Диплом, курсовая, контрольная работа
Помощь в написании студенческих работ

Некоторые теоретико-числовые методы приближенных вычислений

ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Так как граничная функция класса зависит от вектора модификации сетки, то приближенное интегрирование одной и той же функции по модифицированным сеткам для разных векторов модификации приводит к появлению дополнительной информации о приближенном значении искомого интеграла. Такая ситуация естественно возникает при использовании произведения сеток, если соответствующим образом организовать… Читать ещё >

Содержание

  • 1. Численное интегрирование с правилом остановки
    • 1. 1. Равномерное распределение взвешенных узлов и приближенное интегрирование
    • 1. 2. Алгоритмы приближенного интегрирования с правилом остановки
    • 1. 3. Оператор взвешенных сеточных средних
    • 1. 4. Случайные величины и многомерные квадратурные формулы
    • 1. 5. Разбиение Н. М. Коробова
    • 1. 6. Обобщенные равномерные сетки
    • 1. 7. Обобщенные неравномерные сетки
    • 1. 8. Параллелепипедальные сетки
    • 1. 9. Оценки мультипликативной дискретной дисперсии для разных алгоритмов вычисления параллелепипедальных сеток
  • 2. Квадратурные формулы с модифицированными алгебраическими сетками
    • 2. 1. Введение
    • 2. 2. Вспомогательные леммы
    • 2. 3. Решётки и гиперболическая дзета-функция решёток
    • 2. 4. Алгебраические решётки
    • 2. 5. Обобщенная гиперболическая дзета-функция алгебраической решётки
    • 2. 6. Класс функций Е°{С)
    • 2. 7. Оценки сверху погрешности квадратурных формул на классах функций Ef (C)
    • 2. 8. Алгебраические сетки
    • 2. 9. Параметризация модифицированных алгебраических сеток биквадратичного поля Q (/2 + /з)
  • 3. Программная реализация алгоритма численного интегрирования с правилом остановки
    • 3. 1. Алгоритм Н. М. Коробова вычисления оптимальных коэффициентов
    • 3. 2. Алгоритм JL П. Добровольской вычисления оптимальных коэффициентов по составному модулю
    • 3. 3. Алгоритм интегрирования с правилом остановки
    • 3. 4. Программы численного интегрирования для концентрических алгоритмов с алгебраическими сетками

Некоторые теоретико-числовые методы приближенных вычислений (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

В 1956 году по инициативе Н. Н. Ченцова в Математическом институте им. В. А. Стеклова АН СССР был организован научно-исследовательский семинар по разработке новых многомерных квадратурных формул. Этим семинаром руководили профессор, доктор физико-математических наук Н. М. Коробов и его молодые коллеги Н. С. Бахвалов и Н. Н. Ченцов.

В 1957 году вышла первая работа Н. М. Коробова [37], с которой и ведется отсчет истории создания теоретико-числового метода в приближенном анализе. В этой работе был предложен первый класс теоретико-числовых сеток — неравномерные сетки вида (1.106) (см. стр. 59).

В 1959 году в работах [38], [39] Н. М. Коробов ввёл другой очень важный класс теоретико-числовых сеток — параллелепипедальные сетки М (аАГ) вида.

-({тг}—{£}) (* = о.1.-." -ч. (Ч где (о^, А^) = 1 = 1,., в) и ах,., а8 — специально выбранные оптимальные коэффициенты по модулю N.

Достаточно быстро сформировались четыре основных направления приближенного анализа, где эффективными оказались методы теории чисел. Это — вычисление интегралов от периодических функций многих переменных, интерполирование периодических функций многих переменных, численное решение интегральных уравнений Фредгольма II рода и численное решение уравнений с частными производными. Анализ показывает, что из перечисленных четырех направлений исследований основным является первое. И от успехов в этом направлении зависит продвижение и в остальных трех, хотя там и возникает своя специфика [61].

Исходя из указанного обстоятельства, в данной диссертации усилия сосредоточены исключительно на проблеме численного интегрирования периодических функций многих переменных.

Задача приближенного вычисления определенного интеграла относится к числу классических проблем вычислительной математики. Решение этой задачи существенно зависит от класса функций, на котором она рассматривается.

