Lp-значные случайные меры и стохастические уравнения

За всю вторую половину XX века получила большое развитие теория мартингалов и основанного на ней стохастического интегрирования. Первое систематическое изложение основ теории мартингалов проведено ещё Дубом и Мейером в 50-е-60-е годы. Она в значительной мере базируется на т.н. общей теории случайных процессов, основными объектами которой являются фильтрации (потоки сг-алгебр), моменты остановки и связанные с ними понятия и основы которой были заложены в те же годы Дубом, Чжуном и Мейером и в дальнейшем развиты группой страсбург-ских математиков, в частности, Деллашери. Сама же теория мартингалов получила своё дальнейшее развитие в б0-е-70-е годы в работах Деллашери, Куниты, Ватанабэ и других математиков. С другой стороны, стохастический интеграл по винеровскому процессу был введён ещё в 40-е-50-е годы Винером и Ито (последним — и по пуассоновской мере), и дальнейшее развитие теория стохастического интегрирования по мартингалам и мартингальным случайным мерам получила в 70-е годы в работах упомянутых выше математиков, а также Жакода, Ширяева и других. В качестве одной из наиболее общих ведущих систем для стохастического интегрирования, к которой может быть сведено подавляющее большинство рассмотренных ранее частных случаев стохастических интегралов, Бихтелер и Жакод [7] ввели понятие сг-конечной 2/р-значной случайной меры. В этой статье не только приведены основополагающие результаты для теории таких мер, но также продемонстрирована возможность сведения к этому понятию большинства известных случаев стохастического интегрирования, как конечномерных, так и бесконечномерных.

На этой основе развивалась и теория стохастических дифференциальных уравнений как уравнений с приращениями стохастических интегралов на бесконечно малых промежутках времени. Такие уравнения со стохастическими интегралами по винеровскому процессу и пуассоновской мере изучались ещё Ито в 50-е годы. В дальнейшем теория стохастических дифференциальных уравнений развивалась в разных направлениях. Во-первых, стали рассматриваться решения таких уравнений не только сильные, допускающие построение на исходном стохастическом базисе, но и, начиная со Скорохода [79], слабые, требующие использования с сохранением соответствующего вероятностного смысла другого стохастического базиса, что в достаточно широком классе случаев сводится к расширению исходного стохастического базиса. Во-вторых, можно рассматривать уравнения, коэффициенты которых зависят в каждый момент времени не только от левого предела (или просто значения в непрерывном случае) траектории решающего процесса, но и от прошлых значений этой траектории, начиная с Ито и Нисио [89] и других работ 60-х годов. В-третьих, широко рассматривались уравнения, включающие всё более общие стохастические интегралы, как, например, в работах Жако да и Мемэна [21−22] и автора [35−37], [45] и [50].

В свете вышеизложенного представляется актуальным дальнейшее развитие заложенной Бихтелером и Жакодом теории Ьр-значных случайных мер с результатами, дающими важные выводы в применении к частным случаям таких мер, что представляет собой новое для отечественной науки направление научных исследований. В этом развитии, в свою очередь, представляются приоритетными те его аспекты, на основе которых строится теория стохастических дифференциальных уравнений с такими мерами.

Основными целями диссертации являются: 1) определение понятия продолжения Ьр-значной случайной меры на более широкий стохастический базис и изучение его основных свойств, что важно для построения слабых решений стохастических дифференциальных уравнений с такими мерами- 2) получение для стохастических дифференциальных уравнений общих достаточных условий существования слабого решения, отсутствия взрыва слабого решения уравнения, для которого условия существования выполнены в каждой ограниченной по фазовой траектории области, и потраекторной единственности слабого решения, из которой, в свою очередь, вытекает существование сильного решения.

В диссертации используются главным образом классические методы теории мартингалов, а при построении слабых решений стохастических дифференциальных уравнений — также методы теории слабой сходимости вероятностных мер на метрических пространствах и, в частности, на пространстве Скорохода сас!^ непрерывных справа и имеющих пределы слева) функций.

Все основные результаты диссертации являются новыми и опубликованы в работах автора. В частности, впервые предложен систематический подход к изучению стохастических дифференциальных уравнений с? р-значными случайными мерами.

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту, состоят в следующем.

1. На стохастическом базисе (П,^7, Р) для Ь2-значной случайной меры в смысле Бихтелера и Жакода на (О х К.+ с!+= [0, оо[, предсказуемой ст-алгеброй V на О х и измеримым пространством (Е, Е) в случае сепарабельной сг-алгебры? доказано существование ортогонального мартингального разложения, в этом же случае для £°-значной меры — существование минимальной доминирующей конечной неотрицательной меры, а также продемонстрирована возможность предлокального сведения Ь°-значной случайной меры к £2-значной. Всё это находит широкое применение в доказательстве последующих результатов. '.

