Математическое моделирование взаимодействия сдавливаемого слоя жидкости с упругой оболочкой применительно к поплавковым приборам

Актуальность. Запросы современной техники привели к необходимости построения и исследования математических моделей систем «упругая оболочка-жидкость-твердые тела», на основе которых возможно решение различных прикладных задач. Следует отметить, что на сегодняшний день, приборои машиностроение, ив частности прецизионное, немыслимо без использования упругих оболочек, которые обеспечивают необходимую прочность приборов и машин одновременно со снижением их массы и материалоемкости.

Упругие оболочки вращения широко используются в различных областях техники. Они являются основными элементами конструкций различных машин и высокоточных чувствительных приборов, представляющих собой сложные механические системы, состоящие из твердых, жидких и упругих тел. Условия эксплуатации современных изделий приборои машиностроения таковы, что они подвергаются воздействиям значительных перегрузок и вибрациям обусловленным различными источниками.

Необходимость учета влияния упругой податливостиконструкций включающей жидкость подтверждается практикой и представляет собой чрезвычайно сложную и трудоемкую задачу, даже в простейших постановках, требуя разработки и исследования сложных математических моделей механических систем твердых, упругих и жидких тел, которые учитывают динамическое взаимодействие между данными телами. Поэтому актуальной является проблема создания и исследования моделей таких механических систем, предельно приближающихся к оригиналу, поиска подходящих форм записи разрешающих дифференциальных уравнений и методов их интегрирования, приемлемых для инженерной практики, и позволяющих исследовать динамические процессы в данных системах, уточнить вибрационную погрешность поплавковых маятниковых акселерометров и гироскопов.

В качестве конкретных примеров для разработки моделей и математического моделирования в работе далее рассмотрены поплавковые приборы. Принципиальными элементами данных приборов является упругая замкнутая цилиндрическая оболочка, внутри которой находится жидкость со взвешенной в ней чувствительным элементом — абсолютно твердым поплавком. При этом учтено, что условия эксплуатации поплавковых приборов предусматривают значительные вибрации от внешних источников [15, 51−54, 66, 83].

Таким образом, важной и актуальной является задача построения математических моделей, позволяющих исследовать динамику систем «упругая оболочка-жидкость-твердые тела» при воздействии вибрации, и уточнить вибрационные погрешности поплавковых приборов учетом упругой податливости элементов конструкции.

Следует заметить, что поплавковые приборы, как акселерометры, так и гироскопы используются в качестве высокоточных чувствительных элементовв большинстве систем стабилизации, ориентации и наведения. Достаточно сказать, что для поплавковых маятниковых акселерометров погрешность — отклонение нуля — должна быть менее 10−6g, а предъявляемые требования по дрейфу (некомпенсированная случайная составляющая) поплавковых гироскопов составляет менее 10−3 град/час, а в комфортных условиях — менее.

1СГ6 град/час [51, 62, 84].

Отмечено значительное число работ [1, 12−14, 18−23, 26−38, 57, 77, 79, 8688, 93, 94, 97, 98, 100−103, 105, 107, 108], посвященных исследованию гидроупругости тонкостенных конструкций. Такими являются работы А. С. Вольмира, А. Г. Горшкова, Э. И. Григолюка, М. А. Ильгамова,.

Л.И. Могилевича, B.C. Попова, Д. В. Тарлаковского, Ф. Н. Шклярчука и ряда других.

Проблемам построения и исследования математических моделей поплавковых и «сухих» приборов посвящено большое число работ. Основополагающими из них являются: работы К. П. Андрейченко [2−11], О. М. Городецкого [24, 25], В. Э. Джашитова [35−36], Л. Г. Лойцянского [60],.

A.Ю. Ишлинского [39−43], Д. М. Климова [25], С. Ф. Коновалова [51, 54], Я. Л. Лунца [61], Л. И. Могилевича [6−11, 65−68, 72], Е. А. Никитина [76],.