В своей кандидатской диссертации [50] К. К. Фролов выделял следующие основные постановки задачи:

1. построение квадратурных формул, оптимальных для заданного класса функций F;

2. построение асимптотически оптимальных квадратурных формул;

3. квадратурные формулы, имеющие точный порядок погрешности;

4. квадратурные формулы, порядок погрешности которых отличается от точного на множитель вида ln7 N (N — число узлов в квадратурной формуле).

Если взять 2ls класс всех периодических функций f (x) с периодом 1 по каждой переменной, у которой её ряд Фурье.

1 1 s = Y, c (m)e2wi{™'s), С (т) = (.(f (x)e~27!i^dx, (rn, x) = ?marnez* { { j=l абсолютно сходится, то он оказывается слишком обширным для оценки погрешности приближенного интегрирования, так как ряд Фурье может сходиться как угодно медленно. Пространство 2ts относительно нормы.

11Ж)1к =? №й)|<�оо является сепарабельным банаховым пространством, изоморфным пространству h — всех абсолютно суммируемых комплексно-значных последовательностей (см. [31]).

Для дальнейшего мы будем рассматривать более узкий класс Es = U Е£. а>1.

Банаховы пространства быстросходящихся рядов Фурье Е^ определяются ниже (см. стр. 5).

В работе [19] отмечалось следующее обстоятельство: классические оценки погрешности численного интегрирования содержат норму функции, которая неизвестна, и получается парадоксальная ситуация — надо вычислить значение нулевого коэффициента Фурье, а оценка погрешности дается через величину нормы, которая содержит информацию о всех коэффициентах Фурье. А поэтому необходимы правила остановки, сформулированные в терминах величины, которая при росте числа точек стремится к нулю, и, следовательно, по её малости можно судить о скорости сходимости процесса.

В 1957 — 1960 годах ([37] — [39]) при создании теоретико-числового метода в приближенном анализе Н. М. Коробов ввёл в рассмотрение широкий класс периодических функций Е?© (а > 1) с быстро убывающими коэффициентами Фурье. Через Е?© обозначается множество функций из Ef с нормой, не превосходящей С, то есть шар в банаховом пространстве Ef радиуса С с центром в нуле.

Банахово пространство Ef состоит из функций f (xi,., xs), имеющих по каждой из переменных х,., х3 период, равный единице, и для которых их ряды Фурье оо хь ., х8)= •''' ma) e™< oo. (3) me Z3.

Ясно, что такие ряды Фурье сходятся абсолютно, так как wrnwi^ ii/(f)ik (i+2C («)r, а поэтому для любого, а > 1 они представляют непрерывные функции. Здесь и далее, как обычно, — дзета-функция Римана.

Относительно нормы пространство Ef является несепарабельным банаховым пространством изоморфным пространству /— всех ограниченных комплексно-значных последовательностей (см. [31]).

13десь и далее для вещественных тп полагаем ш = тах (1, |т|). Таким образом, величину Ш можно назвать усеченной нормой числа тп, что согласуется с понятием усеченной нормы вектора, о которой речь пойдет дальше.

Рассмотрим понятие усеченной нормы вектора, которой называется величина д (ж) =х-.-Ха. Усеченной норменной поверхностью с параметром t ^ 1 называется множество = = 1, хф б}, которое является границей гиперболического креста К3(Ь), заданного соотношениями К8(Ь) = {а%(ж) < ?}. Для натурального Ь на усеченной норменной поверхности имеется т*(£) целых ненулевых точек, где 2 ?'1 (4) число представлений натурального числа? в виде Ь = т, •. • гп3.

Используя новые обозначения, можно написать другое выражение для нормы функции ||/(ж)||да. Справедливо равенство f (x)\E? =max |C (0)|, sup ie • max |C (m)|.

V 1 m€N (t).

Нетрудно видеть, что произвольная периодическая функция f (x) из Ef© по модулю ограничена величиной С • (1 + 2((a))s, при этом данная оценка достижима на функции оо " ./(f) = У 7—- е2жг (т, х) т=—оо в точке х — 0.

Очевидно, что Ef© с Е%© при a ^ /3. Для любой периодической функции f (x) € Ef© с Е%© справедливо неравенство для норм.

ЕЪ > \№\Е!

