Моделирование медленных течений вязкой жидкости со свободной поверхностью

В настоящей работе рассматриваются задачи о медленном течении вязкой жидкости со свободной поверхностью в присутствии твердых стенок. К данному классу задач относятся гидродинамические процессы, происходящие при изготовлении изделий с использованием различных технологий. Наиболее эффективным с точки зрения информативности и экономичности, для исследования гидродинамических аспектов данных течений является применение методов математического моделирования, основанных на численном решении соответствующих задач. Данный подход используется в настоящей работе для изучения процессов растекания вязкой жидкости по твердой стенке, вопросов смачивания, устойчивости струй, падающих на твердую стенку, движения вязкой жидкости в массопроводе с конической вставкой («диафрагмой») и заполнения пресс-форм с центральным телом. Данные задачи встречаются при изучении широкого круга явлений природы и технологических приложений, что обуславливает актуальность их исследования и практическую значимость получаемых при этом результатов.

Цель работы состоит в постановке вышеуказанных задач, создании эффективных вычислительных алгоритмов их решения и исследовании соответствующих течений вязкой жидкости со свободной поверхностью.

Процессам растекания и смачивания посвящено значительное число работ [1−79]. Данные процессы распространены в различных технологиях, к которым можно отнести: пайку, покрытие и покраску поверхностей методом напыления, струйную печать, склеивание и смазку материалов, нанесение пленочных покрытий, например покрытие металлических листов и стержней с помощью погружения в объем с жидкостью или извлечения из этого объема. К технологиям, основанным на механизмах растекания также можно отнести послойное покрытие поверхностей методом центрифугирования. Приведенные примеры касаются растекания жидкости по твердым поверхностям, если же поверхность представляет собой пористую среду, то область применения механизмов растекания и смачивания значительно расширяется [1]. Достижение пространственной однородности во всех перечисленных случаях является одной из основных задач, решение которой невозможно без понимания процессов растекания и сведениях об основных закономерностях этого процесса. Задачи о растекании рассматриваются в значительно отличающихся друг от друга постановках, к примеру, удар капель о твердую поверхность с разбрызгиванием и захватом пузырьков и медленное растекание, при котором инерционные эффекты можно не учитывать. Последний случай является предметом настоящей работы. Большинство исследований как экспериментальных, так и теоретических проведены в предположении, что основное влияние на процесс оказывают силы поверхностного натяжения. Это имеет место только в случае малых характерных размеров задачи, когда действие силы тяжести незначительно. Учет влияния силы тяжести, в случае, когда действие последней значительно, вносит дополнительную сложность в теоретическое описание процессов растекания капель или заполнения капилляра, так как предположение о сферичности формы свободной поверхности, использующееся в ряде работ, становится неверным. При экспериментальном изучении закономерностей растекания и смачивания обычно рассматриваются следующие явления: растекание капель по твердой поверхности, заполнение капилляра, погружение твердого тела в жидкость или изменение формы свободной поверхности жидкого объема, сжатого двумя пластинами. Теоретические исследования используют математические постановки задач, соответствующие указанным вариантам динамического взаимодействия поверхности жидкости с твердой стенкой. Следует также отметить, что немаловажное значение имеет исследование процессов растекания объемов жидкости при наличии источника [2, 3]. Данные процессы лежат в основе одной из многочисленных концепций охлаждения высокотемпературных металлических обшивок аварийных атомных реакторов, использующихся в атомной промышленности [3]. В связи с чем существует большое количество экспериментальных работ, посвященных растеканию расплавов металлов в неизотермическом режиме. Основное внимание уделяется изучению динамики процессов растекания и смачивания, поскольку, в отличие от случая равновесия [80−102], именно в этом направлении больше всего нерешенных проблем. К таким проблемам в первую очередь относится проблема динамического краевого угла (ДКУ) — это, прежде всего, его экспериментальное измерение и зависимость от основных характеристик процесса, проблема движения линии трехфазного контакта (ЛТФК) — наличие прекурсионной пленки и кинетика движения. Имеет место проблема математического описания процесса смачивания, заключающаяся в математической особенности, характерной для стандартной гидродинамической модели, предполагающей скачкообразный переход от граничных условий прилипания на твердой стенке к динамическим граничным условиям на свободной поверхности. Как показывает анализ литературных данных технологии определения равновесных краевых углов нуждаются в совершенствовании. Решению указанных проблем с освещением современного состояния исследований, посвящена первая глава диссертационной работы.

