Асимптотическое решение сингулярно возмущённых линейно — квадратичных задач оптимального управления с разрывными коэффициентами

• Разрывные системы часто используются для моделирования сложных систем управления. Условия оптимальности управления для различных классов таких систем получены, например в работах [2, 10, 11, 14]. Полученные условия применялись для решения многих содержательных инженерно — технических задач, формулируемых в терминах разрывных систем.

В течение второй половины прошлого века не ослабевает интерес математиков, занимающихся асимптотическими методами, к дифференциальным уравнениям, содержащим малый параметр при старшей производной, так называемым сингулярно возмущенным уравнениям. Этот интерес вызван потребностями практики, где возникают подобного рода уравнения. Основополагающие результаты для таких уравнений были получены А. Н. Тихоновым и А. Б. Васильевой (см., например, [4, 20]).

Методы теории сингулярно возмущенных уравнений естественным образом используются для сингулярно возмущенных задач оптимального управления путем асимптотического анализа краевых задач, вытекающих из условий оптимальности управления (см., например, обзоры [5, 9, 13, 26, 28]).

Для построения первого приближения в задаче управления нелинейными слабоуправляемыми системами при наличии ограничений на управление типа замкнутых неравенств Черноусько Ф. Л. (см., например, [24]) использовал непосредственную подстановку в условия задачи постулируемого асимптотического разложения решения. Этот подход получил развитие в работах Белокопытова С. В. и Дмитриева М. Г. (см. [3, 25]), посвященных исследованию сингулярно возмущенных непрерывных задач оптимального управления в случае отсутствия ограничений на управление, и был назван ими прямой схемой. При таком подходе учитывается вариационная природа исходной задачи. Существенным преимуществом является также возможность доказать невозрастание значений минимизируемого функционала при использовании нового приближения оптимального управления и использовать пакеты программ для решения задач оптимального управления, чтобы найти члены асимптотического разложения. Обзор работ, посвященных применению прямой схемы в различных задачах, приведен в статье [9]).

Для построения асимптотики решения сингулярно возмущенной линейно — квадратичной задачи управления без ограничений на управление может быть использован вид оптимального управления в форме обратной связи и асимптотика решения матричного дифференциального уравнения Риккати, с помощью которого строится оптимальное управление в форме обратной связи. При этом нет необходимости решать двухточечные краевые задачи (см. например, работы [6, 27, 29]).

Целью диссертационной работы является построение асимптотики решений сингулярно возмущенных линейно — квадратичных задач оптимального управления с разрывными коэффициентами двумя способами: используя прямую схему и вид оптимального управления в форме обратной связи.

Отметим, что асимптотика решений сингулярно возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений в случае, когда вырожденное уравнение имеет разрывное решение, была построена в [12, 18, 16].

Ранее сингулярно возмущенные линейно — квадратичные задачи исследовались только в случае непрерывных коэффициентов. При наших условиях на внеинтегральный член в критерии качества поведение при стремлении малого параметра к нулю решения задачи Коши для сингулярно возмущенного матричного дифференциального уравнения Риккати, возникающего при построении оптимального управления в форме обратной связи, изучалось в [27]. Общая форма внеинтегрального члена приводит к более сложной зависимости от малого параметра решения задачи Коши для рассматриваемого уравнения Риккати (см., например, [6]).

Диссертация состоит из введения, двух глав и списка цитируемой литературы из 35 наименований. Общий объем диссертации — 125 стр. Изложение проиллюстрировано компьютерной графикой (9 рисунков), выполненной при помощи вычислительно — программного комплекса Maple.

1. Андреев, Ю. Н. Управление конечномерными линейными объектами. / Ю. Н. Андреев. — М.: Наука, главная редакция физико — математической литературы. — 1976. — 424с.

2. Ащепков, Л. Т. Оптимальное управление разрывными системами / Л. Т. Ащепков. -Новосибирск: Наука, 1987. 225с.

3. Белокопытов, С. В. Решение классических задач оптимального управления с погранслоем / С. В. Белокопытов, М. Г. Дмитриев // Автоматика и телемеханика. -1989. № 7. — С. 71 — 82.

4. Васильева, А. Б. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений / А. Б. Васильева, В. Ф. Бутузов. М.: Наука, 1973. — 272с.

5. Васильева, А. Б. Сингулярные возмущения в задачах оптимального управления / А. Б. Васильева, М. Г. Дмитриев // Итоги науки и техники ВИНИТИ. Математический анализ. -1982. Т. 20. — С. 3 — 78.

6. Глизер, В. Я. Асимптотика решения одной сингулярно возмущенной задачи Коши, возникающей в теории оптимального управления / В. Я. Глизер, М. Г. Дмитриев // Дифференциальные уравнения. 1978. — Т. 14. — № 4. — С. 601 — 612.