Равенство достигается только для конечных тригонометрических многочленов вида ж) = С (б)+ J2 C{m)e2^'s meJV (l).

Рассмотрим квадратурную формулу с весами 11 N f{x1,., xs) dx1. dxs = —^pkf[^1(k),.^s (k)]-RN[f}. (5).

J lc—1.

О О.

23десь и далее Y^' означает суммирование по системам (mi,., ms) ф (0,., 0).

Здесь через обозначена погрешность, получающаяся при замене интеграла.

1 1.

J. ! }'(хъ., х8) йх1.

1х&bdquoо о средним взвешенным значением функции /(хь., х8), вычисленным в точках.

Мк = Ык),., Ш) (* = 1. М).

Совокупность М точек М^ называется сеткой М, а сами точки — узлами квадратурной формулы. Величины = р (Мь) называются весами квадратурной формулы. В этой работе будем везде предполагать, что все веса веществен-нозначные.

Здесь необходимо сделать одно важное замечание. Вообще говоря, все узлы сетки М не обязаны быть различны (см. например работы [30], [35], [36], [46], посвященные сеткам Смоляка) и среди них могут быть повторяющиеся. В этом случае можно наряду с сеткой М — последовательностью узлов рассмотреть сетку М* — множество узлов, то есть.

M^ = {? = Mjl^j^N}, м* ^ |М| = И, р (х) = ^ ?

Ух=М] и квадратурная формула перепишется в виде 1 1 }{хъ., х3) йх1.^х3 =—— ^ р (х)/(х) — ЯМ*[Я (6).

0 0 1 ^м.

Даже в случае, когда все узлы различные, полезно различать сетку последовательность и сетку множество, так как одной сетке множеству из N различных точек соответствует ЛИ различных сеток последовательностей. Сделав это замечание, мы как правило будем отождествлять сетки множество и сетки последовательности, делая различия только там, где это необходимо.

Так, например, одна и та же параллелепипедальная сетка множество М (аИ) соответствует ^{Щ различным параллелепипедальным сеткам последовательностям М (Ь • где Ь — любое натуральное число из наименьшей приведенной системы вычетов по модулю N и — функция Эйлера.

Для произвольных целых тп,. ., та суммы б’м.Д^х,.тв), определённые равенством N.

5м>1, — ¦ = (7) к=1 называются тригонометрическими суммами сетки с весами.

Будем также рассматривать нормированные тригонометрические суммы сетки с весами -, та) = —8м^(т±,., т8). N.

Положим р (М) — тогда для всех нормированных тригонометричез=1 ских сумм сетки с весами справедлива тривиальная оценкаР (М). (8).

Если все веса равны 1, то будем говорить просто тригонометрическая сумма сетки и писать 5″ м (т) и нормированная тригонометрическая сумма сетки.

В работе [19] дано следующее определение, обобщающее определение из работы [33].

Определение 1. Дзета-функцией сетки М с весами р и параметром р ^ 1 называется функция ?(а, рМ, р), заданная в правой полуплоскости, а = а + И т > 1) рядом Дирихле а, р|м, д= ?' ^ = (9) м (т1.т3)а к ' т.1,., т3=—оо 4 ' п=1 где.

5 Г (р1М,?, п)=? 18*м/т)Г. (10) теТУ (п).

Непосредственно из определения следует неравенство.

С (ра, рМ, р) ^(р (а, 1 М, р) (а > 1). (11).

Если все веса равны 1, то будем говорить просто дзета-функция сетки М с параметром р и писать ?(а, рМ) .

Справедливы следующие две обобщенные теоремы Коробова о погрешности квадратурных формул (см. [19]).

Теорема 1. Пусть ряд Фурье функции /(х) сходится абсолютно, С (гп) — ее коэффициенты Фурье и Бм^т) ~ тригонометрические суммы сетки с весами, тогда справедливо равенство.

Зд/] = с (0) (^БМА0) — + I С{т)8м, р{т) =.

N 7) N с С (б) (56) — 1) + С (т)Гм/т).

7П1,., т3=—оо оо.

12).

Ш1 ,., тв = — оо и при N—>00 погрешность Ядг[/] будет стремиться к нулю тогда, и только тогда, когда взвещенные узлы квадратурной формулы равномерно распределены в единичном э-мерном кубе.