B.М.Панкратова [35−36, 78−79], Д. С. Пельпора [80, 81], С. S. Draper [96], R. Kumar[98], R.A. Stein[107] и ряда других.

Для исследования факторов, влияющих на динамику поплавковых приборов, необходимо рассмотреть влияние упругости элементов конструкции. Первоначально учет влияния упругих элементов конструкции (корпус поплавка) приводился, когда эти элементы представляются в виде двухзвенных элементов с прямолинейными звеньями и точкой излома.

Так в работах С. Ф. Коновалова, А. А. Трунова [51−54] произведен учет упругости корпуса поплавкового прибора и других элементов (сильфона), когда эти элементы представляются в виде твердой двухзвенной конструкции с прямолинейными звеньями и точкой излома в середине, либо в виде твердой конструкции прямолинейной формы при консольном закреплении навесного элемента. Представляется, что такой подход несколько завышает погрешность из-за упругой податливости.

Второй, более точный подход, связан с использованием теории тонких оболочек [59, 93]. В рамках данного подхода тонкостенные упругие элементы конструкции, окруженные слоем жидкости, такие как корпус поплавка в поплавковых гироскопах, рассматриваются как упругая замкнутая цилиндрическая оболочка с жестким защемлением на торцах. При этом показано, что учет упругих свойств корпуса поплавка в поплавковых приборах необходим при некоторых параметрах прибора [8−11, 65−67].

Исследование поведения корпуса прибора как оболочки конечной длины, содержащей в рабочей камере вязкую несжимаемую жидкость, ведет к необходимости исследования трехмерной задачи гидродинамики для слоя жидкости. При этом важно учесть влияние инерции движения жидкости. В работах О. М. Городецкого, С. Ф. Коновалова, Е. А. Никитина, А. А. Трунова [24, 25, 51−54, 76] инерция жидкости либо совсем не учитывалась, что соответствует ползущим течениям при числе Рейнольдса равном нулю, либо учитывалась с помощью метода итераций, что соответствует малому по сравнению с единицей числу Рейнольдса.

В работах К. П. Андрейченко [2−5] применен метод осреднения инерционных членов уравнений динамики жидкости с введением поправочных коэффициентов, учитывающих нестационарность профиля скорости. Этот метод позволяет найти присоединенную массу и момент инерции жидкости, коэффициенты демпфирования угловых и поступательных колебаний поплавка, исследовать наиболее полно устойчивость гидродинамической опоры. Но этот метод справедлив только для чисел Рейнольдса значительно меньших единицы при исследовании возмущающих моментов поплавковых приборов. Более точно" учет влияния инерции жидкости, взаимодействующей с замкнутой цилиндрической оболочкой был проведен в [10] в режиме установившихся гармонических колебаний. В работах К. П. Андрейченко, Л. И. Могилевича [811, 65−67] была исследована упругогидродинамика корпуса поплавка прибора, с полным учетом инерциальных членов уравнений гидромеханики и даламберовых сил инерции, но корпус прибора считается абсолютно твердым. В работах К. П. Андрейченко, В. В. Гурова, Л. И. Могилевича [6, 7, 63, 64] приближенно учитывалась упругость корпуса прибора. Поставленная в этих работах задача не являлась связанной, и на оболочку — корпус прибора оказывало влияние только гидростатическое давление, так как считалось, что поплавок не перемещается, плавая в состоянии нейтрального равновесия. Кроме того, при решении задачи динамики оболочки отбрасывались даламберовы силы инерции. В работах Л. И. Могилевича, B.C. Попова [69−71, 73−75,. 82, 84] проводился учет упругой податливости корпуса поплавка с ребрами жесткости и упругости цилиндра двигателя внутреннего сгорания с водяным охлаждением.

Следовательно, для исследования факторов влияющих на динамику поплавковых приборов, ив частности, влияния упругости корпуса прибора встает задача учета инерции трехмерного движения слоя жидкости, взаимодействующего с упругой оболочкой и абсолютно твердыми телами.

