Некоторые классы двумерных интегральных операторов с подвижными и неподвижными особенностями и их приложения к краевым задачам для эллиптических систем с сингулярными коэффициентами

Методы сингулярных интегральных уравнений и операторов являются одним из мощных средств решения задач современной математики, математической физики, прикладной математики и механики.

Рассматриваемые в работе двумерные интегральные операторы с подвижными и неподвижными особенностями наряду с двумерным оператором сингулярного интегрирования 5 содержат также операторы Бергмана Б, комплексного сопряжения К и интегральный оператор с однородным ядром Н, а также различные композиции этих операторов.

Таким образом, исследования диссертации примыкают с одной стороны к направлению, связанному с теорией сингулярных интегральных уравнений (С. Г. Михлин [69]-[71], А. Кальдерон и А. Зигмунд [80]-[83], И. Н. Векуа [16], И. Б. Симоненко [74], А. Джураев [41]-[46], Р. В. Дудучава [47],[51], Н. Л. Василевский [12]-[15], И. И. Комяк [53]-[57], Б. М. Бильман и Г. Джанги-беков [8]-[10], Г. Джангибеков [21]-[35]), а с другой — к направлению, связанному с интегральными уравнениями с однородными ядрами, введенными в рассмотрение Л. Г. Михайловым [61]-[68] при изучении дифференциальных уравнений с сингулярными коэффициентами.

Предлагаемая работа состоит из двух глав со сквозной нумерацией разделов.

В первой главе работы в лебеговом пространстве с весом 1Р изучаются некоторые классы двумерных интегральных операторов с подвижными и неподвижными особенностями по ограниченной области. Эти операторы содержат как интегралы с подвижной С = 2 (сингулярной) особенностью, так и интегралы с неподвижной? = г = 0 (с однородными ядрами) особенностью, а также интегральные операторы, имеющие особенности на границе области, и как выяснилось, все эти особенности сильно влияют на нетеровость и индекс оператора. Посредством факторизации оператора удается получить необходимые и достаточные условия нетеровости и вычислить индекс указанных операторов.

Во второй главе работы даются приложения полученных результатов первой главы по интегральным операторам к исследованию задачи Дирихле для эллиптических систем дифференциальных уравнений второго порядка с сингулярными коэффициентами, а также к задаче Римана-Гильберта для обобщенной системы Коши-Римана с сингулярным коэффициентом. Получены необходимые и достаточные условия нетеровости и вычислен индекс указанных задач.

Перейдем к более конкретному изложению основных результатов работы.

1. БИЛЬМАН Б. М. Об условиях полной непрерывности некоторых многомерных интегральных операторов с однородными ядрами. //ДАН СССР, 1971 т. 197, №, с. 14−17.

2. Бильман Б. М. Об интегральных уравнениях с переменными пределами интегрирования, ядра которых имеют особенность типа однородной функции степени -1. -В сб. Дифференциальные и интегральные уравнения с сингулярными коэффициентами. Душанбе, 1969, с. 19−40.

3. Бильман Б. М. Об условиях полной непрерывности некоторых многомерных интегральных операторов с однородными ядрами // ДАН СССР. 1971. т. 197. т. с.14−17.

4. Бильман Б. М., Джангибеков Г. О разрешимости одного особого двумерного интегрального уравнения. // Докл. АН ТаджССР, 1977, т. 20, № 4, с. 3−8.

5. Бильман Б. М., Джангибеков Г. Об условиях нетеровости и индексе некоторых двумерных сингулярных интегральных уравнений с разрывными коэффициентами по ограниченной односвязной области // ДАН СССР, 1986, т. 288, № 4, с. 792−797.

6. Бильман Б. М., Джангибеков Г. Об условиях нетеровости и индексе некоторых особых двумерных интегральных уравнений.// ДАН СССР, 1990, т. 312, Xsl, с. 15−19.

7. Боярский Б. В. Исследования по уравнениям эллиптического типа на плоскости и граничным задачам теории функций // Дисс. докт. физ.-мат. наук. М.: 1960.

