О предельном поведении неустойчивых решений стохастических диффузионных уравнений

Асимптотические задачи всегда занимали важное место в вероятностных исследованиях. Так, значительную часть теории вероятностей составляют теоремы типа законов больших чисел и центральной предельной теоремы. В последнее время основные интересы переместились на изучение случайных процессов. В стохастических дифференциальных уравнениях — одном из наиболее важных разделов теории случайных процессов — изучаются вопросы существования сильных и слабых решений в конечномерном евклидовом пространстве [13], [з], [**]" [б2], [б9], в гильбертовом и банаховом пространствах [3l], [i], [55], [5б], а также на многообразиях [5б], [бЗ], [б5]. Рассмотрение этих же вопросов с несколько других позиций — с мартингальной точки зрения — проведено в работах [64], [б8. Все увеличивающимися запросами многих разделов теоретической физики, задачами автоматического управления, радиотехники и механики много работ посвящено изучению стохастических дифференциальных уравнений в частных производных [32], [V], [57]" [74], [бб] и другие. Однако асимптотические задачи продолжают играть ведущую роль". В стохастических дифференциальных уравнениях они возникают в связи с изучением ограниченности или неограниченности решений [ll|,.

6l], устойчивости [1б], [ 7], [ 9], [54], [зб], [37], [29], [70], [71] и эргодичности < [52], [14], [вч], [73], [75], [и] решений, в связи с изучением предельного при t поведения решений стохастических дифференциальных уравнений и другие [б1].

Систематическим изучением предельного поведения решения т одномерного стохастического дифференциального уравнения в середине 60-х годов занялся Г. Л. Кулинич. Он доказал, что при /•"" решение ЖО уравнения dM°a{W)dt + cMf) неограниченно по вероятности и в пределе распределения случайт vffl ных величин -?==" и -7=- совпадают, если ft (т о о a (oc)da> = о.

17]. Далее эта задача обобщалась в различных направлениях: <�я (сс) — функция колебательного характера [l9], [20] - ftix)*" ^ ПРИ [22] - находились условия, когда решение ?(/) неоднородного уравнения при /-««» ведет себя как решение однородного [2l] и другие.

Этапным в развитии предельного поведения решения одномерного стохастического дифференциального уравнения был выход монографии И. И. Гихмана и А. В. Скорохода [п].

Однако переход к многомерному случаю был связан с определенными трудностями. Впервые их удалось преодолеть А. Фридману в работе [59]. Затем в 1975 году вышла работа [22], где исследовалось предельное при ° поведение, неустойчивых компонент iy (/) решения ?(/) = (^-(/J, i-^ol) уравнения dm °a (tMW + 1д (/, m) dwk{t) (/) ы и была толчком дальнейших многочисленных исследований в R^: этот вопрос изучался для систем со случайными коэффициентами [25], рассматривалось предельное поведение функционалов интегрального типа от таких компонент [24], исследовалось асимптотическое поведение решений стохастических дифференциальных уравнений, коэффициенты которых нерегулярным образом зависят от параметра [23] и другие.

Совсем недавно в работе [2б] для одномерного случая были найдены необходимые и достаточные условия сходимости решения стохастического уравнения к обобщенному процессу. Понятие обобщенного диффузионного процесса введено Н. И. Портенко в работе М.

Настоящая диссертационная работа состоит из введения и двух глав.

1. Белопольская Я. И., Наголкина З. И. Об одном классе стохастических уравнений с частными производными.- Теория вероятн. и её применен., 1982, ХХУП, 3,0.551−559.

2. Веретенников А. Ю. О сильных решениях стохастических дифференциальных уравнений.- Теория вероятн. и её применен., 1979, XXIУ, с.348−360.

3. Веретенников А. Ю. О сильных решениях и явных формулах для решений стохастических интегральных уравнений.- Матем. сб., 1980, III, 3, с.434−452.