Во второй главе рассматриваются взаимодействие струи вязкой жидкости с твердой стенкой и возникающие при этом вопросы устойчивости. Проблеме устойчивости в механике уделяется особое внимание. Так, например, в механике конструкций ни один инженерный расчет не обходится без определения критических нагрузок, при которых возможна потеря устойчивости стержневых и. тонкостенных элементов. Наиболее распространенным критерием, определяющим критические нагрузки для покоящейся упругой системы, является статический критерий Эйлера [103]. Подход, который используется для получения этого критерия, заключается в анализе поведения системы при наложении малых возмущений. Если система находится в устойчивом состоянии, то наложение малых возмущений не повлияет на ее состояние. Неустойчивое же состояние будет характеризоваться развитием возмущений и удалением системы от исходного состояния. Данный принцип широко используется при анализе устойчивости механических систем. В механике жидкости и газа задача определения критериев устойчивости систем, а также классификация их поведения в смысле потери устойчивости представляется весьма сложной. Впервые вывод условий механической устойчивости неподвижной жидкости в поле силы тяжести, называемых условиями отсутствия конвекции, был представлен Рэлеем (1916г.) [104]. В случае стационарного движения жидкости, если неизбежно возникающие в потоке сколь угодно малые возмущения возрастают со временем, то движение считается неустойчивым. Одной из первых работ посвященных анализу устойчивости такого движения является решение Тейлором (1924г.) задачи о течении вязкой жидкости между вращающимися цилиндрами [104, 105]. Было показано, что потеря устойчивости стационарного вращения жидкости приводит к появлению другого, тоже стационарного течения, которое представляет собой торроидальные вихри (их называют тейлоровскими), регулярно расположенные вдоль длины цилиндров. В таких случаях принято говорить о смене устойчивости. Совершенно особым характером потери устойчивости обладает стационарное течение жидкости в трубе, где имеет место снос возмущений вниз по течению. Переход к турбулентному течению, устойчивость пограничного слоя и многие другие явления представляют собой фундаментальные проблемы механики жидкости и газа. Степень сложности задачи об определении устойчивости возрастает с переходом к эволюционным задачам гидродинамики, т. е. к задачам с заранее неизвестной границей. Так, во второй главе исследуется устойчивость струй высоковязких жидкостей, вертикально падающих на твердую горизонтальную поверхность в присутствии силы тяжести. Потеря устойчивости таких струй при контакте с твердой стенкой является распространенным гидродинамическим явлением [106−133], наблюдаемым как в быту, так и в технологических процессах [106−109]. В тех и других случаях наличие указанной особенности течения может привести к дефектам получаемых изделий. При высоте струи больше критической (под высотой понимается расстояние между отверстием канала, откуда вытекает жидкость и твердой стенкой) в окрестности твердой стенки происходит потеря устойчивости, и осесимметричное течение приобретает трехмерную структуру. В трехмерном случае наблюдается закручивание струи вблизи стенки, в плоском, когда под струей фактически понимается слой жидкости, — периодическое изгибание и образование складок. Рассматриваемое явление может наблюдаться также в том случае, когда вместо твердой поверхности выступает такая же жидкость. На основе томографических исследований движения лавы на глубине 660 км, ученые геофизики пришли к заключению, что подобные процессы происходят в местах столкновения тектонических плит в океане [110].

В третьей главе исследовано течение в массопроводе с конструктивным элементом «диафрагма» и изучены гидродинамические причины возникновения дефектов по монолитности .при заполнении пресс-форм с центральным телом. Указанные течения сопровождают процесс формования различных изделий, в том числе зарядов ракетных двигателей на твердом топливе методом свободного литья [134, 135]. Исследование заполнения пресс-форм экспериментальными методами позволяет определить возможные формы свободной границы [136, 137]. Однако, проведение таких экспериментов является дорогостоящим мероприятием и не может дать полной количественной информации о течении в окрестности центрального тела. Гораздо более информативным оказывается применение методов математического моделирования [135, 138—149]. Исследование процесса заполнения пресс-форм свободно-литьевыми составами проведено в режиме постоянного расхода.