Следует отметить, что данная проблема исследовалась приближенными аналитическими методами, преимуществом которых заключается в возможности построения теории, в данном случае они позволяют решить связанную систему уравнений динамики твердого тела, жидкости и упругой оболочки, входящих в математическую модель, и получить интегральные характеристики — силы и моменты, действующие на абсолютно твердое тело.

Таким образом, важной и актуальной является задача построения математических моделей, позволяющих исследовать динамику систем «упругая оболочка-жидкость—твердые тела» при воздействии вибрации и уточнить модель погрешности поплавковых приборов учетом упругой податливости элементов конструкции.

Целью работы является построение комплексного общетеоретического подхода для исследования динамики сложных механических систем, состоящих из упругой цилиндрической оболочки, взаимодействующей со слоем жидкости и абсолютно твердыми телами, находящимися внутри оболочки, при свободном истечении жидкости из цилиндрической щели в торцевые, при воздействии вибрации применительно к поплавковым датчикам первичной информации в системах навигации.

Из этой цели вытекают задачи:

1. Разработка математической модели для сложных механических систем, состоящих из упругой: цилиндрической оболочки, содержащей сдавливаемый слой вязкой жидкости и абсолютно твердый поплавок, плавающий в состоянии нейтрального равновесия при свободном истечении жидкости из цилиндрической щели в торцы;

2. Решение связанных нелинейных задач упругогидродинамики для описанной механической системы (уравнения динамики жидкости, упругой оболочки и абсолютно твердых тел с соответствующими граничными условиями);

3. Определение на основе полученного решения вибрационной погрешности для поплавкового маятникового акселерометра и поплавкового гироскопа при свободном торцевом истечении жидкости, разгружающей опоры поплавка. Исследование влияния типоразмеров приборов, свойств поддерживающего слоя вязкой жидкости и материала оболочки на. вибрационную погрешность.

В диссертации решение сложных нелинейных связанных задач упругогидродинамики, состоящих из систем уравнений динамики жидкости, уравнения динамики оболочки и уравнений динамики абсолютно твердых тел, проводится методом возмущений [17, 55]. Осуществлен переход к безразмерным переменным в указанных выше системах уравнений динамики жидкости и оболочки, сам представляющий собой сложную задачу.

За малые параметры приняты, традиционная в теории смазки, относительная толщина сдавливаемого слоя жидкости и относительный эксцентриситет.

Рассматривается одночленное разложение по относительной толщине сдавливаемого слоя жидкости, как это принято в теории смазки [85, 89−92, 94, 104], и двухчленное асимптотическое разложение по относительному эксцентриситету. При этом динамика приборов определяется с помощью одночленного разложения в режиме гармонических колебаний, а двучленное разложение по относительному эксцентриситету необходимо для определения погрешности приборов. В рассматриваемых задачах ни при каких значениях независимых переменных и безразмерных постоянных параметров подобия, имеющих физический смысл, второй член разложения не становится того же порядка, что и первый член разложения. Следовательно, на рассматриваемых этапах нет необходимости в примененииболее тонких методов возмущений (метод сращиваемых асимптотических разложений, метод многомасштабных разложений и др.) [17, 55], а достаточно прямого разложения.

Исследован режим установившейся вибрации [91, 95, 98, 105], переходный процесс не рассматривается. Математически это означает, что необходимо найти частное решение линеаризованных неоднородных задач, а общее решение соответствующих однородных уравнений не рассматривается. Это делается из-за того, что в колебательных системах присутствует демпфирование, возникающее за счет сдавливаемого слоя вязкой жидкости. Наличие демпфирования приводит к тому, что переходный процесс быстро затухает, влияние начальных условий в конечном итоге перестает сказываться на колебаниях, и возникают установившиеся вынужденные колебания. Следовательно, при рассмотрении достаточно длительных во времени процессов общее решение однородных уравнений и начальные условия можно отбросить с самого начала [14]. Данный подход позволил решить сложную нелинейную связанную задачу динамики твердых тел, вязкой несжимаемой жидкости и упругой цилиндрической оболочки.