4. Веретенников А. Ю. О критериях существования сильного решения стохастического уравнения.- Теория вероятн. и её применен., 1982, ХХУП, 3, с.417−427.

5. Веретенников А. Ю, Параболические уравнения и стохастические уравнения Ито с коэффициентами разрывными по времени.- Мат. заметки, 1982, 31, 4, с, 549−557.

6. Гихман И. И. Дифференциальные уравнения со случайными функциями.- В кн.: Зимняя. школа по теории вероятностей и математической статистике.- Киев.: Наукова думка, 1964, с.41−85.

7. Гихман И. И. Об устойчивости решений стохастических дифференциальных уравнений.- В кн.: Предельные теоремы и статистические выводы.- Ташкент: ФАН, 1966, с.14-£5.

8. Гихман И. И. Стохастические дифференциальные уравнения и предельные теоремы, — В кн.: Шестая летняя математическая школа по теории вероятностей и математической статистике.- Киев: Институт математики АН УССР, 1969, с.5−58.

9. Гихман И. И., Дороговцев А. Я. Об устойчивости решений стохастических дифференциальных уравнений.- Укр. мат. журн., 1965, ХУП, 6, с.3−21.

10. Гихман И. И., Скороход А. В.

Введение

в теорию случайных процессов, — М.: Наука, 1965, -656с.

11. Гихман И. И., Скороход А. В. Стохастические дифференциальные уравнения, — Киев: Наукова думка, 1968, — 354с.

12. Гихман И. И., Скороход А. В. Теория случайных процессов. Т.З.-М.: Наука, 1975. 496с. .

13. Звонкин А. К., Крылов Н. В., 0 сильных решениях стохастических дифференциальных уравнений.- В кн.: Труды школы-семинара по теории случайных процессов (Друскининкай, 1974 г.), Вильнюс, 1975, с, 9−88.

14. Ильин A.M., Хасьминский Р. З. Асимптотическое поведение решений параболических уравнений и эргодическое свойство неоднородных диффузионных процессов, — Матем. сборн., 1963, 60, 3, с.366−392.

15. Ито К, Маккин Г. Диффузионные процессы и их траектории.-М.: Мир, 1968. 394с.

16. Кац И. Я., Красовский Н. Н. Об устойчивости систем со случайными параметрами.- Прикладн. матем. и механ., I960, 27, 5, с. 809−823.

17. Кулинич Г. Л, Предельное. поведение решения стохастического диффузионного уравнения.- Укр. мат. журн., 1967, XIX, 3, с.119−125,.

18. Кулинич Г. Л. О предельном поведении распределения решения стохастического диффузионного уравнения.- Теория вероятн. и её применен., 1967, XII, 3, с.548−551.

19. Кулинич Г. Л. Асимптотическая нормальность распределения решения стохастического диффузионного уравнения, — Укр. мат. журн., 1968, XX, 3, с.396−400.

20. Кулинич Г. Л. Предельные распределения решения стохастического диффузионного уравнения.- Теория вероятн. и её применен. 1968, XIII,, с.502−506.

21. Кулинич Г. Л. Об асимптотическом поведении распределения решения неоднородного стохастического диффузионного уравнения. Теория вероятн. и матем. статистика, Киев, 1971, вып. 4, с.95−102.

22. Кулинич Г. Л. Асимптотическое поведение неустойчивых решений систем стохастических диффузионных уравнений.- В кн.: Труды школы-семинара по теории случайных процессов (Друс-кининка", 1974 г.), Вильнюс, 1975, с.168−201.

23. Кулинич Г. Л. Предельные теоремы для одномерных стохастических дифференциальных уравнений при нерегурярной зависимости коэффициентов от параметра.- Теория вероятн. и матем. статистика, Киев, 1976, вып. 15, с.99−114.

24. Кулинич Г. Л. О предельном поведении решений стохастических дифференциальных уравнений диффузионного типа со случайными коэффициентами. В кн.: Предельные теоремы для случайных процессов, изд. Ин-та математики АН УССР, Киев, 1977, с.137−151.