Теорема 2. Если /(жь., х3)? Е°©, то для погрешности квадратурной формулы справедлива оценка ад/]| < с.

— 1 дг.

Зм, р{гп) С.

ТП. ., 77г5 —— оо.

С-((а, 1 М, р), тг. тп8) а.

13) где сумма бд^Дт) определена равенством (7). На классе Е" © эту оценку нельзя улучшить.

Другими словами теорему 2 можно сформулировать так: Для нормы ||Длг[/]||.е" линейного функционала погрешности приближенного интегрирования по квадратурной формуле (5) справедливо равенство Л ?? д^(0) — 1 оо.

N ^ (т1.т3)а т1,., т. в=—оо 4 '.

14).

Модифицированной сеткой М (/3) называют сетку, состоящую из модифицированных узлов мк0) = аш + м, • • •, {Ш + &}) (* = 1. ЛГ).

Линейный функционал погрешности приближенного интегрирования периодической функции /(х) из класса по квадратурной формуле с весами р и модифицированной сеткой М (/3) обозначается через ЯМ (0) р[/(^)]> а ег0 норма через Д.

Е?

В этих обозначениях утверждение (13) применительно к модифицированным сеткам формулируется так: для нормы линейного функционала погрешности приближенного интегрирования функций, принадлежащих классу Епо квадратурной формуле с весами р и модифицированной сеткой М (/3) выполняется равенство Я.

М{р), р

Е? N.

5 м, р (0) — 1 1 Л7 ?

ЗУДГП!,. .., Ш5)|.

N ' [тщ. те,)а т, 1,., та=—оо х '.

15).

Это равенство утверждает, что для всех модифицированных сеток М (/3) норма линейного функционала погрешности приближенного интегрирования функций, принадлежащих классу Е£, является инвариантом, который определяется исходной сеткой М и не зависит от вектора модификации.

В работе [19] дано простое объяснение этого факта через понятие граничной функции класса, которое впервые встречается в работе Н. М. Коробова [42], а более подробно в его монографии [43] (см. также [4]).

Функции /(?) с единичной нормой, для которых абсолютная погрешность приближенного интегрирования равна норме линейного функционала погрешности, следуя Коробову, называют граничными функциями класса ЕЛегко видеть, что граничной функцией класса Е®для сетки М с весами р будет функция с коэффициентами Фурье3.

Со (те) О.

5'м, р (те)|да (те).

БмЛ0) ~ 1 |5м, р (0) — 1| при Бм, р{гп) = 0, при БмА&trade-) ф 0, т ф 0, при вмА®-) ф1, т = 0, при БмА®-) = 1, те = 0.

16).

3 Здесь 8 м, р (гп) означает комплексное сопряжение.

Граничная функция класса сеткой определена неоднозначно, если при некоторых значениях т, ., т8 тригонометрическая сумма Бм^п) = 0.

Пусть /(х) — граничная функция класса Е" для сетки М, тогда д (х) = = ¡-{х — ?3) — граничная функция класса Е" для модифицированной сетки М0). Так как из =? С0(т)е2^ д (х) = /(? — 0) = Е С^тУ™^,.

11 11 С (т) = С0(7п)е-2т^ С0 (б) = ?{х)с1х = J. J д (х)с1х = С (б).

0 0 0 0 следует \/{х)\Е? = НяОЮНяу,.

N к=1 и.

1 1 °° Д*[/] = Соф) (^мАб) — 1] + ^ Со (т)5м, р (^) = т1,., т3=—оо.

1 1 °° = (м^т/о) Е' с^ммА*) = (17) т. т .— —.

7711 — 0О то, действительно, это так.

Так как граничная функция класса зависит от вектора модификации сетки, то приближенное интегрирование одной и той же функции по модифицированным сеткам для разных векторов модификации приводит к появлению дополнительной информации о приближенном значении искомого интеграла. Такая ситуация естественно возникает при использовании произведения сеток, если соответствующим образом организовать суммирование в квадратурной формуле, как будет видно из дальнейшего.

Вопросы численного интегрирования с правилом остановки рассмотрены в работе [19]. Следуя этой работе дадим частное определение мультипликативной дискретной дисперсии для случая произведения двух параллелепипедальных сеток с равными весами.4.

4 Подробному рассмотрению понятия произведения двух сеток посвящена работа [21].