Научная новизна. Основной отличительной особенностью предлагаемой работы является развитие подхода в построении и исследовании математических моделей, учитывающих реальные физико-механические свойства исследуемых механических систем, содержащих упругую оболочку, сдавливаемый слой жидкости и абсолютно твердые тела. Он заключается в описании такой системы в виде связанной системы уравнений для каждой из составляющих и ее анализа, позволившего синтезировать силы и моменты, действующие на абсолютно твердые тела.

1. Впервые использована физическая модель упругой замкнутой цилиндрической оболочки, с жестким защемлением по торцам, как корпус поплавковых приборов, содержащей в рабочей камере вязкую несжимаемую жидкость и абсолютно твердый цилиндрический поплавок при свободном истечении жидкости в торцы.

2. Предложена математическая модель, использующая трехмерные уравнения динамики вязкой несжимаемой жидкости без ограничения на числа Рейнольдса, взаимодействующей с упругой замкнутой цилиндрической оболочкой и абсолютно твердым цилиндрическим поплавком. Математическая модель представляет собой связанную систему уравнений в частных производных, описывающих динамику жидкости и динамику упругой замкнутой цилиндрической оболочки, и обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих динамику абсолютно твердых тел (поплавка и ротора гироскопа) и соответствующих граничных условий.

3. На основе предложенной математической модели в широком диапазоне параметров (ширины цилиндрического зазора, толщины упругой замкнутой цилиндрической оболочки и вязкости жидкости) проанализирован динамический отклик — гидромеханические реакции, действующие на абсолютно твердый поплавок. Найдена постоянная составляющая возмущающего момента, определяющего погрешность исследуемых механических систем в условиях гармонического закона вибрации основания, к которому крепится прибор.

4. Предложена математическая оценка погрешности поплавковых маятниковых акселерометров и поплавковых гироскопов, учитывающая упругую податливость корпуса прибора и инерцию движения вязкой несжимаемой жидкости.

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректной физической и математической постановкой задачи, применением классических математических методов и известных методов возмущения для расчета, использованием апробированных и основополагающих принципов и подходов теоретической механики, механики жидкости и теории упругости. Полученные результаты при предельном переходе к абсолютно твердому корпусу и малым числам Рейнольдса совпадают с уже известными результатами, полученными другими авторами, и не противоречат имеющимся физическим представлениям, основанным на экспериментах.

Практическая ценность и реализация результатов. Результаты, полученные в диссертации, целесообразно использовать в задачах исследования динамики сложных систем, включающих в себя упругую цилиндрическую оболочку, содержащую жидкость и абсолютно твердые тела. Предложенная математическая модель позволяет разработчику поплавковых приборов уже на этапе проектирования, исходя из известного частотного диапазона вибраций, выявить наиболее оптимальные параметры системы, обеспечивающие необходимую точность.

Полученное аналитическое решение позволяет при использовании ПЭВМ существенно увеличить скорость расчетов и строить высокоэффективные САПР * сложных механических систем. Кроме того, становится возможным определение влияния различных факторов на динамику и точность поплавковых приборов. Математические модели и результаты их исследования, приведенные в работе, можно использовать при определении резонансных частот сосудов, полностью и не полностью заполненных жидкостью, и цилиндров двигателей внутреннего сгорания и, следовательно, при получении оценок кавитационного износа их внешней поверхности.

Результаты диссертации получены в рамках бюджетной темы кафедры высшей математики Российского государственного открытого технического университета путей сообщения «Вопросы исследования прикладных статических и динамических задач в механике сплошной среды на транспорте».