2. Для целочисленной случайной меры её дуальной предсказуемой проекции и и их разности /л — г/ охарактеризовано пространство Ь° и на этой основе расширены классические определения стохастических интегралов по этим мерам, что придаёт теории стохастического интегрирования по этим мерам законченный вид аналогично интегрированию по конечномерным семимартин-галам.

3. Дано определение продолжения? р-значной случайной меры на более широкий стохастический базис, доказаны единственность такого продолжения, его существование в случае хорошего относительно данной меры расширения стохастического базиса, что является одной из основных целей диссертации, а в общем случае охарактеризованы свойства продолжений £°-значных случайных мер, порождаемых мерами V и ¡-л — и.

4. Для процесса стохастического интеграла по ХАзначной случайной мере с подынтегральной функцией, измеримым образом зависящей от параметра, доказывается его измеримость по параметру и устанавливается аналог теоремы Фубини для интегрирования стохастического интеграла по этому параметру, что находит применение, например, при изучении стохастических уравнений типа Вольтерра с такими мерами.

5. Для последовательности случайных процессов с сас!^ траекториями, заданных на едином вероятностном пространстве, определено свойство плотного мажорирования скачков, выполнение которого позволяет ослабить условия существования слабого решения стохастического дифференциального уравнения, и установлены для него необходимые и достаточные условия.

6. Для стохастического дифференциального уравнения с Ьр-значной случайной мерой получены достаточные условия существования его слабого решения и для последнего — условия отсутствия взрыва и потраекторной единственности. Всё это также является одной из основных целей диссертации.

Работа имеет теоретический характер. Её результаты могут быть применены как для получения более частных результатов с 1Лзначными случайными мерами конкретного вида, так и для построения универсальных моделей целого ряда приложений теории мартингалов и стохастических дифференциальных уравнений (финансовой математики, динамических систем со случайными возмущениями и т. п.).

Диссертация состоит из введения и четырёх глав, разделённых на параграфы. Нумерация параграфов двойная, первая цифра указывает главу. Нумерация утверждений (теорем, определений и т. п.) сплошная и тройная, первые две цифры указывают параграф, а формул — четверная, первые три цифры указывают утверждение, к которому относится формула. Номера формул, относящихся к введению, состоят из цифры 0 и порядкового номера. Общий объём диссертации — 288 страниц.

Список литературы

включает 89 наименований.

1. А л ь д у с (Aldous D.). Stopping times and tightness. — Ann. Prob., 1978, v. 6, № 2, p. 335−340.

2. Банах, Мазур (Banach S., Mazur S.). Zur Theorie der linearen Dimension. — Studia Math., 1933, v. 4, p. 100−112.

3. Б a p л о у (Barlow M. Т.). One-dimensional stochastic differential equations with no strong solution. — J. London Math. Soc., 1982, ser.2, v. 26, № 2, p. 335−347.

4. Б, а ф и к о (Bafico R.). Una estensione del teorema di Skorokhod. — Boll. Un. Mat. Ital., 1979, ser.2, v.26, № 2, p. 134−153.

5. БиллингслиП. Сходимость вероятностных мер. — М.: Наука, 1977, 352 с.

6. Бихтелер (Bichteler К.). Stochastic integration and Lp-theory of semimartingales. — Ann. Probab., 1981, v. 9, № 1, p. 46−89.

7. Бихтелер, Жакод (Bichteler К., Jacod J.). Random measures and stochastic integration. — Lect. Notes Control Inform. Sci., 1983, v.49, p. 1−18.

8. Блэквелл, Дубине (Blackwell D., Dubins L.E.). An extension of Skorokhod’s almost sure representation theorem. — Proc. Amer. Math. Soc., 1983, v. 89, № 4, p. 691−692.

9. ВарадарайнС. Меры на топологических пространствах. — Матем. сб., 1961, т. 55, № 1, с. 35−100.

10. ГальчукЛ.И. О формуле замены переменных. — Матем. заметки, 1978, т. 26, № 4, с. 633−641.

11. ГальчукЛ.И. Семимартингалы от процессов с независимыми приращениями и расширения фильтрации. — Теория вероятн. и её примен., 1993, т. 38, в. 3, с. 491−502.

12. ГирсановИ.В. Пример неединственности решения стохастического уравнения К, Ито. — Теория вероятн. и её примен., 1962, т. 7, в. 3, с. 336−341.

