Геометрические методы исследования периодических траекторий динамических систем

После обнаружения эффекта неинтегрируемости динамических систем [1 ] (см. также [2. ])и осознания его типичности, особое значение для аналитической механики приобрели вопросы качественного анализа. Одну из основных ролей при этом етало играть исследование периодических решений.

Проблемы существования периодических траекторий, исследования иж динамических и геометрических свойств продолжают интенсивно обсуждаться в настоящее время. Обзор результатов по классической задаче о замкнутых геодезических на компактном римано-вом многообразии содержится в книге В. Клингенберга [3 ] «(см. также статью Д. В. Аносова ]) — недавние результаты по исследованию существования периодических траекторий в областях возможности движения с краем и у систем с гироскопическими силами можно найти в работах С. П. Новикова [5 ] и В. В. Козлова [6]. Главную роль в этом направлении играют геометрические методы, берущие начало с работ Пуанкаре, Биркгофа, Морса и других авторов. Возможность применения этих методов обуславливается наличием известных вариационных принципов.

Продолжают оставаться актуальными вопросы интегрируемости конкретных динамических систем, причем хорошо известно, что свойство неинтегрируемости означает, как правило, не только невозможность «проинтегрировать» систему.(используя, скажем, теорему Лиувилля об инволютивных интегралах) — существенно большее значение с точки зрения качественного анализа играют сопутствующие динамические эффекты: появление большого количества невырожденных периодических решений, расщепление сепаратрис и т. д.

Одной из популярных классических динамических систем является бильярд Биркгофа — задача об исследовании движения точки в плоской области, ограниченной гладкой замкнутой выпуклой кривой. Внутри области точка движется прямолинейно, а отскок от криво! происходит по закону «угол падения равен углу отражения» .

Впервые эта задача была поставлена и исследована Биркгофом в работах [?" .

Биркгоф обнаружил такое важное свойство выпуклого бильярда, как наличие бесконечного количества периодических траекторий. Этот нетривиальный результат получен с помощью геометрической теоремы Пуанкаре о неподвижных точках сохраняющих площадь диффеоморфизмов кольца на себя. В первой главе настоящей работы приведено новое доказательство теоремы Биркгофа о существовании периодических решений бильярда, основаное на вариационных: методах. Если представить себе граничную кривую зеркальной, то траектории бильярда будут траекториями луча света, движущегося внутри областив силу принципа Ферма эти траектории обладают экстремальными свойствами, что и позволяет применить в этой задаче вариационные методы. Аналогом принципа Ферма в динамике является вариационный принцип Мопертюи, обоснованный в работах Эйлера, Лагранжа и Якоби (см. [11 ]).

Как уже отмечалось, свойства периодических траекторий динамических систем можно условно разбить на два класса: динамические и геометрические. Первые определяются отображением Пуанкаре, соответствующим данному периодическому решению. К ним относятся величины характеристических показателей, свойства невырожденности по Пуанкаре, динамической устойчивости. Вторые являются свойствами периодической траектории как критической точки функционала действия. К ним относятся индекс Морса, невырожденность по Морсу.

На первый взгляд геометрические свойства не имеют ясного механического смысла. Однако это не так. Впервые обратил внимание на связь устойчивости замкнутой геодезической на римановом многообразии со свойствами соответствующей критической точки функционала действия А.Пуанкаре. Им доказано, что невырожденная замкнутая геодезическая локально минимальной длины на двумерном ориентируемом римановом многообразий гиперболична, следовательно, неустойчива 11 ]. В дальнейшем усилиями ряда авторов этот результат был обобщен: индекс Морса невырожденной эллиптической замкнутой геодезической на двумерном римановом многообразии нечетный, если геодезическая ориентируема и четный в противном случае (см. [ 3 ]). В применении к бильярду Биркгофа последнее утверждение звучало бы так: индекс Мореа невырожденной эллиптической четно-звенной периодической траектории бильярда — нечетный.

В главе II доказываются подобные утверждения для бильярда. Более точно, получена формула, связывающая характеристические показатели периодического решения с определителем Гессе функции периметра в соответствующей критической точке (теорема 2). С помощью этой формулы исследуются различные классы периодических траекторий бильярда Биркгофа и его невыпуклых обобщений.

Замечательным является тот факт, что результаты и методы главы II переносятся на случай замкнутых геодезических на гладких римановых многообразиях (глава 1У). Теорема 4 из четвертой! главы дает формулу, связывающую характеристические показатели замкнутой геодезической с ее индексом Морса и является естественным обобщением теоремы 2 и приведенных выше классических результатов качественного характера. Конечно, следует иметь в виду, что, благодаря принципу Мопертюи результаты главы 1У пригодны для описания траекторий любых натуральных: гамильтоновых систем, так как последние являются геодезическими в метрике Якоби.