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на XXXIV постоянно действующем научно-техническом семинаре в Саратовском филиале Военного артиллерийского университета (Саратов, 2001), на ежегодных научных конференциях профессорско-преподавательского состава Саратовского государственного университета «Актуальные проблемы математики и механики» (Саратов, 2001, 2002), на Международной конференции в ИТМиУ РАН «Проблемы и перспективы прецизионной механики и управления в машиностроении» (Саратов, 2002), на IX и X Международных симпозиумах в МАИ «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» (Москва-Ярополец, 2003, 2004), кафедре «Высшая математика» Российского государственного открытого технического университета путей сообщения (Москва, 2003, 2004).

На защиту выносятся следующие положения'.

1. Новая физическая модель наиболее полно, среди известных моделей, учитывает упругую податливость корпуса, содержащего в рабочей камере вязкую несжимаемую жидкость и абсолютно твердый поплавок. Наиболее полно, среди известных, учитывает инерцию движения жидкости внутри оболочки без ограничений на числа Рейнольдса.

2. Предложенная математическая модель, учитывающая упругую податливость корпуса прибора, как упругой замкнутой цилиндрической оболочки, и инерцию движения сдавливаемого слоя вязкой несжимаемой жидкости при свободном истечении жидкости в торцевые зазоры внутри рабочей камеры, позволяет адекватно описать рассмотренную физическую модель и оценить влияние учтенных новых факторов.

3. Найденный и проанализированный с помощью исследования математической модели динамический отклик, в виде постоянных составляющих вибрационных возмущающих моментов, действующих на абсолютно твердый поплавок со стороны поддерживающего и демпфирующего слоя жидкости под действием переносного ускорения, показал значительность влияния учтенных упругой податливости корпуса и инерции движения жидкости. Гидромеханический момент значительно больше при учете упругой податливости корпуса, чем без ее учета, и при этом является не монотонным.

4. Предложенная математическая оценка вибрационных возмущающих моментов дополнила модель погрешности поплавковых маятниковых акселерометров и поплавковых гироскопов учетом упругой податливости корпуса прибора и инерции движения вязкой несжимаемой жидкости в условиях вибрации основания, к которому крепится прибор.

Публикации. Основное содержание диссертационной работы и результаты исследования опубликованы в научных работах [44−50].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы. Работа содержит 156 страниц наборного текста, 25 рисунков, 29 таблиц. Список использованной литературы включает 108 наименований.

^* 1. В диссертационной работе предложена и исследована новая физическая и математическая модели механических систем, включающих упругую цилиндрическую оболочку, содержащую абсолютно твердые тела и жидкость, применительно к поплавковым приборам на вибрирующем основании при свободном истечении жидкости в торцы. Математическая модель систем упругих, абсолютно твердых и жидких тел представляет собой связанную систему нелинейных уравнений в частных производных Навье Стокса и неразрывности для описания динамики жидкости, уравнений в частных производных для описания динамики упругой цилиндрической оболочки — корпуса прибора и обыкновенных дифференциальных уравнений ;

второго закона Ньютона для описания поступательных перемещений абсолютно твердых элементов рассматриваемых систем и соответствующих граничных условий,.

2. Для исследования математической модели сделан переход к безразмерным переменным. Это позволило выделить параметры подобия, в том числе малые параметры задачи. Малые параметры представляют собой относительную толщину слоя жидкости, окружаемой упругой цилиндрической оболочкой, и относительный эксцентриситет поплавка. При этом колебательное число Рейнольдса 5^(D/V, характеризующее отношение сил инерции движения жидкости к силам вязкого трения, малым не предполагается. Метод возмущения применен для исследования математической модели связанной задачи упругогидродинамики для упругой цилиндрической оболочки, взаимодействующей с абсолютно жесткими телами через слой чл вязкой несжимаемой жидкости при гармонической вибрации. Рассматривается одночленное разложение в ряд по малому параметру vj/ • относительной пшрине цилиндрического слоя жидкости, окружаемой упругой цилиндрической оболочкой (как принято в теории смазки) и двухчленное разложение в ряд по малому параметру X — относительному эксцентриситету. Одночленное разложение по малому относительному эксцентриситету приводит к линейной связанной системе уравнений, включающей вышеперечисленные уравнения в частных производных и обыкновенные дифференциальные уравнения. Эта система уравнений может быть решена в предположении установившихся гармонических колебаний. При этом исследуется режим вынужденных установившихся колебаний, так как в системе присутствует демпфирование за счет вязкой несжимаемой жидкости, что приводит к быстрому затуханию свободных колебаний и возможность исключить начальные условия с самого начала. Найденное решение определяет динамику системы, включающей упругую цилиндрическую оболочку и абсолютно жесткие тела, применительно к поплавковым приборам. Второй член разложения по малому относительному эксцентриситету определяет вибрационную погрешность поплавковых приборов ;

