Численное решение краевых задач для вырождающихся уравнений методом конечных разностей

Математическое описание многих процессов газовой динамики, магнитогидродинамики, теории изгибании поверхностей и т. д. приводят к краевым задачам для уравнения смешанного типа (см. напр. f53], f89j, [90], [93]).

Й.Н.Векуа [17] заметил, что уравнения смешанного типа встречаются также в безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака и в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей.

Первые фундаментальные исследования в этой области связаны с именем итальянского математика Ф. Трикоми [85]. Он рассматривал уравнение ъЪ Ъи п.

У S? * W" (1} для которого црямая ^ - О является линией вырождения типа, причем в полуплоскости Ц > О оно эллиптического типа, а в полуплоскости У О гиперболического.

Трикоми изучал следующую задачу: требуется найти регулярное в области ^ решение уравнения (I) по граничным условиям.

U = V на СГ U = V на А,, где if ж у — заданные функции, а й — область, ограниченная гладкой линией Жордана б с концами в точках $(0,0).

В (I* О) } целиком лежащей в верхней полуплоскости, и характеристиками и кл: В*§(~У)3/г = ± уравнения (I).

Некоторые обобщения результатов Ф. Трикоми получены в работах С. Геллерстедта [32], [33], [34], Ф. И. Франкля ?89], [?о], [9l] С. Геллерстедт рассматривает следующее уравнение смешанного типа: и наряду с задачей Трикоми исследует случай, когда в гиперболической части области значения искомого решения задаются на двух кусках характеристик, а в эллиптической полуплоскости граничные значения задаются на нормальной кривой У м, f л.

Следуя Трикоми, Геллерстедт сводит решение упомянутой задачи к сингулярному интегральному уравнению и, применяя известную идею Карлемана [48], решает его в явном виде.

М.А.Лаврентьев впервые обратил внимание на то, что самым простым и типичным представителем линейных уравнений второго порядка смешанного (эллиптико — гиперболического) типа является уравнение для которого линией вырозвдения типа является ось.

Подробное исследование задачи Трикоми и ее различных обобщений для уравнения (3) цровел А. В. Бицадзе [is], [l4J, [15] при самых общих предположениях относительно кривой <7 .

Впервые А. В. Бицадзе был сфорщглирован принцип экстремума для задачи Трикоми в случае уравнения (3): решение задачи Трикоми, обращающееся в нуль на характеристике J С У — о не может достигать на открытом отрезке ЛИ линии вырождения типа ни положительного максимума, ни отрицательного минимума.

Для уравнения (I) этот принцип был установлен в работе Жер-мена и Баде /40^ .

Принцип максимума для уравнения Трикоми и Геллерстедта в характеристическом треугольнике впервые доказан в работе Жермена и Баде [AlJ, ^42]. Они доказали, что если некоторое решение уравнения Трикоми или Геллерстедта определено в характеристическом треугольнике и обращается в нуль вдоль одной из характеристик, тогда максимум решения достигается на отрезке линии параболичности.

Уравнения смешанного типа исследовали также Ф. Б. Абуталиев [l], И. К. Бабенко [5], Н. И. Бакиевич /б/, М. Б. Капилевич [47], Ю.М.Кри-кунов [ъ*о], Л. И. Каваленко /52J, М. М. Смирнов /*7б/, Л.И.Чибри-кова /94] и др.

Точные решения краевых задач для уравнения смешанного типа удается получить лишь в частных случаях. Поэтому надо уметь решать эти задачи приближенно.

Универсальным и эффективным методом решения краевых задач для уравнения смешанного типа, вырождающихся уравнений эллиптического и гиперболического типа является метод конечных разностей или метод сеток.

Метод конечных разностей в настоящее время является одним из наиболее распространенных методов приближенного решения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных.

При построении разностных схем для уравнения смешанного типа приходится заботиться не только о том, что бы они хорошо аппроксимировали исходную задачу с точки зрения погрешности аппроксимации, но и о том, чтобы они моделировали в пространстве сеточных функций основные свойства исходной задачи (такие, например, как самосопряженность, эллиптичность и др).