13. ГихманИ. И., Скороход А. В. Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения. — Киев: Наукова думка, 1982, 612 с.

14. ГригелионисБ. И., Лебедев В. А. Новые критерии относительной компактности последовательностей вероятностных мер. — Успехи матем. наук, 1982, т. 37, в. 6, с. 29−37.

15. ДеллашериК. Ёмкости и случайные процессы. — М.: Мир, 1975, 192 с.

16. Деллашери, Мейер (Dellacherie С., Meyer P. A.). Probabilities and potential, vv. A-B. — Amsterdam: North-Holland, 1978;82, 200+464 p.

17. Деллашери, Стрикер (Dellacherie С., Strieker С.). Changements de temps et integrales stochastiques. — Lect. Notes Math., 1977, v. 581, p. 365−375.

18. Дзандзотто (Zanzotto P.A.). Soluzioni deboli per equazioni stocastiche del tipo di Skorokhod. — Boll. Un. Mat. Ital., 1985, ser. 6, v.4-B, № 1, p. 75−111.

19. Жакод (Jacod J.). Calcul stochastique et problemes de martingales. — Lect. Notes Math., 1979, v.714, 540 p.

20. Жакод (Jacod J.). Integrales stochastiques par rapport a une semi-martingale vectorielle et changements de filtration. — Lect. Notes Math., 1980, v. 784, p. 171−191.

21. Жакод, Мемэн (Jacod J., Memin J.). Existence of weak solutions for stochastic differential equations with driving semimartingales. — Stochastics, 1980, v. 4, № 1, p. 23−38.

22. Жакод, Мемэн (Jacod J., Memin J.). Weak and strong solutions of stochastic differential equations: existence and stability. — Lect. Notes Math., 1981, v. 851, p. 169−212.

23. Жакод, Мемэн, Метивье (Jacod J., Memin J., Metivier M.). On tightness and stopping times. — Stoch. Processes and Appl., 1983, v.4, № 2, p. 100−146.

24. Жакод Ж., Ш и p я e в A. H. Предельные теоремы для случайных процессов, тт. 1−2. — М.: Физматлит, 1994, 544+368 с.

25. И о p (Yor M.). Quelques interactions entre mesures vectorielles et integrales stochastiques. — Lect. Notes Math., 1979, v. 713, p.264−285.

26. Каллианпур, Стрибел (Kallianpur G., Striebel C.). Stochastic differential equations occurring in the situation of continuous parameter stochastic processes. — Теория вероятн. и её примен., 1969, т. 14, в. 4, с. 597−622.

27. К о м, а ц у (Komatsu Т.). Markov processes associated with certain integro-differential operators. — Osaka J. Math., 1973, v. 10, № 2,p. 289−319.

28. К о н в e й (Conway Е. D.). Differential equations with discontinuous drift. — Trans. Amer. Math. Soc., 1971, v. 157, № 1, p. 235−245.

29. КуратовскийК. Топология, тт. 1−2. M.: Мир, 1966;69, 596+624 с.

30. Лебедев В. А. Условие слабой компактности для семи-мартингалов. — ДАН СССР, 1980, т. 254, № 1, с. 36−39.

31. Лебедев В. А. Об относительной компактности семейств распределений семимартингалов. — Теория вероятн. и её при-мен., 1981, т. 26, в. 1, с. 143−151.

32. Л е б е д е в В. А. О потраекторной единственности решения стохастического уравнения. — Третья международная Вильнюсская конференция по теории вероятностей и математической статистике (тезисы докладов), т. II. Вильнюс, 1981, с. 7−8.

33. Л е б е д е в В. А. О слабой компактности семейств распределений семимартингалов общего вида. — Теория вероятн. и её примен., 1982, т. 27, в. 1, с. 15−23.

34. Лебедев (Lebedev V. A.). On the non-explosion for a solution of a stochastic equation. — IV USSR-Japan symposium on probability theory and mathematical statistics (abstracts of communications), v. II. Tbilisi: Metsniereba, 1982, p. 62−63.

35. Лебедев (Lebedev V. A.). On the existence of weak solutions for stochastic differential equations with driving martingales and random measures. — Stochastics, 1983, v. 9, W1−2, p. 37−76.

36. Лебедев (Lebedev V. A.). On non-explosion for the solution of a stochastic differential equation. — Stochastics, 1984, v. 11, № 3−4, p.301−314.

37. Лебедев B.A. О единственности решения стохастического дифференциального уравнения с ведущими мартингалом и случайной мерой. — Теория вероятн. и её примен., 1985, т. 30, в. 1, с. 152−156.