25. Кулинич Г. Л. О предельном поведении неустойчивых решений стохастических.дифференциальных.уравнений со случайными коэффициентами.- Теория вероятн. и её применен. 1978, XXIII, 1. с.222−227.

26. Кулинич ГЛ. О необходимых и достаточных условиях сходимости решений одномерных диффузионных уравнений к обобщённому процессу.- Теория вероятн. и её применен. 1981, XXУ1, I, с.212−213.

27. Кулинич ГЛ., Петров И. Б. Асимптотическое поведение модуля части компонент системы стохастических диффузионных уравнений.- Тезисы докладов республиканской конференции по теории стохастических дифференциальных уравнений, Донецк, 1982, с.60−61.

28. Кулинич ГЛ., Петров И. Б. О предельном поведении модуля части компонент системы стохастических диффузионных уравнений Ито.- Теория вероятн. и математ. статистика, Киев, 1983, вып. 28, с.70−78.

29. Кушнер Г. Дж. Стохастическая устойчивость и управление.-М.: Мир, 1969. 200с.

30. Крылов Н. В. Управляемые процессы диффузионного типа, — М.:. Наука, 1977. 400с.

31. Крылов Н. В., Розовский Б Л. Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Соврем, пробл. мат. 1979, 14, с.71−146.

32. Крылов Н. В., Розовский Б Л. Стохастические дифференциальные уравнения в частных производных и диффузионные процессы.- Успехи мат. наук, 1982, 37, 6, с.75−95.

33. Лоэв М. Теория вероятностей.- М.: Иностранная литература, 1962. 719с.

34. Ляшко И. И. и др. Математический анализ в примерах и задачах. T.I.- Киев: Выща школа, 1974, 678с.

35. Маккин Г. Стохастические интегралы.- М.: Мир, 1972. 184с.

36. Невельсон М. Б. Об устойчивости в целом траекторий Марковских процессов диффузионного типа, — Дифференциальные уравнения, 1966, 2, 8, с.1052−1060.

37. Невельсон М. Б., Хасьминский Р. З. Об устойчивости стохастических систем.- Проблемы передачи информации. 1966, 2, 3, с.76−81.

38. Петров И. Б. О предельном поведении решений стохастических дифференциальных уравнений диффузионного типа в трехмерном пространстве, — В кн.: Вероятностный бесконечномерный анализ. Киев: изд. ИМ АН УССР, 1981, с.84−92.

39. Петров И. Б. Предельное поведение решений стохастических диффузионных уравнений в трехмерном пространстве.- В кн.: Некоторые вопросы математики и механики.- Изд. Московского университета, 1983, с.62−63.

40. Портенко Н. И. Диффузионные процессы с нерегулярным сносом.-В кн.: Труды школы-семинара по теории случайных процессовДрускининкай, 1974 г.), Вильнюс, 1975, с.127−146.

41. Портенко Н. И. Диффузионные процессы с обобщённым коэффициентом переноса.- Теория вероятн. и её применен. 1979, ХХ1У, I, с.62−77':

42. Портенко Н. И. Стохастические. дифференциальные уравнения с обобщённым вектором переноса.- Теория вероятн. и её применения. 1979, ХХ1У, 2, с.332−347.

43. Розовский Б. Л. Стохастические дифференциальные уравнения в частных производных, возникаюшие в задачах нелинейнойфильтрации.- Успехи мат. наук, 1972, 27, 3, с.213−214.

44. Розовский Б. Л. О стохастических дифференциальных уравнениях в частных производных.- Мат. сборник, 1975, 96, 2, с. 314−341.

45. Скороход А. В. Предельные теоремы для случайных процессов.-Теория вероятн. и её применен. 1956, 1,3, с.289−319.

46. Скороход А. В. Исследования по теории случайных процессов.-Киев: Изд-во Киевского университета, I96I.-2I6c.