Определение 2. Если параллелепипедалъная сетка М является произведением двух параллелепипедалъных сеток 5 то мультипликативной дискретной дисперсией погрешности приближенного интегрирования по квадратурной формуле с сеткой М и равными весами периодической функции f{x) из пространства Ef будем называть величину D*Ml.M2[f{x)], заданную равенством.

Из определения видно, что, вообще говоря, (х) Ф {х).

В качестве правила остановки будем брать величину мультипликативной дискретной дисперсией погрешности приближенного интегрирования, так как при М ->¦ оо будем иметь (х)} 0.

Актуальность темы

Диссертация посвящена исследованию теоретико-числовых алгоритмов численного интегрирования периодических функций многих переменных. Рассматривается актуальная задача получения оценок мультипликативной дисперсии концентрических алгоритмов численного интегрирования.

Исследование теоретико-числовых алгоритмов численного интегрирования, интерполирования, решения уравнений с частными производными и линейных интегральных уравнений на классах периодических функций — это современная отрасль теоретико-числового метода в приближенном анализе, ей посвящены многочисленные современные работы известных ученых, таких как, Н. М. Коробов [37] - [43], Н. Н. Ченцов [15], Н. С. Бахвалов [2], [3], В. А. Быковский [6] - [10], С. М. Воронин [12] - [14], Э. Главка [52], Хуа Ло Кен, Вань Юань [53] и многих других.

Однако, оценкам мультипликативной дисперсии концентрических алгоритмов численного интегрирования было посвящено относительно мало работ и здесь остается ряд нерешенных задач.

5Для любого гёК8 полагаем {г} = ({^х},., {гя}) е [0- 1)" .

М = Мг ¦ м2 = {{х + у} х е ми у е М2},.

2 2.

Основной целью работы является создание и развитие аппарата, позволяющего получать оценки мультипликативной дисперсии концентрических алгоритмов численного интегрирования, величина которой является основой правил остановки алгоритмов интегрирования.

Первая цель данной работы — алгоритм численного интегрирования с правилом остановки для периодических функций многих переменных по системе квадратурных формул с парралелепипедальными сетками и его программная реализация в системе МаЙ1сас115. Алгоритм будет строится для системы сеток, являющейся концентрической совокупностью параллелепипедальных подсеток параллелепипедальной сетки 5, вычисленной по алгоритму Л. П. Добровольской [5].

Вторая цель данной работы — алгоритм численного интегрирования с правилом остановки для периодических функций многих переменных по системе квадратурных формул с алгебраическими сетками и его программная реализация в системе МаЛсасПб.

Как показано в работах А. С. Герцога (см. [17], [18]) при реализации алгоритмов интегрирования с алгебраическими сетками возникает нетривиальная проблема точной параметризации алгебраической сетки. В случае системы алгебраических сеток это проблема усложняется, так как необходимо найти точную параметризацию для модифицированных алгебраических сеток. Поэтому третью целью данной работы будет алгоритм и его программная реализация точной параметризации модифицированных алгебраических сеток.

Содержание работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и библиографического списка.

Заключение

.

Подводя итог обсуждения проблемы выработки правил остановки в алгоритмах численного интегрирования, дополним следующие соображения из работы [29].