8. ВЕКУА И. Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Физматгиз, 1959, 672 с. 17. векуа И. Н. Новые методы решения эллиптических уравнений. М.: Гостехиздат, 1948, -296 с.

9. Виноградов В. С. О разрешимости одного сингулярного интегрального уравнения // ДАН СССР. 1978,-т. 241, № 2, -с.272−274.

10. ДЖАНГИБЕКОВ Г. Нетеровость и индекс некоторых двумерных сингулярных интегральных операторов // Изв. ВУЗов, матем. 1991, № 1, с. 19−28.

11. ДЖАНГИБЕКОВ Г. О нетеровости и индексе некоторых двумерных сингулярных интегральных уравнений с разрывными коэффициентами // Изв. ВУЗов, матем. 1992, № 9, с. 25−37.

12. ДЖАНГИБЕКОВ Г. О некоторых двумерных сингулярных интегральных операторах по ограниченной области // Док. РАН, 2002, т. 383, т, с. 7−9.

13. ДЖАНГИБЕКОВ Г. Об условиях нетеровости и индексе некоторых двумерных сингулярных интегральных операторов // ДАН СССР, 1991, т. 319, № 4, с. 811−815.

14. ДЖАНГИБЕКОВ Г. О краевых задачах Дирихле и Неймана для эллиптических систем дифференциальных уравнений второго порядка // Вестник ХоГУ, 1999, серия 1, № 1, с. 19−25.

15. ДЖАНГИБЕКОВ Г. Теория нетера некоторых сингулярных интегральных уравнений с суммируемыми однородными ядрами.//Вестник ХоГУ, 2000, серия 1, № 2, с. 31−56.

16. ДЖАНГИБЕКОВ Г. О нетеровости и индексе одного класса двумерных интегральных уравнений с особенностями.//Вестник ХоГУ, 2002, серия 1, № 5, с. 15−20.

17. ДЖАНГИБЕКОВ Г. Об одном классе двумерных сингулярных интегральных уравнений, содержащих комплексные сопряжения искомой функции.// Докл. АН Тадж. ССР, 1981, т. 24, № 2, с. 80−85.

18. ДЖАНГИБЕКОВ Г. Об одном классе двумерных сингулярных интегральных операторов // ДАН СССР, 1990, т. 314, № 5, с. 1055−1059.

19. ДЖАНГИБЕКОВ Г. О разрешимости одного особого двумерного интег-ралного уравнения с комплексно сопряженной неизвестной функцией. // Докл. АН ТаджССР, 1978, т. 21, № 7, с. 3−8.

20. ДЖАНГИБЕКОВ Г. О нетеровости и индексе некоторых двумерных сингулярных интегральных операторов // ДАН СССР, 1989, т. 308, № 5, с. 1037−1041.

21. JANGIBEKOV G. On a class of two-dimensional singular integral operators and its applications to boundary value problems for elliptic systems of equations in the pline.- Prosidings of the second ISAAC Congress, volum 2, 2000, p. 1421−1430.

22. Джангибеков Г., Зарифбеков М. О нетеровости и индексе некоторых двумерных сингулярных интегральных уравнений с суммируемыми однородными ядрами и ядрами Бергмана // Вестник ХоГУ, 2002, серия 1, № 5, с.21−25.

23. Г. Джангибеков, М. Зарифбеков О нетеровости и индексе задачи Дирихле для одной эллиптической системы второго порядка с сингулярными коэффициентами.//Вестник Национального Университета, серия математика, 2004, № 1, с. 33−41.

24. У меди Г. Д., Зарифбеков М. Об одном особом интегральном уравнении // Вестник ХоГу. 2001. серия 1. № 4. с. 55−66.

25. Джангибеков Г., Худжаназарова Г. О нетеровости и индексе некоторых двумерных сингулярных интегральных операторах по ограниченной области // ДАН России, 2004, т. 396, № 4.

26. Duduchava R. On multidimensional singular integral operators. I, II // J. of operator theory. 1984. v. 11, p. 41−76, 199- 214.

