Аксиоматические ранги квазимногообразий групп без кручения

Основателем теории квазимногообразий алгебраических систем является выдающийся математик академик А. И. Мальцев. Теоретический фундамент общей теории квазимногообразий был заложен им в работах [20, 21, 22], где, в частности, доказаны структурные теоремы о характеризации квазимногообразий на языке фильтрованных произведений, являющиеся аналогом теорем Г. Биргкофа [20] для многообразийа также доказано, что среди аксиоматизируемых классов полной теорией определяющих соотношений обладают квазимногообразия и только они.

В настоящее время теория квазимногообразий получила бурное развитие. Выделим, во-первых, работы В. А. Горбунова [12, 13, 14], в которых дана характеризация квазимногообразий на языке обратных пределов, а также найден оригинальный метод исследования решеток квазимногообразий. В работах М. Е. Адамса и В. Дзебяка [29] и В. А. Горбунова [30] разработаны методы вложения свободной решетки в решетку квазимногообразий. Существенный вклад в теорию квазимногообразий групп внесен А. Ю. Ольшанским [25], которым исследовались локально конечные квазимногообразия и, в частности, установлена конечная аксиоматизируемость квазимногообразия, порожденного конечной группой с абелевыми силовскими подгруппами. Отметим работы А. И. Будкина [1, 2, 4, 5], посвященные исследованию вопросов аксиоматизируемости квазимногообразий, а также его работы [6, 8, 9], относящиеся к изучению решеток квазимногообразий, сыгравшие важную роль в развитии теории квазимногообразий групп. Список публикаций по теории квазимногообразий весьма значителен, в частности, эта область нашла свое отражение в книгах А. И. Мальцева [20], В. М. Копытова и Н. Я. Медведева [16], В. А. Горбунова [31].

Напомним определения: (^-теория класса К — это множество Тд (А') всех квазитождеств над счетным алфавитом, истинных во всех группах из класса К. Подмножество Е С называется базисом (^-теории класса К, если всякое квазитождество, а Е Т?}{К) является следствием множества Е квазитождеств. Говорят, что аксиоматический ранг (^-теории равен п, если данная (^-теория обладает базисом квазитождеств от п переменных и не обладает базисом квазитождеств от меньшего числа переменных. Если такого числа п не существует, то данная (^-теория имеет бесконечный аксиоматический ранг. Понятие аксиоматического ранга оказалось весьма полезным и широко исследовалось для многообразий групп (см., например, [24]). Задача изучения аксиоматических рангов для квазимногообразий впервые была поставлена Д. М. Смирновым [17] (вопрос 3.52).

Аксиоматический ранг (¡-¡-)-теории является одной из важных ее характеристик. В частности, бесконечность аксиоматического ранга (^-теории влечет отсутствие у этой (^-теории конечных базисов. К настоящему времени вычислены аксиоматические ранги ряда естественных и важных объектов теории групп. Отметим некоторые результаты в этом направлении. Аксиоматический ранг квазимногообразия, порожденного конечной группой с неабелевой силовской подгруппой, найден А. Ю. Ольшанским в [25], квазимногообразия, порожденного всеми конечными группами А. К. Румянцевым в [26]. Аксиоматические ранги широкого класса неабелевых квазимногообразий (квазимногообразий, порожденных свободной группой, группой с одним определяющим соотношением, свободной разрешимой группой, конечно-порожденной нильпотентной группой) вычислены А. И. Будкиным в [4, 5, 2]. Аксиоматические ранги этих квазимногообразий, как и ряда других (^-теорий важнейших классов групп, оказались бесконечными.

Серьезным продвижением в изучении аксиоматических рангов конечно порожденных групп явился метод А. И. Будкина [7] построения (^-теорий 2-порожденных групп данного аксиоматического ранга, основанный на вложении в квазимногообразиях счетных групп в 2-порожденные группы. Используя этот метод, им в [1] для каждого натурального п, п > 2, построено континуальное множество (^-теорий 2-порожденных групп данного аксиоматического ранга п. Все эти 2-порож-денные группы имеют кручение. Естественно возник вопрос о существовании для каждого натурального числа п, п > 2, континуального множества (^-теорий 2-порожденных групп без кручения аксиоматического ранга п. Используя указанный метод А. И. Будкина, этот вопрос решен в данной диссертации.

В процессе развития теории квазимногообразий роль понятия аксиоматического ранга существенно возросла. Ясно, что множество всех квазимногообразий, имеющих в данном квазимногообразии N аксиоматический ранг меньший или равный п, частично упорядочено относительно включения и образует решетку, обозначаемую через Ь™(АГ). Оказалось, что во многих случаях изучение решетки квазимногообразий сводится к изучению решеток вида Например, из работ В. А. Горбунова [30] и В. И. Туманова [27] следует, что решетка является гомоморфным образом решетки ЬЧ{М) квазимногообразий, содержащихся в ЛЛ Более того, если N — локально конечное квазимногообразие, то решетка ЬЧ{А[) аппроксимируется решетками Ь™(ЛГ). Решетка ЬЧ{М) (В. А. Горбунов [14]) является обратным пределом решеток вида.

В следствие этого изучение решеток можно рассматривать как естественный подход к исследованию решетки квазимногообразий Ьд (ЛГ).

Диссертация посвящена исследованию аксиоматических рангов квазимногообразий групп без кручения. В ней получены следующие основные результаты.

1. Для каждого натурального числа п, п > 2, доказана континуальность множества (^-теорий 2-порожденных групп без кручения с данным аксиоматическим рангом п.

2. Показано, что не существует квазимногообразий ниль-потентных групп ступени < 2 без кручения аксиоматического ранга 3.

3. Найдено описание класса квазимногообразий 2-нильпо-тентных групп без кручения аксиоматического ранга 4, каждому из которых соответствует группа с циклическим коммутантом.

4. Установлен базис квазитождеств наименьшего квазимногообразия аксиоматического ранга 2, содержащего неабеле-ву абсолютно свободную группу и доказана континуальность решетки ИЧ{Т<1). Доказана неразложимость квазимногообразия в объединение в решетке ЬЧ{Т<2).

Диссертация содержит 66 страниц, состоит из введения, трех глав и библиографии.

Список литературы

состоит из 38 наименований.