посвящены работы В. В. Болотина [I — 5].

Большое число исследований в механике и физике твердого тела связано с изучением микронеоднородных сред Споликристаллов и различных композитов), с определением их эффективных упругих модулей и других характеристик. К наиболее ранним работам в этой области относятся работы И. М. Лифшица и Л. Н. Розенцвейга [20]. В дальнейшем (в 60 — 70 годы) выходит большое число публикаций, посвященных решению задач этого направления (В. В. Болотин и.

B. Н. Москаленко [8, 9], В. А. Ломакин [21, 22], В. В. Новожилов [31], А. Г. Фокин и Т. Д. Шермергор [49, 50], Т. Д. Шермергор [56], Л. П. Хорошун [53, 54], Ю. В. Соколкин [40]. Особо следует отметить монографии В. А. Ломакина [26], Т. Д. Шермергора [57],.

C. Д. Волкова и В. П. Ставрова [il].

Задачи, решаемые механикой твердых деформируемых тел, обычно приводят к краевым задачам для уравнений в частных производных, и поэтому полный учет разнообразных факторов случайной природы, влияющих на процессы деформирования, требует применения аппарата теории случайных полей (случайных функций нескольких переменных). Начиная с 60-х годов, стали появляться работы, в которых различные статистические задачи механики твердых деформируемых тел рассматриваются в достаточно общей постановке на основе теории векторных и тензорных случайных полей.

Среди этих работ видное место занимают работы В. А. Ломакина (его статьи, докторская диссертация, книга «Статистические задачи механики твердых деформируемых тел).

В ряде работ В. А. Ломакиным рассматривались задачи для деформируемых сред со случайными неоднородностями, в частности, для представляющих большой теоретический и практический интерес так называемых квазиоднородных сред, обладающих микронеоднородной структурой (поликристаллы, стеклопластики ит-п.). Им развит в применении к эллиптическим системам дифференциальных уравнений теории упругости метод быстро осциллирующих функций, предложенный М. И. Вишиком и Л" А. Люстерником [12].

В. А. Ломакиным решены задачи о растяжении полуплоскости и полосы, упругие характеристики которых являются случайными функциями координат. Аналогичные задачи для полупространства и слоя были рассмотрены его учеником Г. В. Тихеньким [47]. Для обоих случаев были исследованы статистические характеристики (дисперсии) компонент тензора напряжений.

Автору было предложено его научным руководителем (В. А. Ломакиным) рассмотреть новую пространственную задачу — задачу о деформировании случайно-неоднородного цилиндра и сравнить статисти-стические характеристики с аналогичными для решения задач о полуплоскости и полупространстве.

Задачи о неоднородном цилиндре рассматривались С. Г. Лехниц-ким [19] (при Е = E®, V = censt), Schile R.b., Sitrakow-g>f.

В диссертации рассматривается решение задачи о растяжении случайно-неоднородного сплошного цилиндра вдоль оси цилиндра силами, приложенными на бесконечности. Кроме того, в работе рассматривается описание разброса функций, характеризующих напряженно-деформированное состояние, относительно средних по области, занимаемой телом, значений. Необходимость изучения и описания разброса, связанного со структурной неоднородностью материала, вызвана тем, что этот разброс проявляется и в дисперсии механических характеристик, определяемых на идентичных образцах в макроскопическом эксперименте, и в локальных превышениях напряжениями среднего по материалу уровня. Второе особенно важно при учете возможности концентрации напряжения, создающей очаги пластической деформации и разрушения в конструкциях.

Материал диссертации распределяется по главам следующим, образом. В первой главе рассматриваются постановки задач по определению статистических характеристик напряженного и деформированного состояний упругого тела в зависимости от статистических характеристик, нагрузки, границы или модулей упругости материала. Здесь же обсуждаются особенности статистических методов решения задач механики твердого деформированного тела, их отличия от детерминированных. В заключение приводится постановка пространственной задачи теории упругости для случайно неоднородного тела.

В главе второй приводится общая постановка пространственной задачи для квазиоднородного тела с быстро осциллирующими упругими свойствами. Решается задача о полупространстве методом быстро осциллирующих функций. Далее этим методом получается решение задачи о растяжении неоднородного цилиндра.

В третьей главе в предположении, что коэффициенты Ламе являются случайными функциями координат Г и 1, для полученного во второй главе решения задачи о цилиндре строятся зависимости дисперсии компонент тензоров деформаций и напряжений от безразмерной координаты, характеризующей расстояние от боковой поверхности цилиндра. Найденные зависимости сравниваются с зависимостями, полученными для решения задач о полуплоскости СВ. А. Ломакин [2бТ), полупространстве (Г. В. Тихенький [4?]).

Основные результаты, полученные в работе, докладывались и обсуждались:

— на научно-исследовательском семинаре кафедры теории упругости под руководством члена-корреспондента АН COOP А. А. Ильюшина U98Ir.);

— на семинаре по механике композиционных материалов под руководством профессора Б. Е. Победри (Д984 г.);

— на аспирантском семинаре кафедры теории упругости под руководством члена-корреспондента АН СССР А. А. Ильюшина, профессора B.C. Ленского и др. CI984 г.);

— на конференции молодых ученых МГУ" (1967 г.) — и опубликованы в работах [58, 59].