В конструкциях главы 1У важное место занимает один из вариантов восходящей к Морсу конечномерной аппроксимации окрестности рассматриваемой замкнутой геодезической в пространстве замкнутых кусочно-гладких кривых на многообразии. Благодаря этому вводится в рассмотрение такая важная характеристика критической точки функционала теперь уже обычной функции длины как матрица Гессе и ,.

Формула, аналогичная приведенной в теореме 4, впервые появилась в исследованиях Хилла i ]. Она касалась случая гамильтоновых систем с полутора степенями свободы. Однако, выражения входящие в эту формулу имели несколько иной смысл, в частности, аналогом ¿-А Н у Хилла был гессиан функционала действия в бесконечномерном пространстве кривых. Недавно С. В. Болотиш обобщил формулу Хилла на случай произвольного числа степеней свободы, см. [43] .

Отметим, что в случае многообразий размерности, большей, чем два, по простейшим геометрическим характеристикам таким, как индекс Морса не удается найти характеристические показатели замкнутой геодезической или хотя бы получить критерий динамической устойчивости. Тем не менее, найдены достаточные условия неустойчивости, а для случая двумерных многообразий получен критерий гиперболичности эллиптичности периодического решения.

1. Пуанкаре А., Новые методы небесной механики, т.1−3. В кн.: Избр. труды, т. 1−2. М.: Мир, 1965.

2. Козлов В. В., Интегрируемость и неинтегрируемость в гамиль-тоновой механике. Успехи мат. наук, 1983, 38, вып. Г, 3−67.

3. Клингенберг В., Лекции о замкнутых геодезических. М?: Мир, 1982.

4. Аносов Д. В., Замкнутые геодезические. В сб.: Качественные методы исследования нелинейных дифференциальных уравнений и нелинейных колебаний. Киев, 1981, с. 5−24.

5. Новиков С. П., Гамильтонов формализм и многозначный аналог теории Морса. Успехи мат. наук, 1982, 37, $ 5, 3−49.

6. Козлов В. В., Вариационное исчисление в целом и классическая механика. Успехи мат. наук, 1985, 40, $ 2, 33−60.7f bakflOfj G.D., On ifit Peicodlc Motions of Dynamical Ada MM.} vol 50, 1927.

7. Биркгоф Дж.Д., Динамические системы. М.Л.: Гостехиздат, 1941.

8. Лазуткин В. Ф., Выпуклый биллиард и собственные функции оператора Лапласа. Л.: Изд-во ЛГУ, 1981.

9. Синай Я. Г., Динамические системы с упругими отражениями. Эргодические свойства рассеивающих бильярдов. Успехи мат. наук, 1970, 25, Л 2, I4I-I92.

10. Вариационные принципы механики (сборник статей). М.: Физматгиз, 1959, 932 с.

11. HlN G. W, On Не Rait of the Motion of tie1. na7 РеидеР Whlcft is Function of He Mean Motions of tie Sun and Moon Ma Maty, Ж 1.1.

12. Болотин C.B., Об определителе Хилла периодического решения. Вестник Моск. ун-та сер. математика, механика, в печати.

13. Зигель К. Л., Об интегралах гамильтоновых систем. Математика. Период, сб. перев. ин. статей, 1961, 5, № 2, I03-II7.

14. Трещёв Д. В., К вопросу о существовании периодических траекторий бильярда Биркгофа. Вестник Моск. ун-та, сер. математика, механика, 1987, № 5, 72−75.

15. Трещёв Д. В., К вопросу об устойчивости периодических траекторий бильярда Биркгофа.' Вестник Моск. ун-та, сер. математика, механика, 1988, № 2,.

16. Трещёв Д. В., 0 связи индекса Морса замкнутой геодезической с ее устойчивостью. Труды семинара по векторному и тензорному анализу. М.: Изд-во МГУ, 1987.

17. Дубровин Б. А, Новиков С. П., Фоменко А. Т., Современная геометрия. Методы теории гомологий. М.: Наука, 1984.

18. Маскац R. S^Meiss J.D., Lineai stafchty oj peiicdic oiiiis In LagiancjLan systems. PftysLCs ietieis, иМЛ. А/З, M.

19. Мозер Ю., Лекции о гамильтоновых системах. М.: Мир, 1973.

20. Бахвалов Н. С., Численные методы., М.: Наука, 1973.

21. Арнольд В. И., Математические методы классической механики, М.: Наука, 1974,.