Имеется большое число статей, учебных пособий и монографий, в которых изложены основы теории разностных схем и ее различные аспекты (А.Н.Тихонов, А. А. Самарский, Г. И. Марчук, Н. С. Бахвалов, Е. А. Волков, В. Б. Андреев и др.).

В последние годы все больше внимания уделяется исследованию конечно-разностных методов решения краевых задач для уравнений смешанного типа, что обусловлено с одной стороны большим прикладным значением этих задач, с другой стороны, возрастающими возможностями ЭВМ.

Впервые в 195−3 г. 3 .И. Хал иловым [92] предложена разностная схема для решения задачи Трикоми в случае уравнения (З).Эта же задача в 1954 г. методом сеток исследована в работе. О. А. Ладыженской^58J. В эллиптической части области приближенное решение задачи найдено методом конечных разностей, а в гиперболической части — квадратурой.

В 1955 г. Е. А. Волков [21] предложил разностную схему для решения задачи Трикоми в случае уравнения (3). Предполагая, что производные по любому направлению f точного решения задачи в области эллиптичности удовлетворяют неравенствам.

I I z 1 я г) где С и оС (0*о (? 1) — постоянные, /? — расстояние от переменной точки до точки, для погрешности схемы была получена оценка max /£Л • /= 7 ij ICthlfHhl, ac = 1, где fa и С^ некоторые константы, а при замене в системе разностных уравнении оператора простого сноса граничных условий оператором линейной интерполяции по Коллатцу разностная схема имеет точность оси*) .

Б.Г.Карманоб /soj с помощью метода сеток доказал существование решения задачи Трикоми для, уравнения (3) при весьма слабых ограничениях на кривую б .

Задача Трикоми для нелинейного уравнения Лаврентьева-Еицад-зе решается методом сеток б работе А. Маматкулова, Я. Д. Мамедова si].

В работе Ф. А. Тагиева, Э. Ф. Челябиевой [84] задача Дирихле для уравнения Чаплыгина исследована методом конечных разностей. В силу предположений Ц*бт (Я) получена точность O (h^). Позже в работе Ф. А. Тагиева /~79j задача Дирихле уравнения типа М. В. Келдыша исследована методом конечных разностей.

Ф.А.Тагиевым /77] для решения задачи Лаврентьева-Бицадзе с общим условием склеивания предложена разностная схема, которая сходится со скоростью О (h*) .В другой работе Ф. А. Тагиева и А. С. Попова /" 83 J эта задача решается методом сеток с учетом особенности в угловой точке Л.

Впервые задача типа Неймана для уравнения Лаврентьева-методом .сингулярных интегральных уравнений исследована в работе А. В. Бицадзе, так называемая в литературе задача Т3. Принцип максимума для задачи Т3 впервые доказан в работе А. В. Бицадзе /13J .

Метод сеток решения различных краевых задач для уравнения смешанного типа использован в работах А. Ф. Филиппова [88], В.Г.Кар-манова [43], Огава (Одаша) [65], Л. И. Коваленко [5l], Ф.А.Та-гиева [79J и др.

В настоящее время создание рабочих конечно — разностных схем для линейных и нелинейных дифференциальных уравнений смешанного типа является одной из наиболее актуальных задач численного анализа.

Настоящая диссертация посвящена численному решению краевых задач для уравнения смешанного типа и для вырождающихся уравнений.

Для приближенного решения всех рассматриваемых краевых задач получены разностные схемы высокой аппроксимации и точности. Вычислительным экспериментом утверждены все теоретические предпосылки относительно точного решения задачи.

Перейдем к изложению основных результатов настоящей диссертационной работы, которая состоит из трех глав.

Первая глава посвящена-численному решению краевых задач типа Заремба и Дирихле в эллиптической части смешанной области.

В § I рассматривается краевая задача типа Заремба [59] и впервые предлагается разностная схема для решения этой задачи.