7. Далецкий, Ю. JI. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю. JI. Далецкий, М. Г. Крейн. М.: Наука, главная редакция физико — математической литературы, 1970. — 536с.

8. Дмитриев, М. Г. Об одном классе сингулярно возмущенных задач оптимального управления / М. Г. Дмитриев // Прикладная математика и механика. — 1978. — Т. 42. Вып. 2. — С. 228 — 232.

9. Дмитриев, М. Г. Сингулярные возмущения в задачах управления / М. Г. Дмитриев, Г. А. Курина // Автоматика и телемеханика. -2006. № 1. — С. 3−51.

10. Дмитрук, А. В. Прицип максимума для задач оптимального управления с промежуточными точками / А. В. Дмитрук, А. М. Каганович // Нелинейная динамика и управление (Ред. С. В. Емельянов, С. К. Коровин), вып. 6. М: Физматлит, 2008. — С. 101 — 136.

11. Захаров, Г. К. Оптимизация ступенчатых систем управления / Г. К. Захаров // Автоматика и телемеханика. 1981. — № 8. — С. 5 — 9.

12. Какишов, К. К. Исследование по интегро дифференциальным уравнениям / Фрунзе: Илим, 1988. Вып. 21.

13. Курина, Г. А. Сингулярные возмущения в задачах оптимального управления с уравнением состояния, не разрешенным относительно производной. Дисс.. док. физ. мат. наук. Воронеж. — 1992.

14. Леллеп, Я. Основы математической теории оптимального управления / Я. Леллеп. Тарту: Тартуский государственный университет. — 1981. -87с.

15. Ли, Э. Б. Основы теории оптимального управления / Э. Б. Ли, Л. Маркус. М.: Наука, главная редакция физико-математической литературы, — 1972. — 576 с.

16. Мельник, Т. А. Асимптотика решений разрывных сингулярно возмущенных краевых задач / Т. А. Мельник // Украинский математический журнал. 1999. — Т. 51. — № 6. — С. 861 — 864.

17. Моисеев, Н. Н. Асимптотические методы нелинейной механики. / Н. Н. Моисеев. М.: Наука, 1981. — 400 с.

18. Покорная, И. Ю. Метод коллокации решения сингулярно возмущенных краевых задач с помощью кубических сплайнов минимального дефекта / И. Ю. Покорная. Дисс.. канд. физ. мат. наук, Воронеж. — 1996.

19. Понтрягин, Л. С. Математическая теория оптимальных процессов / Л. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко. 4-е изд. — М.: Наука, главная редакция физико-математической литературы, 1983. — 392 с.

20. Тихонов, А. Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащих малые параметры при произвоных / А. Н. Тихонов // Математический сборник. 1952. — Т. 31. — № 3. — С. 575 — 586.

21. Соболев, В. А. Сингулярные возмущения в линейно-квадратичной задаче оптимального управления / В. А. Соболев // Автоматика и телемеханика. 1991. — № 2. — С. 53 — 64.

22. Филиппов, А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью / А. Ф. Филиппов. М.: Наука, 1985.

23. Черноусько, Ф. Л. Некоторые задачи оптимального управления с малым параметром / Ф. Л. Черноусько // Прикладная математика и1 механика. 1968. — Т. 32, вып. 1. — С. 15 — 26.

24. Черноусько, Ф. Л. Управления колебаниями. / Ф. JI. Черноусько, JI. Д. Акуленко, Б. Н. Соколов. М.: Наука, 1980. — 384 с.

25. Belokopytov, S. V. Direct scheme in optimal control problems with fast and slow motions / S. V. Belokopytov, M. G. Dmitriev // Systems and Control Letters. -1986. 8, N. 2. — P. 129 — 135.

26. Naidu, D. S. Singular perturbations and time scales in control theory and applications: An overview / D. S. Naidu // Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems Series B: Applications and Algorithms. 2002. — V. 9. — P. 233 — 278.

27. Kokotovic, P. V. Singular perturbation of linear regulators: baisc theorem / P. V. Kokotovic, R. A. Jackel // IEEE Trans. Automat. Control. 1972. — V. 17, — N 1. — P. 29 — 37.

28. Kokotovic, P. V. Singular perturbation and order reduction in control theory an overview. / P. V. Kokotovic, R. E. O’Malley, Jr. P. Sannuti // Automatica. — 1976. — V. 12, — № 3. — P. 123 — 132.

29. Yackel, R. A. A boundary layer method for the matrix Riccati equations. / R.A. Yackel, P.V. Kokotovic // IEEE Trans. Automat. Control. 1973. -V.AC 18, — N 1. — P. 17 — 24.

30. Нгуен Тхи Хоай. О нулевом приближении метода прямой схемы построения асимптотики решения линейно квадратичной задачи управления с разрывными коэффициентами / Нгуен Тхи Хоай // - 2010. — Деп. в ВИНИТИ 16.03.2010. — № 166 — В2010. — 21с.