возмущающие моменты, рассматриваемых сложных механических систем, обусловленных вибрацией и, как следствие, определяет точность приборов.^ При этом (на рассмотренном этапе) имеет место задача регулярных возмущений, то есть второй член разложения значительно меньше первого при всех реальных значениях независимых переменных и безразмерных постоянных, входящих в решение. Найдены гидромеханические реакции для поплавкового маятникового акселерометра при свободном истечении жидкости в творцы, действующие на поплавок, и возмущающие моменты /-&bdquo-э^, действующие со стороны слоя жидкости и с учетом влияния упругой цилиндрической оболочки, ограничивающей описанный слой жидкости. Найденные гидромеханические реакции для поплавкового гироскопа при свободном истечении жидкости в торцы, действующие на поплавок, и возмущающие моменты разделяются на два вида. Возмущающий момент Zyyr за счет сил инерции и, как следствие, смещения центра масс поплавка из центра слой жидкости,.

3. На основании полученного решения определены постоянные составляющие возмущающих моментов — вибрационные возмущающие моменты для поплавкового маятникового акселерометра и поплавкового гироскопа в случае внешней вибрации. Проведенное исследование показало j значительное влияние упругой податливости цилиндрической оболочки — корпуса прибора на точность прибора. Исследование построенной математической модели позволило дополнить модель погрешности поплавковых приборов учетом упругих свойств оболочки — корпуса прибора и инерции движения вязкой несжимаемой жидкости. Для поплавкового гироскопа возмущающий момент за счет сил инерции и смещения центра масс ротора относительно абсолютно жестких торцевых дисков (рамки) оказывается практически (в рамках рассматриваемых ^ приближений) независимым ни от динамики жидкости, окружаемой упругой цилиндрической оболочкой, ни от упругих свойств оболочки для рассматриваемого случая внепшей вибрации. Как для поплавкового маятникового акселерометра, так и для поплавкового гироскопа показана значительность влияния упругих свойств оболочки, окружающей слой вязкой несжимаемой жидкости, на возмущающий момент и, как следствие, на погрешность прибора. Полученная модель позволяет исследовать динамику и точность приборов с различными параметрами толщины и материала упругой цилиндрической оболочки, вязкости и ширины слоя вязкой несжимаемой жидкости. При этом проведен сравнительный анализ между различными Х?" моделями и выявлена зависимость погрешности от описанных параметров. Кроме того, была исследована модель поплавкового маятникового акселерометра и поплавкового гироскопа. Таким образом, предложенная математическая модель позволяет, исходя из известного частотного диапазона вибраций, выбрать наиболее оптимальную конструкцию прибора в целом и упругой цилиндрической оболочки в частности, обеспечивающую необходимую точность прибора. Кроме того, полученное аналитическое решение позволяет оценить вклад различных факторов на работу и погрешности поплавковых приборов на этапе проектирования. Предложенный В работе метод исследования может применяться при решении задач динамики и других сложных механических систем, включающих упругую цилиндрическую оболочку и взаимодействующие с ней через слой вязкой несжимаемой жидкости абсолютно твердые тела. Например, определение резонансных частот колебаний гильзы двигателя внутреннего jy сгорания с водяным охлаждением и тем самым возможностью кавитационного износа гильзы. Определения резонансных частот колебаний сосудов полностью или не полностью заполненных жидкостью и тем самым опасных режимов их заполнения.