Доказано, что если Ы€U (О?)) и уравнение Лапласа удовлетворяется вплоть до линии вырождения, то для погрешности метода получается оценка О (fi) .

В § 2 • предлагается разностная схема для решения задачи Дирихле [12J .

Если решение задачи Дирихле U в С ^(Я) «т0 погрешность метода имеет оценку О (fl*).

1. Абуталиев Ф. Б. К численному решению уравнений смешанного типа Доклады АН Уз. ССР, 7,1961,3−5.

2. Агмон, Ниренберг, Проттер Л MfrXimum fliutuflle fola. Ctatf of Xy/ui&ote 1<�шМсощ and JUifacdionS to Itpu&tcont of JIUxed Шс/ьЬс Xy/aifofrc Xy/u, Ccniniunita±iotif он fuze сш/Л/э/>йЫ Ма/ктайц.

3. Алексидзе M.A. О численном решении задачи Дирихле для уравнения Пуассона. ДАН СССР, 147,6,1962,1271−1273.

4. Андреев В. Б. О сходимости разностных схем, аппроксимирующих вторую и третью краевые задачи для эллиптических уравнений. ЖВМ и Ш, 6,1968,1218−1231.

5. Бабенко К. И. К теории уравнений смешанного типа. Докторская диссертация (библиотека математического института АН СССР), 1952.

6. Бакиевич Н. И. Некоторые краевые задачи для уравнений смешанного типа, возникающие цри изучении бесконечно малых изгибаний поверхностей. УМН, ХУ, 1(91), 1960,171−176.

7. Бахвалов Н. С. О численном решении задачи Дирихле для уравнения Лапласа. Вест. МГУ, сер.мат.мех.астр.физ.хим.5,1959,171−195.

8. Бахвалов Н. С. Численные методы. М., 1973.

9. Берс Л. Ott ike. Continuation of a Зкек-Ь&е Cafactofs ike Bonce Une. t //лсл Т. ес?*ис&е jbte, У* Josfftffo).

10. Берс Л. ТЛе. toCitckkt Ptog&m. Jet a. fhrtiae 9) tffeгепШё fyuA-tion of Mixed ty/te, Яиб&Ш, <�Лте zccasv Mcd/vzincdLcat? Soecety Jlgrfiaet JVoW, м, /о?з.

11. Берс JI. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики. М., 1961.

12. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных М., 1981.

13. Бицадзе А. В., К проблеме уравнений смешанного типа. Труды математического института им. В. А. Стеклова, М., 1953.

14. Бицадзе А. В. О некоторых задачах смешанного типа. ДАН СССР, 70,4,1950,561−564.

15. Бицадзе А. В. Уравнения смешанного типа. Изд-во АН СССР Итоги науки 2,1959.

16. Валеев К. Г., Ракитский Ю. Р. Об отыскании разностными методами областей неустойчивости решений системы линейных дифференциальных уравнений. Сб." Числ. методы решения диф. и интегр. уравненийи квадратурные формулы". 1964,110−122.

17. Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции и их применение. М., физматгиз, 1959.

18. Винченти, Вагонер <�££оио pcL%t & UtadgQ fiojifa iviik gt-eiabhtd Roto-IQ ewe—Ge-ncial jUbUod OLhd WoTvekical Vote fifo³³ 9 С •.

19. Воеводин В. В. Численные методы алгебры, теория и алгорифмы. Наука, 1966.

20. Волков Е. А. Исследование одного способа повышения точности метода сеток при решении уравнения Пуассона. В сб.Вычисл.матем. I, изд. АН СССР, 1957, 62−80.

21. Волков Е. А. К численному решению задачи Лаврентьева-Бицадзе. ДАН СССР, 103,5,1955,755−758.

22. Волков Е. А. Метод регулярных сеток решения смешанной краевойзадачи для уравнения Лапласа. ДАН СССР, 2,1971,266−269.

23. Волков Е. А. О решении методом сеток задачи Дирихле для уравнение Лапласа на областях с закругленными углами. Диф. уравнения 5,1,1969,141−153.