Показать весь текст

Список литературы

  1. К. И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986.
  2. Н. С. О приближенном вычислении кратных интегралов // Вестн. Моск. ун-та, 1959. N 4. С. 3−18.
  3. Н. С., Коробов Н. М., Ченцов Н. Н., Применение теоретико-числовых сеток к задачам приближенного анализа // Труды Четвертого Всесоюзного математического съезда. JL: Наука, 1964. Т. II. С. 580 — 587.
  4. JI. П. О граничных функциях некоторых классов // Наукоемкое образование. Традиции. Иновации. Перспективы. Сборник межвузовских научных статей. Тула, АНОВО «ТИНО», 2006. С. 198 202.
  5. JI. П. Алгоритмы поиска оптимальных коэффициентов // Че-бышевский сборник. Т. 8. Вып. 1(21). Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. JI. Н. Толстого, 2007. С. 4 109.
  6. В. А. О правильном порядке погрешности оптимальных куба-турных формул в пространствах с доминирующей производной и квадратичных отклонениях сеток. Владивосток: ВЦ, 1985. (Препринт.)
  7. В. А. Экстремальные кубатурные формулы для анизотропных классов. Хабаровск, 1995. С. 1−13. (Препринт.)
  8. В. А. Дискретное преобразование Фурье и циклическая свертка на целочисленных решетках // Математический сборник, 136(178), 4(8), 1988. С. 451 467.
  9. В. А. Оценки отклонений оптимальных сеток в Ьр-норме и теория квадратурных формул. // Analysis Mathematica, 22(1996), pp. 81 — 97.
  10. В. А.Теоретико-числовые решетки в эвклидовых пространствах и их приложения. Дис.док. физ.-мат. наук. Хабаровск. ИПМ ДВО АН СССР, 1990.
  11. И. М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1981.
  12. С. М. О квадратурных формулах // Изв. РАН. Сер. мат. 1994. Т. 58. N 5. С. 189−194.
  13. С. М. О построении квадратурных формул // Изв. РАН. Сер. мат. 1995. Т. 59. N 4.
  14. С. М., Темиргалиев Н. О квадратурных формулах, связанных с дивизорами поля гауссовых чисел // Мат. заметки. 1989. Т. 46. N 2. С. 34−41.
  15. А. С. Параметризация четырехмерной сетки биквадратичного поля Дирихле // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика. Физика. № 23(188). — Вып. 5. — Белгород: Изд-во БелГУ, 2011. С. 41−53.
  16. Л. П., Добровольский H. М., Симонов А. С. О погрешности приближенного интегрирования по модифицированным сеткам // Чебышевский сборник. Т. 9. Вып. 1(25). Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2008. С. 185 223.
  17. M. Н. Оценки сумм по гиперболическому кресту // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2003. Т. 9. Вып. 1. С. 82 90.
  18. M. Н., Добровольский H. М., Киселева О. В. О произведении обобщенных параллелепипедальных сеток целочисленных решёток // Чебышевский сборник. Т. 3. Вып. 2(4). Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2002. С. 43 59.
  19. H. М. Оценки отклонений обобщенных параллелепипедальных сеток / H. М. Добровольский — Деп. в ВИНИТИ 24.08.84. — № 6089−84.
  20. H. М. Гиперболическая дзета функция решёток / H. М. Добровольский Деп. в ВИНИТИ 24.08.84. — № 6090−84.
  21. H. М. О квадратурных формулах на классах Ef© и Щ© / H. М. Добровольский Деп. в ВИНИТИ 24.08.84. — № 6091−84.
  22. H. М. Теоретико-числовые сетки и их приложения. Дис.. канд. физ.-мат. наук / H. М. Добровольский. — Тула, 1984.
  23. Н. М. Теоретико-числовые сетки и их приложения: Ав-тореф. дис.. канд. физ.-мат. наук / Н. М. Добровольский. — Москва, 1985.
  24. Н. М. Теоретико-числовые сетки и их приложения / Н. М. Добровольский // Теория чисел и ее приложения: Тез. докл. Всесо-юз. конф. — Тбилиси, 1985. — С. 67−70.
  25. Н. М. Многомерные теоретико числовые сетки и решётки и их приложения / Н. М. Добровольский. — Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2005.
  26. Н. М., Бочарова Л. П. Пятьдесят лет теоретико-числовому методу в приближенном анализе // Наукоемкое образование. Традиции. Иновации. Перспективы. Сборник межвузовских научных статей. Тула: АНОВО «ТИНО», 2006. С. 189 198.
  27. Н. М., Есаян А. Р., Яфаева Р. Р. О сетках С. А. Смоляка // Современные проблемы математики, механики, информатики: Тезисы докладов Всероссийской научной конференции. Тула: Изд-во ТулГУ, 2002. С. 18−20.
