Исследование напряженно-деформированного состояния пространственных тонкостенных конструкций сложной геометрии методом конечных элементов

В современном машиностроении все большее применение находят пространственные тонкостенные конструкции,?которые позволяют в значительной мере повысить прочность различных деталей и узлов при минимальных расходах материала. Наличие всевозможных концентраторов и подкрепляющих элементов требует проведения комплекса исследований напряженно-деформированного состояния при создании подобных конструкций.

Увеличение нагрузок и задача снижения материалоемкости конструкций предъявляют высокие требования к их прочностным качествам и ведут к существенному усложнению геометрии.

Реальные машиностроительные конструкции состоят из набора пластин, цилиндрических, конических и пологих оболочечных участков, имеющих всевозможные вырезы и отверстия. Многие детали представляют собой двухслойные и многослойные пластины и оболочки.

Решить поставленные задачи проектирования в большой мере позволяет развитие современных методов расчета тонкостенных конструкций.

Теоретические основы расчета многослойных конструкций заложены в работах Амбарцумяна С. А., Александрова А. Я., Болотина В. В., Григолюка Э. И., Григоренко Я. М., Галимова К. З., Королева В.И.* Куршина Л.ГЛ., Муштари Х. М., Новичкова Ю. М., Пелеха Б. Л., Прусакова А. П., Саченкова А. В., Тетерса Г. А., Чулкова А. П. и др. При этом весьма эффективным в практических расчетах показал себя метод гипотез, когда некоторые допущения о напряженно-деформированном состоянии по толщине оболочки или пластины позволяют свести трехмерную задачу к двухмерной.

Можно выделить два направления в применении метода гипотез. Первое направление основано на применении кинематических гипотез для каждого отдельного слоя, когда порядок системы уравнений зависит от числа слоев. Значительное развитие указанное направление в теории слоистых сред получило в работах Болотина В. В. и Новичкова Ю. Н. В работе [ 11] на основе единого подхода предложена теория многослойных конструкций при произвольном числе слоев и широких допущениях о свойствах отдельных слоев. Сравнительный анализ и развитие теорий для многослойных оболочек переменной толщины, которым соответствуют различные предположения об изменении сдвиговых деформаций и напряжений, даны в работах Григоренко Я. М. [¦18,19] Л Подобный подход позволяет получить решения для задач со значительным изменением параметров упругости по слоям.

В тех случаях, когда свойства материалов по слоям разнятся незначительно, весьма эффективным оказывается второе направление метода гипотез, когда определенные кинематические допущения принимаются для всего пакета слоев в целом. В этом случае порядок разрешающих уравнений не зависит от числа слоев. Широкое развитие в этом направлении получила модель С. П. Тимошенко. Для пластин неклассическая теория была построена Э. Рейсснером [96] и Р. Миндлиным [S4]. Обобщение модели и ее развитие для оболочек можно найти в работах Галимова К. З., Саченкова А. В. и др. [141, Пелеха Б. Л. Цурпала И.А.,.

Тамурова Н.Г. [6 3]. Развитие модели С. П. Тимошенко в применении к расчету устойчивости и оптимизации многослойных оболочек из композитных материалов приведено в работах Тетерса Г. А.,.

Рикардса Р.Б. Г. Расчет реальных многослойных конструкций сложной геометрии позволяют сделать теоретические разработки, предложенные в работах Чулкова П. П. и Паймушина В. Н. [39, <<0,64].

Однако даже при наличии разработанного математического аппарата исследования многослойных конструкций для эффективного решения задачи рационального проектирования машиностроительных конструкций при всем их многообразии необходимо применение численных методов расчета. Метод конечных элементов (МКЭ) является в этом отношении наиболее универсальным, так как позволяет рассчитывать конструкции произвольной геометрии при сложном характере нагружения. Основное достоинство ЖЭ заключается в том, что он объединяет преимущества численных методов решения вариационных задач (Ритца, БубноЕа-Галеркина и т. д.) и сеточных методов.