24. Гахраманов П. Ф. Численное решение задачи Дирихле методом конечных разностей для уравнения параболического вырождения и вырождения порядка. Математическое обеспечения АСУ, Баку 1981,139−144.

25. Гахраманов П. Ф. Численное решение задачи типа Заремба методом конечных разностей. Приближенные методы анализа. АТУ, Баку1982, 14−21.

26. Гахраманов П. Ф. Численное решение задачи Геллерстедта методом конечных разностей. Приближенные методы решения диф. и интегр. уравнений. АГУ, Баку 1983, 37−47.

27. Гахраманов П. Ф., Тагиев Ф. А. Об одном численном методе решения задачи типа Неймана для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. Приближенные методы анализа. АГУ, Баку 1982, 22−29.

28. Гахраманов П. Ф., Тагиев Ф. А. Численное решение задачи Коши на ЭВМ для вырождающихся уравнений методом конечных разностей. Изв. АН Аз.ССР, сер.физ.тех.и матем. наук, I98I, M, 129−133.

29. Гахраманов П. Ф., Тагиев Ф. А. Численное решение второй краевой задачи Проттера методом конечных’разностей. Аз. НИИНТИ «Деп. научные работы», 52 А3-Д83.

30. Гордезиани Д. Г. 0 численном решении некоторых задач термоупругости. Изд. ТЕУ 1979.

31. Гордезиани Д. Г. 0 методах решения одного класса нелокальных краевых задач. Изд. ТГУ 1981.

32. Геллерстедт С. /dioSCemei mxies /ьоиь t’ltfuodion Лги? f&t JUatkentntiK JLtiioHomC och Pyti/c. ЛС Л (з), 1−32 (t936).

33. Геллерстедт С. Sat un, fttoS^ente oucx &>Kt-?ef /t, put tut гtc^uaiCoiv Сспгоке buz otetiisees/мишее$ c? u Seec/ut огоСге оСв type nuxte, ikese, llfifigafa J935.

34. Геллерстедт С. &ut wt /ггоИгтг ctux kmcies/ми*.Vequation + ?yyо. Лгкс> Jot MJ. о.?. %>e>? JO, 1955.

35. Годунов С. К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М., 1973.

36. Гусейнов А. М. Решение задачи типа Геллерстедта для уравнения Лаврентьева методом конечных разностей.УЧ.зап.АГУ, 2,1977,23−31.

37. Гусейнов А. М., Тагиев Ф. А. Приближенное решение задачи Коши для вырождающегося квазилинейного уравнения методом конечных разностей. Уч.зал.АГУ 3,1978,30−39.

38. Досиев А. А., Мамедов Я. Д. К решению методом сеток смешанной краевой задачи для линейных эллиптических уравнений. ДАН СССР, 242,4,1978,757−760.

39. Досиев А. А., Малиев B.C. Метод сеток для задачи Т3. ВИНИТИ, «Деп.рукописи» 3121−79,6104.

40. Жермен, Баде (?е fit о Sk те оСе Tbtcomi, се/н/Л^ ftenti, ЛсосЫ, $ес Раи?, аз< то.

41. Жермен, Баде Slit fyue? q, ue$ /iloS&toes O-U-X ?t"tdeSf tingttfats, /LPUI one equation k#pot?.

42. Жермен, Баде Sicz /frtoi^eme rte Ггссогнс flenotieontcoteC Ccttodo JUaOunta-tcco Л Фл&ьмю,.

43. Жермен, Баде 9×0 $fa те ctz Wet се. А Ы futut, искеolu, ty,/ie. ntixie. Со/к/iies ftendu?, 230, ШС, 9&u's (196D).

44. Жермен, Баде Sut y, uefyues /itoi&ftLtf ешхfu? ub анг equation kyfm&o&c^ue, Сом/ates flendus, Лз^-^оИЩ.