При исследовании свойств изделий обнаруживается разброс физико-механических характеристик в занимаемом объеме. Анизотропия свойств готового изделия определяется, в числе прочего, характером течения жидкости в процессе заполнения пресс-формы. Для прогнозирования механических, прочностных и рабочих характеристик конкретного готового изделия необходимо знать топограмму распределения порций композиции по его объему. Решение данной задачи также рассмотрено в третьей главе.

Научная новизна работы.

• На основе непрямого варианта метода граничных элементов разработана вычислительная методика расчета медленных течений вязкой жидкости с меняющейся во времени свободной поверхностью в присутствии твердых границ, позволяющая учитывать влияние поверхностного натяжения и эффектов смачивания.

• С использованием данной вычислительной методики проведено численное моделирование растекания объемов вязкой жидкости по горизонтальной твердой поверхности и получены основные характеристики процесса растекания в широком диапазоне изменения числа Бонда и равновесного краевого угла. Сравнение с аналитическим решением в приближении теории смазки, а также сопоставление получаемых равновесных форм с формами, построенными на основе решения уравнений равновесия подтвердило эффективность предложенной методики.

• Предложен способ определения коэффициента поверхностного натяжения и угла смачивания, основанный на численном расчете равновесной формы капли, предполагающий использование всего двух наиболее просто определяемых по изображению капли параметров — высоты ее вершины и радиуса пятна контакта с подложкой.

• В результате исследования процесса потери устойчивости струи высоковязкой жидкости, натекающей на твердую горизонтальную поверхность, получена зависимость от соотношения вязких и гравитационных сил критической высоты сливного отверстия над твердой стенкой, при превышении которой происходит потеря устойчивости струи, выражающаяся в ее периодическом изгибании. Описан режим течения, характеризующийся затухающими колебаниями.

• Описаны особенности течения вязкой жидкости в вертикальном массопроводе, содержащем конструктивный элемент типа «диафрагма» и течения, реализующегося при заполнения пресс-форм при наличии центрального формующего стержня. Выявлены режимы, при которых возможно появление дефектов по монолитности в получаемых изделиях, на указанных стадиях реализации метода свободного литья.

Практическая ценность.

Полученные результаты и созданные программы расчета могут использоваться при численном моделировании течений вязкой жидкости со свободной поверхностью, контактирующей с твердыми стенками, для прогнозирования протекания процесса формования в технологии изготовления изделий методом свободного литья, а также для расчета коэффициента поверхностного натяжения жидкостей и определения угла смачивания.

Работа выполнялась в рамках грантов РФФИ (проекты № 06−08−107а, 08−08−64а), ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009;2013 гг. (ГК № П474 от «4» августа 2009 г., № П848 от «18» августа 2009 г., № 14.740.11.0533 от «01» октября 2010 г.), договоров с ФГУП «ФЦДТ «Союз» (х/д № 175 от 04.02.2008 г., х/д № 1037 от 04.02.2010).

Достоверность полученных результатов следует из корректности математических постановок задачи, из внутренних проверок используемого метода (проверка аппроксимационной сходимости и выполнение законов сохранения), а также из согласования с экспериментальными данными, численными исследованиями других авторов и известными аналитическими решениями.

Основные положения выносимые на защиту:

• Вычислительный алгоритм расчета медленных течений вязкой жидкости со свободной поверхностью, базирующийся на непрямом методе граничных элементов, включающий учет действия сил поверхностного натяжения, эффектов смачивания и значительных деформаций свободной поверхности.

• Результаты численного исследования процесса растекания объема вязкой жидкости под действием силы тяжести и сил поверхностного натяжения, в том числе с учетом смачиваемости подложки.

• Способ определения коэффициента поверхностного натяжения и угла смачивания по изображению капли с использованием всего двух наиболее просто измеряемых геометрических параметров границы капли — высоты ее вершины и радиуса пятна контакта.