  28. Н. М., Манохин Е. В. Банаховы пространства периодических функций // Известия ТулГУ. Сер. Механика. Математика. Информатика. Т. 4. Вып. 3. Тула, 1998. С. 56−67.
  29. Н. М., Манохин Е. В., Реброва И. Ю., Аккуратова С. В. О некоторых свойствах нормированных пространств и алгебр сеток // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 5. Вып. 1. Тула, 1999. С. 100−113.
  30. Н. М., Манохин Е. В., Реброва И. Ю., Рощеня А. Л. О непрерывности дзета-функции сетки с весами // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 7. Вып. 1. Тула, 2001. С. 82−86.
  31. Н. М., Рощеня А. Л. О числе точек решетки в гиперболическом кресте при малых значениях параметра // Всерос. научн. конф.
  32. Современные проблемы математики, механики, информатики", Тула: Изд-во ТулГУ, 2000. С. 29−30
  33. Н. Н. Отклонение двумерных сеток Смоляка // Чебы-шевский сборник. Т. 8. Вып. 1(21). Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2007. С. 110 152.
  34. Н. Н., Ребров Е. Д. Квадратичное отклонение двумерных сеток Смоляка // Материалы международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики». Тула: «Гриф и К» 2008. С. 51 52.
  35. Н. М. Приближенное вычисление кратных интегралов с помощью методов теории чисел // ДАН СССР. 1957. N 6. С. 1062 1065.
  36. Н. М. Вычисление кратных интегралов методом оптимальных коэффициентов // Вестн. Моск. ун-та, 1959. N 4. С. 19 — 25.
  37. Н. М. О приближенном вычислении кратных интегралов // ДАН СССР. 1959. Т. 124, N 6. С. 1207 1210.
  38. Н. М. Свойства и вычисление оптимальных коэффициентов // ДАН СССР. 1960. Т. 132. N 5. С. 1009−1012.
  39. Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. М.: Физматгиз, 1963.
  40. Н. М. Квадратурные формулы с комбинированными сетками // Математические заметки. 1994. Т. 55. Вып. 2. С. 83 — 90.
  41. Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе, (второе издание) М.: МЦНМО, 2004.
  42. О. В., Гавриков М. Б. Начала численного анализа. М.: ТОО Янус, 1995.
  43. С. М. Квадратурные формулы. М.: Наука, 1979.
  44. С. А. Квадратурные и интерполяционные формулы на тензорных произведениях некоторых классов функций // ДАН СССР Т. 148, № 5, С. 1042 1045 (1963).
  45. К. К. Оценки сверху погрешности квадратурных формул на классах функций // ДАН СССР. 231. 1976. N 4. С. 818−821.
  46. К. К. О связи квадратурных формул и подрешёток решётки целых векторов // ДАН СССР. 232. 1977. N 1. С. 40−43.
  47. К. К. Оценка сверху дискрепанса в метрике Ьр, 2 ^ р < оо // ДАН СССР. 252. 1980. N 4. С. 805−807.
  48. К. К. Квадратурные формулы на классах функций. Дис.. канд. физ.-мат. наук. М.: ВЦ АН СССР. 1971.
  49. И. Ф. Оценки снизу погрешности квадратурных формул на классах функций// Ж. вычисл. матем. и матем. физики № 2, № 3 1963 С. 370−376.
  50. Hlawka Е. Zur angenaherten Berechnung mehrfacher Integrale // Monatshefte fur Math. 66, 2 1962 P. 140−151.
  51. Hua Loo Keng, Wang Yuan Applications of Number Theory to Numerical Analysis, Springer-Verlag Berlin, 1981.
  52. Weyl H. Uber die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins. // Math. 'Ann. 1916. Bd. 77. S. 313−352 (пер. в кн.: Вейль Г. Математика. Теоретическая физика. М.: Наука, 1984).
  53. Е. Д. Алгоритм Добровольской и численное интегрирование с правилом остановки // Чебышевский сборник. Т. 10. Вып. 1(29). — Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. JL Н. Толстого, 2009. С. 65−77.
  54. А. С., Ребров Е. Д., Триколич Е. В. О методе К. К. Фролова в теории квадратурных формул // Чебышевский сборник. Т. 10. Вып. 2(30). — Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. JI. Н. Толстого, 2009. С. 10−54.
  55. Е. Д., Селиванов С. В. О приближенном решении интегрального уравнения Фредгольма II рода // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. Вып. 2. — Тула: Изд-во ТулГУ, 2012. С. 83 — 92.
  56. Е. Д. Квадратурные формулы с модифицированными алгебраическими сетками // Чебышевский сборник. Т. 13. Вып. 3(43). Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2012. С. 53 — 90.
Заполнить форму текущей работой