27. КреЙН С. Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. М. 1971, 103 с.

28. КОМЯК И. И Общее решение одного двумерного сингулярного интегрального уравнения // Докл. АН БСССР.-1977, т. 21, № 2, с. 1074−1077.

29. КОМЯК И. И Об условиях нетеровости и формуле индекса одного класса сингулярных интегральных уравнений // Докл. АН БССР, 1978, т.22, № 6, с. 488−491.

30. КОМЯК И. И Об одном классе двумерных сингулярных интегральных уравнений с ядром Бергмана //Докл. АН БССР, 1979, т. 23, № 1, с. 8−11.

31. КОМЯК И. И Условия нетеровости и формула индекса одного класса сингулярных интегральных уравнений по круговой области // Дифферент уравнения.-1980, т. 16, № 2, с. 328−343.

32. МИХАЙЛОВ JI. Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его применения к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами.- Душанбе, Дониш, -1963, -183 с.

33. МИХАЙЛОВ JI. Г. Интегральные уравнения с ядром, однородным степени -1, Душанбе, Дониш, 1966, 49 с.

34. МИХАЙЛОВ JI. Г. О некоторых многомерных интегральных операторах с однородными ядрами // ДАН СССР, -1967, т. 176, № 2, с. 263−265.

35. МИХАЙЛОВ JT. Г. О некоторых двумерных интегральных уравнениях с однородными ядрами // ДАН СССР, -1970. т. 192,№ 2, -с. 272−275.

36. МИХАЙЛОВ JI. Г. Об одном интегральном уравнений теории обобщенных аналитических функций в сингулярном случае // ДАН СССР, -1970. т. 190. т, с. 531−534.

37. МИХАЙЛОВ J1. Г. Многомерные интегральные уравнения с однородными ядрами // Труды симпоз. по механике сплошной среды и родственным пробл. анализа.- Тбилиси.- 1973, т. 1, с. 182−191.

38. МИХАЙЛОВ Л. Г. Новый класс особых интегральных уравнений // Math. Nachr. 1977. bd. 76. р. 91−107.

39. МИХАЙЛОВ Л.Г.// ДАН СССР. 1991. т.319. Ж. с. 46−52.

40. МИХАЙЛОВ Л. Г., ВИЛЬМАН Б. М. Об условиях полной непрерывности операторов с особенностью типа однородной функции степени -1. // Докл. АН ТаджССР. -1965, т. 8. № 9, с. 3−7.

41. МИХЛИН С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М.: Физматгиз, 1962, 254 с.

42. МИХЛИН С. Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: Высшая школа, 1977, 431 с.

43. МИХЛИН С.Г. О вычислении индекса системы одномерных сингулярных уравнений // ДАН СССР, 1968, т. 168, № 6.

44. УСМАНОВ З. Д. Эффективное решение одного двумерного интегрального уравнения с однородным ядром и его приложения // Дифференциальные уравнения. 1972. т. 8. № 12, с. 2267−2270.

45. УСМАНОВ З.Д. К вопросу о деформации поверхности с точкой уплощения // Математический сборник. 1972. т. 89 (131). с. 61−82.

46. УСМАНОВ З. Д. Обобщенные системы Коши-Римана с сингуярной точкой // Душанбе, 1993, 224 с.

47. УСМАНОВ З. Д. Об одном классе обобщенных систем Коши-Римана с сингулярной точкой.// Сиб.мат. журнал, 1973, т.15, № 5, с. 1070−1087.

48. Bergman S., Schiffer М. Kernell funstions and elliptic differential equations in mathematical pfysisc. New. York: Acad. Press, 1953. -432p.

49. CALDERON A., ZlGMUND A. On the existense of certain singular integrals // Acta math.-1952. -v.88. -№ 1. p. 85−139.

50. ZlGMUND A. On singular integrals // Rend. math, eapplic. -1957,-v. 5−16. -fass 3−4.-p. 468−505.

51. STEINE M. Note on singular integral // Proc. Amer. Math. Soc. -1957. -8, № 2. p. 250−254.