47. Скороход А. В. Стохастические уравнения для процессов диффузии с границами.- Теория вероятн. и её применен. 1961, 6, 3, с.287−298.

48. Скороход А. В. Стохастические уравнения для процессов диффузии с границами.- Теория вероятн. и её применен. 1962, 7, I, с.5−25.

49. Струк Д. В., Варадан С.Р. С. Диффузионные процессы с непрерывными коэффициентами.- Сб. перев. «Математика», 1971, 15:6, с.66−113- 1972, 16:1, с. ЮО-142.

50. Тараскин А. Ф. Об асимптотической нормальности векторных стохастических интегралов и оценках параметров переноса многомерного диффузионного процесса, — Теория вероятн и ма-г тематическая статистика, Киев, 1970, вып.2, с.205−220.

51. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа.- М.: Мир, 1968. 424с.

52. Хасьминский Р. З. Эргодические свойства возвратных диффузионных процессов и стабилизация решений задачи Коши для параболических уравнений.- Теория вероятн. и её применен., I960, У, 2, с.196−214.

53. Хасьминский Р. З. Об устойчивости траекторий марковских процессов.- Приклад, математ. и механ., 1962, 26, 6, с.1025−1032.

54. Elworthy K.D. Stochastic differential equations on manifolds.- London Math. Soc. Lect. Note Ser., 1982, 170, 326 pp.

55. Friedman A. Limit behaviour of solutions of stochastio differential equations.- Frans. Amer. Math. Soc., 1972, 170, 359−384-.

56. Friedman A., Pinsky M.A. Asymptotic stability and spira-ling properties of solutions of stochastic equations.-Trans,-Amer. Math. Soc., 1973, 186, 331−358.

57. Friedman A. Stochastic Differential Equations and Applications.- Academic Press, New York, vol. 1, 1975, 227 p.- vol. 2, 1976, p. 229−307.

58. Ieh J. Existence of strong solutions for stochastic differential equations in the plane.- Pasif. J. Math., 1981,97, № 1, 217−24−7. * • •.

59. Mahno S. Ja. Limit theorems for stochastic equations with• • • *partial derivatives.- Lect. Notes Contr. and Inform. Sci., 1980, 25, 320−330. • *. •.

60. Maruyama G., Tanaka H. Some properties of one-dimensional diffusion processes.- Mem. Рас. Sci. Kyushu Univ., 1957, A-11, 2, 117−141. • • •.

61. Melnikov A.V. On strong solutions of stochastic equations•with respect to semimartingales.- Lect. Notes Contr. and • • ««1.f. Sci., 1982, 43, 122−127.

62. Metivier Michel. Strong solutions of stochastic equations• «• ¦ * •a review).- Rend Semin. mat. Univ. e politech. Torino, 1982, 39, fasc. spec.- Conf. Stochastic Prob. Mech., Torino, May, 28−30, 1971, 151−171.

63. Sasagawa P. A note on the exponential asymptotic properties of linear stochastic systems.- Int. J. Contr., 1981, 33, 6, 1155−1163.

64. Sasagawa P. On the exponential stability and instability of linear stochastic systems.- Int. J. Contr., 1981, 33,2, 363−370. • • * «.

65. Shiga Т., Watanabe S. Bessel diffusions as a one-parameter family of diffusion processes.- Z. Wahrscheinlich=# «• > *keitstheor. und verw. Geb., 1973, 27, 1, 37−46. • • •.

66. Szelely G.J. On the asymptotic properties of diffusion* «• > «» • *processes.- Ann. Univ. Sci. Budapest. Sec. math., 1974, 17, 69−71.

67. Ugowski Henryk. On weak solutions of random linear parabolic equations.- Demonstr. Math., 1980, 13, 1, 103−146.• * • •75″ Watanabe J, Mooto M. Ergodic property of reinrerrent dif-effusion processes.- Z. of the Math. Soo. of Japan, 1958, X, 3, 272−286.