38. Лебедев (Lebedev V. A.). On infinite-dimensional stochastic integrals. — Statistics and Control of Stochastic Processes, Trans. Ser. Math. Eng., Steklov Seminar 1984. New York: Optimization Software, 1985, p. 277−304.

39. Лебедев B.A. Условия плотного мажорирования скачков для последовательностей случайных процессов. — В сб.: Теория вероятностей, теория случайных процессов и функциональный анализ. М.: изд-во МГУ, 1985, с. 32−35.

40. Лебедев В. А. О последовательностях случайных процессов с плотным мажорированием скачков. — Теория вероятн. и её примен., 1986, т. 31, в. З, с. 602−605.

41. Лебедев В. А. Продолжение Ьр-значных случайных мер. Первый Всемирный конгресс общества математической статистики и теории вероятностей им. Бернулли (тезисы), т. II. М.: Наука, 1986, с. 734.

42. Лебедев В. А. Стохастические интегралы по семимартин-гальным случайным мерам. — В сб.: Статистика и управление случайными процессами. М.: Наука, 1989, с. 112−114.

43. Лебедев В. А. Стохастическое интегрирование по семи-мартингальным случайным мерам. — Теория вероятн. и её примен., 1989, т. 34, в. 4, с. 792−794.

44. Лебедев (Lebedev V. A.). Stochastic integrals with respect to semimartingale measures and change of the filtration. — Probability Theory and Mathematical Statistics (Proceedings of the Fifth Vilnius Conference), v. II. Vilnius: Mokslas, 1990, p. 70−78.

45. Лебедев В. А. Об отсутствии взрыва и потраекторной единственности для решения стохастического дифференциального уравнения с коэффициентами, зависящими от прошлого. Известия ВУЗов. Математика, 1990, № 12, с. 44−55.

46. Лебедев В. А. Измеримость стохастического интеграла по параметру. — Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам геометрии и анализа (тезисы докладов). М.: ТВП, 1994, с. 66−67.

47. Л е б е д е в В. А. Теорема Фубини для зависящих от параметра стохастических интегралов по £°-значным случайным мерам. — Теория вероятн. и её примен., 1995, т. 40, в. 2, с. 313 323.

48. Лебедев В. А. Поведение случайных мер при замене фильтрации. — Теория вероятн. и её примен., 1995, т. 40, в. 4, с. 754−763.

49. Л е б е д е в В. А. 1/р-значные случайные меры и хорошие расширения стохастического базиса. — Вторая Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам (тезисы докладов). М.: ТВП, 1995, с. 87−88.

50. Лебедев В. А. Мартингалы, сходимость вероятностных мер и стохастические уравнения. — М.: изд-во МАИ, 1996, 348 с.

51. Л е б е д е в В. А. Устойчивые пространства семинартингалов и хорошие расширения стохастического базиса. — Третья Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам (тезисы докладов). М.: ТВП, 1996, с. 102−103.

52. Лебедев В. А. Устойчивые пространства семинартингалов и замена вероятностной меры. — Обозрение прикл. и пром. математики, 1997, т. 4, № 3, с. 272−273.

53. Лебедев В. А. Ь°-значные случайные меры и стохастические дифференциальные уравнения. — Обозрение прикл. и пром. математики, 1999, т. 6, № 1, с. 168−169.

54. Лебедев В. А. Об отсутствии взрыва и потраекторной единственности для решений стохастических дифференциальных уравнений с £2-значными случайными мерами. — Обозрение прикл. и пром. математики, 2000, т. 7, № 2, с. 505−507.

55. Л е б е д е в В. А. ?р-значные случайные меры и хорошие расширения стохастического базиса. — Теория вероятн. и её при-мен., 2001, т. 46, в. З, с. 563−572.

56. Лебедев В. А. Об одном контрпримере, связанном с заменой фильтрации по отношению к целочисленным случайным мерам. — Обозрение прикл. и пром. математики, 2001, т. 8, № 2, с. 786−787.

57. Л е б е д е в В. А. Об условиях отсутствия взрыва и потраекторной единственности для решений стохастических дифференциальных уравнений с Ь°-значными случайными мерами. —-Вестник МГУ (сер. Мат.Мех.), 2002, № 2, с. 7−15.

58. Л е б е д е в В. А. Процессы с независимыми приращениями и расширение фильтрации. — Обозрение прикл. и пром. математики, 2002, т. 9, № 1, с. 125−126.

59. JI е-К, а м JI. Сходимость по распределению случайных процессов. — Математика (сб. переводов), 1960, т.4, № 1, с. 107— 142.