• Результаты численного моделирования процесса потери устойчивости струи вязкой жидкости, натекающей на твердую горизонтальную стенку.

• Результаты численного исследования течения вязкой жидкости в массопроводе с конструктивным элементом типа «диафрагма» и заполнения пресс-форм с центральным телом, реализующихся в технологии изготовления изделий методом свободного литья.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на 12-ой Международной конференции «Математические модели физических процессов» (Таганрог, 2007), IV Всероссийской конференции молодых ученых «Физика и химия высокоэнергетических систем» (Томск, 2008), 3-й Всероссийской конференции с участием зарубежных ученых «Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения» (Бийск, 2008), VI Всероссийской научной конференции, посвященной 130-летию Томского государственного университета и 40-летию НИИ прикладной математики и механики Томского государственного университета «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» (Томск, 2008), XII Всероссийской конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука и образование» (Томск, 2008), V Всероссийской конференции молодых ученых «Физика и химия высокоэнергетических систем» (Томск, 2009), IV Всероссийской конференции молодых ученых «Материаловедение, технологии и экология в 3-м тысячелетии» (Томск, 2009), VII Международной конференции студентов и молодых учёных «Перспективы развития фундаментальных наук» (Томск, 2010), научной конференции «Байкальские чтения: наноструктурированные системы и актуальные проблемы механики сплошной среды (теория и эксперимент)» (Улан-Удэ, 2010), Всероссийской конференции «Нелинейные волны: теория и новые приложения» (Новосибирск, 2011), VII Всероссийской конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики», посвященной 50-летию полета Ю. А. Гагарина и 90-летию со дня рождения основателя и первого директора НИИ ПММ ТГУ А. Д. Колмакова (Томск, 2011).

Публикации. Основные результаты представлены в трудах вышеизложенных конференций, а также в журналах Известия РАН. Механика жидкости и газа [150] и Fluid Dynamics [151], Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования [152] и Journal of Surface Investigation [153], Известия ВУЗов. Физика [154−157], Вестник ТГУ. Математика и механика [158, 159]- получено 2 свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ [160, 161]- подана заявка на получение патента на изобретение. Всего по материалам диссертации опубликована 21 работа.

Краткое содержание работы.

Во введении раскрывается актуальность и практическая значимость математического моделирования медленных течений вязкой жидкости со свободной поверхностью в присутствии твердых стенок, в особенности процессов растекания и смачивания. Сформулированы цель и основные задачи исследований, представлены положения, выносимые на защиту.

В первой главе освещены основные проблемы и достижения в области исследования процессов растекания и смачивания. Сформулирована математическая постановка задачи растекания объема вязкой жидкости по твердой горизонтальной поверхности. Описан алгоритм получения решения, основанный на непрямом варианте метода граничных элементов. Представлены результаты численного исследования процесса растекания. Проведено сравнение полученных результатов в результатами существующих исследований и с известным аналитическим решением. Изложена методика построения равновесных форм капель в плоском и осесимметричном случае. Описан способ определения коэффициента поверхностного натяжения и угла смачивания по изображению капли с использованием всего двух наиболее просто измеряемых геометрических параметров границы капли — высоты ее вершины и радиуса пятна контакта.

Во второй главе представлены результаты исследования процесса потери устойчивости струи высоковязкой жидкости, натекающей на твердую горизонтальную поверхность. Проведен обзор существующих работ, посвященных изучению этого явления и приведены результаты численного моделирования.

Третья глава содержит общие сведения о сущности метода свободного литья, применяемого для изготовления изделий из высоковязких полимерных композиций и результаты численного моделирования течения вязкой жидкости в вертикальном массопроводе с установленным конструктивным элементом и процесса заполнения пресс-форм, содержащих центральный формующий стержень в режиме постоянного расхода.