За сорок лет (начиная с работ Сига. п (R.C731, Ръадег I Тиъпег М. CtozJ) ЖЭ получил широкое развитие как за рубежом, так и в отечественной литературе в работах Розина Л. А., Постнова В. А., Шапошникова Н. Н., Григоренко Я. М., Корнишина М. С., 13урмана З.И., Сахарова А. С. и др. Вариационные принципы, на которых базируется метод, могут быть сведены в общую схему, приведенную на рис. 1. В верхней части схемы представлены традиционные вариационные принципы.

Принцип минимума потенциальной энергии ' (функционал ХР) содержит в качестве искомой функции поле перемещений U Перемещения и аппроксимируются пробными функциями, А ,.

Традиционные вариационные принципы.

Принцип Лагранжа u=At J.

—[.

Совместная модель I.

JP (q).

Принцип Ху-Вашицу.

Принцип Рейсонера.

6″ = pfi.

Смешанная модель 2.

Принцип Кастильяно hrc ссЬ)*0.

Равновесная модель I Тс (Р).

Модифицированные вариационные принципы.

Принципы Лагранжа cfVr. pi (ч>т а=Сы Т=Мр

Гибридная модель перемещений I.

Х.01 (Ы. Р^Х^Ф.

Гибридная модель перемещений 2.

Принцип Кастильяно.

Wu.

Гибридная модель. перемещений 3 трз (Ъ).

Гибридная модель напряжений.

Жтс (Atf—JiV).

Равновесная модель 2.

Смешанный метод.

61[Р «T0i%J.

Рис. 1 Диаграмма вариационных принципов метода конечных элементов где в качестве варьируемых коэффициентов фигурируют узловые обобщенные перемещения^. Окончательное расчетное уравнение можно представить в форме :

I) где К — матрица жесткости конструкции.

Q — Еектор обобщенных узловых сил.

К уравнению (I) приводит известный метод перемещений [ 16, 2 6, 2 7, 45,50].

Наиболее общий принцип Ху-Вашицу, основанный на варьировании перемещениями, деформациями и напряжениями, позволяет получить принцип Рейсснера (функционал ^), базирующийся на вариации перемещений и напряжений [50, 68 ] .В этом случае конечноэлементная формулировка предполагает аппроксимацию пробными функциями как поля перемещений, так и поля напряжений. В качестве искомых величин выступают узловые значения перемещений Ц. и узловые значения напряжений р. Окончательное уравнение смешанного метода, который вытекает из функционала 7ГН, имеет вид: р' U0}.

О LQJ где И, б, Q — матрицы, полученные путем суммирования соответствующих матриц конечных элементов. Глобальная матрица в уравнении (2) не является положительно определенной и требует специализированных программ для решения системы уравнений.

Однако принцип Рейсснера можно представить в форме, когда не требуется непрерывность поля напряжений в рассматриваемой области при переходе от элемента к элементу 175]. Тогда имеется возможность аппроксимировать поле напряжений в пределах одного элемента пробной функцией Р с варьируемыми коэффициентами р, которые не несут конкретного физического смысла. Поле перемещений представляется, как и раньше, пробными функциями, А и узловыми перемещениями^. Вследствие, независимости параметров ft для различных элементов они могут быть выражены через узловые значения перемещений Ц-, что в результате ведет к уравнению метода перемещений (I). Однако, Вебеке показал [75], что в большинстве случаев такой подход ведет к тем же самым результатам, что и обычный метод перемещений, основанный на минимизации потенциальной энергии и имеющий более простой алгоритм.

Если аппроксимирующие функции для напряжений 6 удовлетворяют условиям равновесия, то имеем принцип минимума дополнительной энергии. В конечноэлементной формулировке в качестве неизвестных фигурируют узловые значения напряжений р. Такая модель конечного элемента (КЭ) называется равновесной и ведет к разрешающему уравнению метода сил [ 4 J .

При применении вышеизложенных традиционных принципов предполагалось, что искомые поля перемещений и напряжений аппроксимировались непрерывными функциями в пределах рассматриваемого объема деформируемого тела. Однако эти условия можно смягчить и применять разрывную аппроксимацию искомых функции, включив при этом в минимизируемый функционал условие непрерывности межэлементного взаимодействия, как ограничение, с соответствующим неопределенным множителем Лагранжа. Такой подход (модификация вариационных принципов) носит название гибридной формулировки.' Очевидно, что в этом случае параметры, описывающие искомую функцию, независимы от элемента к элементу и могут быть выражены через параметры, описывающие межэлементное взаимодействие путем применения вариационного принципа на урогне одного конечного элемента.