45. Заремба Sui lli fitoSPewe nu’He tfBotc/ af epuatc’ot oi щеасг, %u.ee, Cwtvzn’e, WO, SezJ Сг/меетс* русский mpzlvg: Усп. /чотем. hayx, W6, f.3−4f/5-ft/J, f€S'fV6j.

46. Ильин В. П. Разностные методы решения эллиптических уравнений. Новосибирск, изд. Новосибирского ун-та 1970.

47. Капилевич М. Б. К теории линейных дифференциальных уравнений с двумя перпендикулярными линиями параболичност. ДАН СССР, 125,2,1959.

48. Карлеман $иг гг$ови{с'оп de ceztdc’naS epubicons СкЩгфг. JlWv- /. JU. Л. О. Р. J3 с/. /6, №, 16/922.

49. Карманов В. Г. 0 краевой задаче для уравнения смешанного типа. ДАН СССР, 95,3,1954,439−442.

50. Карманов В. Г. 0 существовании решений некоторых краевых задач для уравнения смешанного типа. Изв. АН СССР, сер.математ., 22, 1,1958,117−134.

51. Коваленко Л. И. Обобщенное решение задачи Трикоми. ДАН СССР, 162,5,1965,988−991.

52. Коваленко Л. И. Разностный метод и единственность обобщенного решения для задачи Трикоми. ДАН СССР, 162,4,1965,751−754.

53. Коган М. Н. 0 магнитогидродинамических течениях смешанного типа. Прикладная матем. и мех., 25,1,1961, 132−137.

54. Коллатц Л. Численные методы решения дифференциальных уравнений. М., 1953.

55. Крикунов Ю. М. Задача Трикоми с произвольными в краевом условии Уч.зап.Казанск.ун-та, т!23,кн.9,1964,106−173.

56. Кязимов Т. Г., Тагиев Ф. А. Решение задачи А. М. Нахушева с разрывом первого рода на линии вырождения методом конечных разностей. Уч.зал.сер.физ.мат.наук АТУ, 6,1976,47−56.

57. Кязимов Т. Г., Тагиев Ф. А. Решение задачи А. М. Нахушева для уравнения смешанного типа методом конечных разностей. Воцр.црик.матем. АТУ, 1,1977,62−67.

58. Ладыженская О. А. Об одном способе приближенного решения задачи Лаврентьева-Бицадзе. Успехи матем. наук, 9, вып.4(62), 1954,187−190.

59. Лаврентьев М. А., Бицадзе А. В. К проблеме уравнений смешанного типа. ДАН СССР, 70,1950,373−376,№ 3.

60. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М., 1973.

61. Маматкулов А., Мамедов Я. Д. 0 разностном методе решения краевой задачи для квазилинейного уравнения Лаврентьева-Бицадзе. ДАН СССР, 203,4,1972,758−761.

62. Маматкулов А., Тагиев Ф. А. Решение одной краевой задачи для уравнения смешанного типа методом конечных разностей. IBM и Ш, 10, 1970,1191−1198.

63. МарчзлйЧИ., Шайдуров В. В. Повышение точности решений разностных схем. М., Наука 1979.

64. Нахушев A.M. 0 некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа. Диф.урав.5,1,1969,44−59.

65. Огава oUffetenot fpi the SofatcoK of a, C&u-cAy fito$?e*tfat a k^/texBo&e eyucUto* iv-c'tk oldicL en a fMAoiofa б’пг.. Ггам. Лмс*. MatA. foe. /м, 49*f.

66. Петровский И. Г. Метод Перрона для решения задачи Дирихле. Усп. матем. наук, вып. 8,1940,10I-II4.

67. Проттер Л воипс/Му tWu-* jot an Squatter, flexed Tfotj TianSae. ii6n, Лшгссап Jllath*n>ateСл/ gotaity. ?f. (tPf).

68. ПрОТТер The. Тизо М/оп-claztkcteu'gfccg with с* «the. f/агаЬбс lint, OotifCc Suoi*o (0j /Uathet~"tic$ f ^ $ 9-/0%.

69. Самарский А. А.