В заключении подведены основные итоги проведенных исследований.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В работе получены следующие научные результаты:

1. В плоском приближении сформулированы физико-математические постановки задач о безынерционном растекании вязкой жидкости по твердой стенке с учетом и без учета действия сил поверхностного натяжения и эффектов смачивания, о взаимодействии струи высоковязкой жидкости с твердой стенкой, о течении высоковязкой жидкости в вертикальном массопроводе с конструктивным элементом типа «диафрагма», о заполнении пресс-форм высоковязкой жидкостью с учетом наличия центрального тела. Рассмотренные задачи относятся к классу задач о медленных течениях вязкой жидкости со свободной поверхностью в присутствии твердых границ.

2. Разработаны численные методики решения поставленных задач с использованием непрямого метода граничных элементов. Создан пакет прикладных программ.

3. Проведено исследование процесса растекания объема жидкости по твердой стенке, позволившее выявить адекватные способы постановки граничных условий вблизи движущейся ЛТФК и получить временные зависимости основных параметров растекающегося объема жидкости в широком диапазоне изменения числа Бонда, в том числе зависимость динамического краевого угла от времени, что представляет фундаментальный интерес для изучения процессов растекания и смачивания.

4. Предложен способ определения коэффициента поверхностного натяжения и угла смачивания, основанный на численном расчете равновесной формы капли, предполагающий использование всего двух наиболее просто определяемых по изображению капли параметров — высоты ее вершины и радиуса пятна контакта с подложкой.

5. Представлены картины эволюции свободной поверхности струи вязкой жидкости, натекающей на твердую горизонтальную поверхность, в четырех режимах в зависимости от соотношении гравитационных и вязких сил (параметр «У): 1) устойчивое симметричное растекание жидкости по стенке- 2) колебательные движения струи с последующим затуханием и переходом к устойчивому растеканию- 3) колебания струи с образованием на свободной поверхности наплывов, приводящих к появлению внутренних границ раздела- 4) изгибание струи с образованием газовых включений и внутренних границ раздела. С технологической точки зрения третий и четвертый варианты являются нежелательными. Полученная зависимость критической высоты Нс, при которой происходит переход от второго варианта течения к третьему показывает, что при XV < 0.01 величина Нс практически постоянна и равна 16.4. Показано также, что дальнейшее увеличение значения комплекса приводит к существенному снижению Нс.

6. Проведенные расчеты течения вязкой жидкости в вертикальном массопроводе показывают, что при определенном соотношении гравитационных и вязких сил и геометрических параметров диафрагмы могут реализовываться следующие варианты течений: 1) сплошной режим заполнения с формированием струи толщиной равной ширине отверстия диафрагмы- 2) струйный режим, характеризующийся заполнением промежуточной области, предшествующей диафрагме после касания последней- 3) случай, аналогичный предыдущему, но с распадом струи до момента заполнения промежуточной области- 4) струйный режим, характеризующийся потерей устойчивости струи после касания стенок диафрагмы- 5) беспрепятственное прохождение струей стенок диафрагмы без касания. Полученные условия разделения режимов заполнения массопровода и зависимости геометрических характеристик струй от времени позволяют осуществить выбор технологически приемлемого режима течения жидкости в массопроводе как с учетом наличия диафрагмы, так и в ее отсутствие.

7. Проведенное математическое моделирование течения вязкой жидкости, заполняющей пресс-форму с центральным телом выявило существование пяти различных вариантов нарушения стабильного протекания данного технологического процесса, что может являться причиной появления дефектов по монолитности в получаемых изделиях. Первый связан с потерей устойчивости струи, взаимодействующей с горизонтальной твердой поверхностью центрального тела. Второй характеризуется образованием дефектов при обтекании угловых точек центрального тела. Третий и четвертый режимы связаны с потерей устойчивости слоя, стекающего по центральному телу и растекающегося по дну пресс-формы Пятый выражается в превышении толщиной стекающего слоя ширины пресс-формы. Представленные результаты расчетов при различных значениях определяющих параметров могут быть использованы для правильной организации технологического процесса изготовления изделий методом свободного литья, в частности при формовании зарядов ракетных двигателей на твердом топливе.

Автор благодарит за содействие в проведении представленных исследований научного руководителя Якутенка В. А. и за ценные указания и критические замечания профессора Шрагера Г. Р., а также коллектив кафедры математической физики физико-технического факультета Томского государственного университета.