Например, модифицированный принцип дополнительной энергии, базирующийся на функционале Жпс (см. рис.1), может быть получен путем включения усилий межэлементного взаимодействия, как ограничений, в функциал и соответствующих множителей Лагранжа, которые в данном случае будут иметь физический смысл перемещений границ элемента. Таким образом, этот принцип имеет в своей основе аппроксимацию двух полей: напряжений и перемещений [92- Ю1]. Граничные перемещения и без труда могут быть аппроксимированы через узловые значения перемещений и функций координат L. Поле напряжений аппроксимируется независимо в каждом элементе через параметры fi и функции координат Р. Применив принцип минимума дополнительной энергии на уровне элемента путем варьирования параметрами fi можно выразить последние через узловые перемещения^, которые и будут фигурировать в качестве неизвестных при рассмотрении конструкции в целом. Этот метод позволяет получить гибридную модель, основанную на аппроксимации поля напряжений или, просто, гибридную модель напряжений. Этот же модифицированный принцип может быть использован иначе, когда граничное взаимодействие выражается в интегральной форме. Однако и в этом случае узловыми неизвестными остаются перемещения^, но это будет уже равновесная модель Я 2 (в отличие от модели № I, описанной выше) [75],.

Альтернативный подход возможен при использовании модифицированного принципа минимума потенциальной энергии. В этом случае с помощью параметров об, независимых от элемента к элементу, и функций координат С аппроксимируется поле перемещений в пределах элемента. В качестве множителей Лагранжа будут выступать граничные напряжения. Так как аппроксимация перемещений независима от элемента к элементу, параметры об могут быть выражены через узловые значения напряжений р и исключены на элементном уровне. Результирующие уравнения будут содержать только узловые значения напряжений в качестве неизвестных [7 г J. Это, очевидно, будут уравнения метода сил, а модель конечного элемента называется гибридная модель перемещений I.

Другая модификация принципа минимума потенциальной энергии Л~тРг основывается на независимой аппроксимации поля перемещений и в пределах конечного элемента, граничных перемещений й и введения межэлементного взаимодействия в качестве множителей Лагранжа [fOO]T. Так как Г и и независимы от элемента к элементу, то они могут быть выражены через узловые перемещения ц,, что ведет в итоге к уравнению метода перемещений. Эта модель конечного элемента носит название гибридная модель перемещений }Ь 2 (см. рис.1). Существует еще одна модификация функционала потенциальной энергии J/mp3 ,. которая основывается на независимой аппроксимации поля перемещений внутри элемента U и перемещений границ элемента и через узловые значения перемещений ^ Тогда результирующие уравнения будут уравнениями метода перемещений, а модель будет называться гибридной моделью перемещений В 3.

Рассмотрим перечисленные вариационные принципы в приложении к решению задач изгиба пластин и оболочек. Все модели конечных элементов, основанные на гипотезе КирхгоффаДява и базирующиеся на принципе минимума потенциальной энергии (традиционном или модифицированном) требуют непрерывности прогибов и производных по нормали иг) п к границе между элементами. Построить совместную модель, т. е. удовлетворяющую условиям не-" прерыЕНОСти ш и иг) П, для традиционного принципа минимума потенциальной энергии удается только в случае включения в КЭ дополнительных узлов [70, 72]. В большинстве случаев для использования простейших конечных элементов пренебрегают требованием совместности и удовлетворяют лишь условиям непрерывности прогибов иг. В этом случае не требуется введения дополнительных узлов, однако применение подобных КЭ требует большой осторожности, так как во многих случаях результаты расходятся при измельчении сетки конечных элементов, вследствие нарушения условия совместности [ 17, 2B, 3Sf Ьк^б, 95].