Введение

в теорию разностных схем. 'М., 1971.

70. Самарский А. А.

Введение

в численные методы. М., 1982.

71. Самарский А. А. 0 точности метода сеток для задачи Дирихле в произвольной области. JtfP^- 10,3,1965,293−296.

72. Самарский А. А. Теория разностных схем. М., 1977.73. Самарский А. А., Андреев В. Б. Разностные методы для эллиптический уравнений. М., 1976.

73. Самарский А. А., 1улин А. В. Устойчивость разностных схем.М., 1973.

74. Смирнов М. М. Вырождающихся эллиптические и гиперболические уравнения. М., 1966.

75. Тагиев Ф. А., Бабаев Т. А. Численное решение задачи Трикоми для уравнения смешанного типа методом конечных разностей. Вопросы математической кибернетики и прикладной математики. 1,1975.

76. Тагиев Ф. А. Приближенное решения задачи Трикоми в одном общем случаев для уравнения ар. **о. Изв. АН Аз. ССР, сер.фкз.техн. и мат.астрон. 1,1965,60−67.

77. Тагиев Ф. А. Решение задачи Трикоми с общим условием склеивания методом сеток. Изв. АН Аз.ССР, сер.физ.тез.и мат.астр.4,1966.

78. Тагиев Ф. А. Решение задачи Дирихле для уравнения типа М. В. Келдыша методом конечных разностей. Вопр.вычис.мат.и вычис.техн. Из. АН Аз.ССР, IS67.

79. Тагиев Ф. А. Решение задачи Лаврентъева-Бицадзе в многомерной области методом конечных разностей. Уч.зап.АТУ, 1974,139−153.

80. Тагиев Ф. А., Гахраманов П. Ф. Численное решения задачи Проттера методом конечных разностей. ВИНИТИ, «Деп.рукописи», 152 452−82.

81. Тагиев Ф. А., Гахраманов П. Ф., Кязимов Т. Г. Численное решение задачи 1£иксми методом конечных разностей.Уч.зап.АТУ, 6,1978,44−50.

82. Тагиев Ф. А", Попов А. С. Решение задачи Лаврентьева-Бицадзе с разрывом первого рода на линии вырождения методом конечных разностей. Уч.зап.АГУ, 1976,12−19.

83. Тагиев Ф. А., Челябиева Э. А. Приближенное решение задачи Дирихле для уравнений типа Чаплыгина. Воцросы вычислительной матем. Изд. АН Аз.ССР, 1968.

84. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Об однородных разностных схемах. IBM и Ш, 1,1961,5−63.

85. Трикоми Ф. О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа. М., 1947.

86. Трикоми Ф. биввг ь^иахсолс tcMCLXi а^е oleVtrcLie. цм^сай dC МонЫо о гЫс’па, oU ityo fie nob" се л zV ЛНС ofel&'Ас&оСеиьс'а, Mtxte/ia fe Ые* L’rtee^Psetcef 5.4Ч, 4У/-Ш (1925).

87. Филиппов А. Ф. 0 разностном методе решения задачи Трикоми. Изв. АН СССР, сер.матем. 21 (1957*, 73−88.

88. Франкль Ф. И. Два газодинамических приложения краевой задачи Лаврентьева-Бицад з е. Вест. МГУ, сер. мат. мех. астр .6,11,1951,3−7.

89. Франкль Ф. И. Избранные труды по газовой динамике. Под ред. Майкалара Г. И. М., 1973.

90. Франкль Ф. И. Об одной новой краевой задаче для уравнения уЩУч.зап.МГУ, мех.T.IIKI95I), 99−116.

91. Халилов З. И. Решение задачи для уравнения смешанного типа методом сеток. ДАН Аз. ССР, IX, 4,1953,189−194.

92. Чаплыгин С. А. О газовых струях. Полное собр.соч.т.II, 1933.

93. Чибрикова Л. И. К решению краевой задачи Трикоми для уравнения jf^i Уч.зап.Казан.ун-та, т. 117, кн.9,1957,48−51.