60. Ленгляр, Лепэнгль, Прателли (Lenglart Е., Lepingle D., Pratelli M.). Presentation unifiee de certaines inegalites de la theorie des martingales. — Lect. Notes Math., 1980, v. 784, p. 26−48.

61. Линдвалл (Lindvall T.). Weak convergence of probability measures and random functions in the function space ?)0, oo. — J. Appl. Probab., 1973, v. 10, № 2, p. 109−121.

62. Липцер P. Ш., Ширяев A. H. Теория мартингалов. — M.: Наука, 1986, 512 с.

63. Лось, Марчевский (Los J., Marczewski Е.). Extensions of measure. — Fund. Math., 1949, v. 36, p. 267−276.

64. Майкл (Michael E.). Continuous selection in Banach space. — Studia Math., Ser. Specjalna, 1963, № 1, p. 75−76.

65. Марчевский (Marczewski (Szpilrajn) E.). The characteristic function of a sequence of sets and some of its applications. — Fund. Math., 1938, v. 31, p. 207−223.

66. M e й e p П. А. Вероятность и потенциалы. — M.: Мир, 1973, 328 с.

67. M е й e р (Meyer P. A.). Un cours sur les integrales stochastiques. — Lect. Notes Math., 1976, v. 511, p. 245−400.

68. Метивье (Metivier M.). Une «lemme de Gronwall» «stochastique» et application a un theoreme de stabilite pour equations differentielles stochastiques. — C. R. Acad. Sci. Paris, ser. A, 1979, v.289, № 4, p. 287−290.

69. Метивье (Metivier M.). Semimartingales. — Berlin a.o.: De Gruyter, 1982, 288 p.

70. МикулявичюсР. О слабой сходимости мер. — Литовский матем. сб., 1985, т. 25, № 1, с. 110−116.

71. Окабэ, Симидзу (Okabe Y., Shimizu A.). On the pathwiseuniqueness of solutions of stochastic differential equations. — J. Math. Kyoto Univ., 1975, v. 15, № 2, p. 455−466.

72. Прайс (Preiss D.). Metric space in which Prohorov’s theorem is not valid. — Z. Wahrsch. und verw. Geb., 1973, v. 27, № 2, p. 109−116.

73. Проттер (Protter P.). Volterra equations driven by semimartin-gales. — Ann. Probab., 1985, v. 13, № 2, p. 514−530.

74. Прохоров Ю. В. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей. — Теория вероятн. и её примен., 1956, т. 1, в. 2, с. 177−238.

75. Сильвестров Д. С. Предельные теоремы для сложных случайных функций. — Киев: Вища школа, 1974, 320 с.

76. СкороходА.В. Предельные теоремы для случайных процессов. — Теория вероятн. и её примен., 1956, т. 1, в. 3, с. 289 319.

77. СкороходА. В. Исследования по теории случайных процессов. — Киев: изд-во КГУ, 1961, 216 с.

78. Стоун (Stone С.). Weak convergence of stochastic processes defined on a semiinfinite time interval. — Proc. Amer. Math. Soc., 1963, v. 14, № 5, p. 694−696.

79. Стрикер (Strieker C.). Quasimartingales, martingales locales, semimartingales et filtration. — Z. Wahrsch. und verw. Geb., 1977, v. 39, № 1, p. 55−63.

80. С т p у к Д. В., В, а р, а д, а н С. Р. С. Диффузионные процессы с непрерывными коэффициентами. — Математика (сб. переводов), 1971, т. 15, № 6, с. 66−113- 1972, т. 16, № 1, с. 100−142.

81. Струк, Варадан (Stroock D. W., Varadhan S. R. S.). Multidimensional diffusion processes. — Berlin a.o.: Springer-Verlag, 1979, 340 p.

82. Хасьминский P. 3. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их параметров. — М.: Наука, 1969, 368 с.

83. Цирельсон B.C. Один пример стохастического дифференциального уравнения, не имеющего сильного решения. — Теория вероятн. и её примен., 1975, т. 20, в. 2, с. 427−430.

84. Эллиотт Р. Стохастический анализ и его приложения. — М.: Мир, 1986, 352 с.

85. Эмери (Emery M.). Une topologie sur l’espace des semimartingales. — Lect. Notes Math., 1979, v.721, p. 260−280.

86. Ямада, Ватанабэ (Yamada T., Watanabe S.). On the uniqueness of solutions of stochastic differential equations. — J. Math. Kyoto Univ., 1971, v. 11, № 1, p. 155−167- 1971, v. 11, № 3, p. 553−563.

87. ИтоК, НисиоМ. Стандартные решения стохастического дифференциального уравнения. — Математика (сб. переводов), 1967, т. 11, № 5, с. 117−175.