Простейший конечный элемент пластины Кирхгоффа-Лява, удовлетворяющий условиям совместности, можно построить используя гибридную модель напряжений. В работах[6Ъ69,0% т] представлены матрицы жесткости простейших конечных элементов, основанных на применении модифицированного принципа ffp. Однако количество коэффициентов jb в аппроксимирующих полиномах поля напряжений должно быть достаточно большим. В противном случае можно получить вырожденное решение (движение тела, как жесткого целого [91]). Однако при значительном количестве коэффициентов Jb нет возможности получить аналитическое выражение для матрицы жесткости, т.к. требуется обращение матрицы размером п*л, где л — количество коэффициентов Р (обычно от 18 до 24). Это приводит к необходимости обращения матрицы в процессе вычислений по каждому элементу, что существенно увеличивает время расчета.

Применение принципа представляет определенные трудности, так как требуется аппроксимировать три поля: поле перемещений Енутри элемента, поле граничных перемещений и поле межэлементного взаимодействия. Однако работы [69,100] показывают, что в большинстве случаев, даже если удается получить матрицу жесткости, основанную на этом гринципе, решение оказывается идентичным с обычной совместной моделью. Таким образом предпочтение следует отдать традиционному вариационному принципу ЗГр .

Простейшая гибридная модель перемещений использовалась как для получения матриц жесткости треугольных, так и четырехугольных элементов [&D,$i]. Однако при определенной форме треугольных элементов модель становится крайне нестабильной и дает расходящийся результат. Это является серьезным препятствием при применении указанных элементов.

Применение смешанной модели, основанной на принципе Рейсснера, позволяет достаточно просто построить аппроксимирующие полиномы для прогибов иг и напряжений б, т.к. для и/ требуется непрерывность только самой функции (но не ее производных). Для треугольных и четырехугольных элементов пластины характерна наилучшая точность и сходимость решения при определении поля напряжений по сравнению с другими элементами ?6 5 7]. Однако в каждом узле такой конечноэле-ментной схемы содержится практически удвоенное количество неизвестных по сравнению с остальными моделями, что Еедет к существенному увеличению времени решения системы уравнений, увеличению настолько большому, что во многих случаях исключается возможность решения задачи.

Рассмотрим возможность построения модели КЭ пластины типа Тимошенко. В этом случае, применяя принцип минимума потенциальной энергии, можно построить совместную модель простейшего конечного элемента, т.к. независимая аппроксимация прогибов и углов поворота позволяет применить простейшие аппроксимирующие полиномы. Однако некоторые исследования показали, что такие КЭ дают удовлетворительную точность для пластин средней толщины, в случае достаточно тонких пластин модель дает значительную погрешность. Имеются рекомендации по улучшению сходимости путем сокращенного интегрирования ?107], двойной аппроксимации угла поворота [6,9], применения моментной схемы конечных элементов ?52], получившие обобщение в работе В. П. Болдычева LW]. Одним из вариантов улучшения сходимости является введение дополнительных узлов на сторонах конечного элемента [Ьв-^д], однако это увеличивает количество неизвестных в расчетной схеме.

В связи с этим представляет интерес разработка конечного элемента на основе модели С. П. Тимошенко, имеющего минимальное количество узлов, обладающего высокой сходимостью и позволяющего выполнять расчеты многослойных пластин и оболочек в широком диапазоне толщин (разработки по КЭ многослойных пластин и оболочек на основе других моделей можно найти в работах При разработке КЭ требуется уделить особое внимание вопросам сглаживания разрывного поля напряжений, получаемого при расчетах по принципу Лагранжа, автоматизации подготовки исходных данных и обработки результатов расчета при проектировании равнопрочных конструкций.

Настоящая работа посвящена исследованию напряженно-деформированного состояния однослойных и многослойных оболочек сложной геометрии методом конечных элементов. На защиту еыносятся следующие положения: а) получение матриц жесткости конечных элементов многослойной пологой оболочки, обладающих повышенной сходимостью решения при минимальном количестве узловб) метод аппроксимации разрывной функции непрерывной на основе решения вариационного уравнения методом конечных элементовв) алгоритм автоматизированного построения сетки конечных о элементов для пространственных тонкостенных конструкции и графического отображения результатов расчета на периферийных устройствахг) методика построения дискретно-равнопрочной конструкции путем варьирования толщиной конечных элементов в расчетной схемед) исследование напряженно-деформированного состояния тонкостенных узлов автомобиля КамАЗ.

Теоретические предпосылки, методы и результаты решения поставленных задач изложены в пяти главах диссертации.

В первой главе приведены основные допущения, принятые при расчетах многослойных пологих оболочек. Рассмотрены пути расчета тонкостенных конструкций методом конечных элементов, предложен способ построения расчетной схемы оболочки произвольной геометрии на основе плоских или пологих конечных элементов. Исследованы известные способы построения аппроксимирующих функций для компонент перемещений с целью повышения точности расчетов для пластин и оболочек типа Тимошенко.

Во второй главе получены основные соотношения для треугольного шестиузлового и трехузлового элементов многослойной пологой оболочки несимметричного строения. При Еыводе соотношений шестиузлового элемента применялась квадратичная аппроксимация поперечного прогиба иг путем введения соответствующих степеней свободы в узлах, лежащих на серединах сторон КЭ. Для аппроксимации тангенциальных смещений и к if применялся линейный полином.

Квадратичная аппроксимация поперечного прогиба для трехузлового элемента строилась из условия постоянства перерезывающих усилий вдоль сторон элемента, что позволяло определить дополнительные коэффициенты в аппроксимации иг через коэффициенты линейных полиномов смещений и иг/. Исследована сходимость результатов расчета на основе разработанных КЭ при решении тестовых задач.

В третьей главе приведен вывод основных соотношений для произвольного четырехугольного элемента многослойной пологой оболочки. Аппроксимация поперечного прогиба строилась на основе гипотезы постоянства перерезывающих усилий по граням КЭ. Это позволило повысить степень аппроксимирующего полинома для иг, причем дополнительные коэффициенты, так же как и для трехузло-вого элемента, определялись через коэффициенты билинейной аппроксимации смещений Uи if. Все зависимости строились в локальной системе координат с последующим отображением в глобальную систему с помощью Якобиана преобразования координат.

В четвертой главе разработана методика аппроксимации разрывного поля напряжений, полученного при решении задач методом перемещений. Методика основана на решении вариационного уравнения задачи аппроксимации методом конечных элементов. Для решения задачи аппроксимации использовалась та же сетка КЭ, которая применялась при решении основной задачи определения напряженно-деформированного состояния оболочки. Полученные матрицы представлены в явном виде и позволяют распространить методику для определения значений любой разрывной функции в узлах конечно-элементной сетки. Непрерывная аппроксимирующая функция позволяет автоматизировать процесс обработки результатов расчета по ЖЭ.

В пятой главе произведен расчет реальных тонкостенных конструкций, как однослойных, так и многослойных. На примере расчета пологой сферической оболочки показана эффективность МКЭ. Для облегчения этапа подготовки данных к численному расчету и существенного ускорения процесса определения рациональной геометрии конструкции разработаны алгоритмы автоматизированной генерации конечноэлементной сетки, графического отображения результатов расчета и определения толщин, по элементам, с целью удовлетворения условиям равнопрочности. На основе разработанных алгоритмов произведен расчет узлоЕ автомобилей КамАЗ, даны рекомендации по их рациональному проектированию, что позволило получить значительную экономию металла.

Результаты выполненной работы могут быть использованы в машиностроении при проектировании узлов и деталей средней толщины, в судостроении при расчетах корпусных конструкций, в строительстве при анализе напряженно-деформированного состояния несущих панелей и куполов, в автомобилестроении при проектировании и доводке рам, состоящих из тонкостенных элементов, кронштейнов сложной геометрии с отверстиями и вырезамикузовных конструкций как металлических, так и выполненных из многослойных композиционных материалов.

Разработанная методика, алгоритмы и программы приняты к использованию в Управлении главного конструктора КамАЗа при создании системы автоматизированного проектирования и доводки (САЛРиД) автомобиля.

Работа прошла апробацию на научно-технических конференциях молодых специалистов КамАЗа (г.Брежнев, 1979,1980,1981 г.г.), ЗИЛа (г.Москва, 1981,1983 г.г.), научно-технической конференции Казанского инженерно-строительного института (г.Казань, 1982 г.), семинаре по строительной механике под руководством профессора Л. А. Розина при Ленинградском политехническом институте (г.Ленинград, 1982 г.), семинаре координационного Совета по САПР Министерства автомобильной промышленности СССР (г.Москва, 1980г), республиканской научно-технической конференции «Механика сплошных сред» (г.Брежнев, 1982 г.), Всесоюзной школе молодых ученых.

Актуальные проблемы механики оболочек" (г.Казань, 1983 г.), Всесоюзных школах-семинарах по методу конечных элементов (г.Рига, 1981 г.- г. Киев, 1983 г.).

Основное содержание работы изложено в восьми печатных работах [<2,29−33, ?6, S~r]. В работе [t2] автору принадлежит разработка расчетных схем кронштейнов рамы автомобилей КамАЗ, анализ напряженно-деформированного состояния и поиск рациональной конструкции кронштейнов. В работе [3l] автором разработан программный комплекс и методика расчета для балки передней оси грузового автомобиля. В работе [32] автору принадлежит разработка идеологии и программного обеспечения для решения задач по МКЭ на мини-ЭВМ класса СМ-4. В работе [33] автором предложен и внедрен в практику расчетов способ построения матрицы жесткости оболочки произвольной геометрии на основе плоских (или пологих) конечных элементов. В работе [56] автором проведен вывод основных матричных соотношений для решения задачи аппроксимации и внедрение их в практику расчетов. В работе [5г] автору принадлежит выеод матрицы жесткости для треугольного и четырехугольного КЭ, их тестирование и внедрение в практику расчетов.

Основные результаты работы сводятся к следующему :

1. Получены модели конечных элементов многослойной пологой оболочки с несимметричным расположением слоев по толщине. Конечные элементы имеют минимальное количество узлов.

2. Исследованы сходимость и точность решения по разработанным моделям, показаны их эффективность по сравнению с другими конечными элементами, как с линейной, так и более сложной аппроксимацией.

3. Получены основные соотношения для решения задачи аппроксимации разрывных функций методом конечных элементов. Приведены аналоги матрицы жесткости и вектора правых частей для различных элементов, показана возможность уточнения решения для напряжений при использовании аппроксимация.

4. Решена задача о напряженном состоянии многослойной сферической оболочки, ослабленной отверстиями различных размеров. Показано влияние размеров отверстия на характер распределения напряжений с учетом краевого эффекта в заделке.

5. Разработаны методики автоматизированного разбиения на конечные элементы пространственных тонкостенных конструкций, графического вывода сетки конечных элементов и поля изолиний перемещений и деформаций.

6. Решена задача построения итерационного процесса расчета дискретно-равнопрочной конструкции.

7. Разработана расчетная схема и исследовано напряженно деформированное состояние тормозного барабана автомобиля КамАЗ. Даны рекомендации по выбору оптимальной толщины барабана, обеспечивающей минимум суммарных напряжений от статической нагрузки и температурного воздействия.

8. .Произведен расчет напряжений и деформаций несущей балки рамы автомобиля-самосвала. Показано, что вектор замкнутого профиля и рациональный закон распределения толщин позволяют добиться значительного снижения материалоемкости конст- -рукции при. удовлетворении условиям прочности.

9. Путем направленного перебора сечений с помощью расчета по МКЭ определена общая закономерность построения рационального профиля балки передней оси автомобиля КамАЗ. На примере расчета кронштейна поперечины рамы автомобиля показана возможность сочетания экспериментальных исследований с последующим расчетом на ЭВМ.

10. Разработанные модели и алгоритмы реализованы в комплексе программ на мини-ЭВМ «//OVA -1220» и внедрены для проектирования и доводки автомобилей на Камском комплексе по производству большегрузных автомобилей (КамАЗ).

3 А К Л 10 Ч Е Н И Е.

В настоящей работе рассмотрены вопросы развития метода конечных элементов в применении к расчету иапряженно-деформирован-ного состояния многослойных конструкций сложной геометрии: