Исследование одного класса итерационных методов третьего порядка

Исследование сложных научно-технических проблем нередко приводит к решению различных нелинейных задач, например, к решению систем нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений, нелинейных интегральных, дифференциальных, интегро-диф-ференциальных уравнений и их систем. Известно, что подобные задачи можно трактовать как частный случай общих нелинейных функциональных задач в конкретных функциональных пространствах, что позволяет использовать аппарат и методы функционального анализа для изучения условий разрешимости широких классов таких задач, для создания и исследования общих методов их решения.

Рассмотрим задачу отыскания решения X нелинейного операторного уравнения.

8>(х)-°0, (од) где £Р — оператор, действующий из банахова пространства СС в банахово пространство У. Как правило, такие уравнения сложны и не могут быть решены аналитически. Важный класс численных методов для решения уравнения (0.1) составляют итерационные алгоритмы, реализуемые на современных электронных вычислительных машинах.

В настоящее время известно значительное число итерационных методов и работ, посвященных их исследованию. Тем не менее, весьма актуальной является задача дальнейшего изучения и систематизации уже известных алгоритмов, а также конструирования и исследования новых методов. Это связано, в частности, с широким распространением вычислительного эксперимента как метода организации теоретического исследования сложных прикладных проблем [79], 80, 82. Как подчёркивается в книге [82 А. А. Самарского и Ю. П. Попова, итерационный многовариантный характер вычислительного эксперимента «вынуждает предъявлять достаточно жёсткие требования к эффективности и экономичности численных алгоритмов, к возможности их реализации за минимальное машинное время при сохранении достаточной точности». С другой стороны, многочисленные примеры, в частности [21], [27] ,.

71 [7?j, [Юб], [l08, показывают, что предварительное теоретическое исследование, проведение соответствующей экспериментальной работы приводят к повышению эффективности процесса решения прикладных задач за счёт выбора наиболее быстродействующего из алгоритмов, пригодных для их решения.

Теоретическое исследование итерационных процессов необходимо включает в себя, как известно [зб], следующие этапы:

1. установление осуществимости и сходимости алгоритма;

2. исследование быстроты сходимости;

3. эффективная оценка погрешности.

Несмотря на самостоятельное значение результатов, полученных на этих этапах, ценность каждого нового алгоритма определяется теми преимуществами, которые он предоставляет при сравнительном анализе его свойств и свойств других подобных алгоритмов. Другими словами, предлагаемый алгоритм должен показать свою конкурентоспособность с уже известными методами. в том или ином смысле. Необходимыми составными элементами сравнения алгоритмов являются опробования их на модельных примерах и прикладных задачах. Сопоставление результатов теоретических исследований и экспериментальной работы служит основой рекомендации того или иного итерационного метода для решения данного конкретного класса прикладных задач.

Классические работы Л. В. Канторовича 32−38 и И. П.

МысОБСКИХ.

59−61, посвященные изучению обощения метода Ньютона на случай операторного уравнения (0.1), являются исходным руководством в теоретическом исследовании многих итерационных методов. Упомянутые выше результаты стали инструментом исследования и самого операторного уравнения. Теоремы о сходимости итерационного процесса второго порядка 1.

I Хк.

У*.

0.2).

— п, М 9 называемого обычно методом Ньютона-Канторовича, представляют собой одновременно теоремы о существовании, единственности и области расположения решения X уравнения (0.1).

Теоретическое исследование алгоритма (0.2) и опыт его практического использования стимулировали конструирование новых алгоритмов. Одни из них ориентированы на такие задачи, решение которых методом Ньютона-Канторовича потребовало бы чрезмерных затрат времени или памяти электронной вычислительной машины, например

• И.

96 Другие позволили решать уравнения, для которых не удаётся найти начальное приближение, достаточно хорошее для обеспечения сходимости итераци.

5], [И], [27], [44.

56 онного процесса (0.2), например

Поиски новых эффективных алгоритмов ведутся в различных направлениях. В настоящее время имеется обширная литература по этому вопросу, укажем., например, работы.

31 г ~41 > «43 > 65 [66].

II.

14 М.

112], [Иб] .

Одно из перспективных направлений поиска связано с построением итерационных последовательностей более высокого, чем у метода Ньютона-Канторовича, порядка сходимости. В частности, большое внимание уделяется классу алгоритмов третьего порядка сходимости.

0.4).

Уи.

Первые из членов названного класса были получены при обобщении на случай общих операторных уравнений (0.1) итерационных методов решения алгебраических и трансцендентных уравнений. Метод изучали Г. С. Салехов [77] и М. А. Мертвецова [49]. Метод Чебы-шева впервые в случае уравнения (0.1) рассмотрел М. И. Нечепуренко [б2!. Нередко, основываясь на традиционной геометрической интерпретации алгоритмов (0.3) и (0.4) в случае алгебраических и трансцендентных уравнений, их называют методом касательных гипербол и соответственно касательных парабол. Как будет ясно из результатов первой главы данной работы, для этих методов возможна иная геометрическая интерпретация, которая помогает сравнивать их и некоторые другие алгоритмы с единой точки зрения. Ещё) один метод третьего порядка сходимости со второй производной в расчётных формулах рассмотрел Л. К. Выханду [17.

— 1/, а / [. / \г' гр гу*.

0.5).

Впоследствии Ю. Я. Каазик |^29| обнаружил параметрическое семейство алгоритмов (оС — вещественное число) который включает в себя, в частности, схему (0.4) при .

Как можно видеть, высокий порядок сходимости приведённых алгоритмов достигается за счёт дополнительных по сравнению с методом Ньютона-Канторовича вычислений на каждом итерационном шаге. Так, например, при реализации расчётных формул (0.6) потребуется значение второй производной оператора <?(х).

Тот факт, что затраты на вычисление Я (х^ могут не компенсироваться третьим порядком сходимости итерационного процесса, привёл к появлению алгоритмов, использующих вместо второй производной некоторые её дискретизации. Отметим в этой связи работы [87−89], [107]. Как будет показано в данной работе, при таком подходе могут быть получены итерационные методы, использующие в расчётных формулах вместо выражения, содержащего вторую производную ^" (х), либо выражение с одним дополнительным значением оператора %Р (х), либо — с одним дополнительным значением первой производной .

Методом такого рода является метод, рассмотренный Т. И.

Коган.

40 т* =¦ т* -^гъ.

Ж))/со.7) а также алгоритмы из работы I] и из работы [и^].

Изучению параметрических семейств подобных методов посвящены работы [2], [з](^0 у% /у" 1и работы [4 ], [8^.

М. [75].

0.10).

П+1 а также 4.

К г^ ^ п¦ I.

— I.

0.П).

Таким образом, появилась возможность рассматривать отдельные алгоритмы (0.7), (0.8) и (0.9) как элементы общих параметрических семейств итерационных процессов третьего порядка сходимости. Особенностью группы методов (0.10), (0.11) и (0.12) является необходимость в вычислении на каждом итерационном шаге сразу двух значений первой производной 0*(х). гъ.

0.12).

Наконец, в ряде работ, например [б2], [70, [90] ,.

101 изучается параметрический класс алгоритмов третьего порядка чУ^А-ч^к^^0'(олз) а также рассматриваются некоторые его отдельные члены, в частности, методы (0.13) i-7-ПГ — а алгоритм (0.13) Н.

Х1Ъ~ № К.

Л (ОЛЮ.

ГЪ" ~->ъ ГЪ" представляет собой фактически известное чередование основного и модифицированного методов Ньютона-Канторовича. Заметим, что расчётные формулы (0.13) предполагают вычисление на каждом итерационном шаге двух различных значений оператора 9(х) .

Уже одно перечисление алгоритмов третьего порядка и работ, посвященных их исследованию, показывает, что на протяжении многих лет алгоритмы этого типа вызывали и вызывают к себе значительный интерес математиков. Некоторым шагом вперёд в изучении алгоритмов третьего порядка сходимости было появление параметрических семейств (0.6), (0.10), (О.И), (0.12), (0.13), что давало определённую возможность рассматривать их с единой точки зрения. Однако следует признать, что проведённые в известной литературе исследования даже уже известных отдельных алгоритмов (0.3), (0.4), (0.5), (0.7), (0.8), (0.9) и (0.14) не были достаточно полными и завершёнными. В частности, они не дают возможности проводить сравнительный анализ алгоритмов. Дело в том, что из указанных результатов можно лишь извлечь информацию об условиях сходимости и некоторых характеристиках сходимости алгоритма, соответствующего конкретным значениям параметров. Сравнить же различные алгоритмы, используя эту информацию затруднительно или просто невозможно ввиду определённой грубости теорем и неравнозначности их конкретизаций для отдельных алгоритмов.

Требует дальнейшего глубокого исследования вопрос о целесообразности использования в вычислительной практике для отыскания решения уравнения (0.1) алгоритмов третьего порядка со второй производной в расчётных формулах. В этой связи отметим работы 108, 106, доказывающие оптимальность метода Чебыше-ва в сравнении с методом Ньютона-Канторовича и некоторыми другими алгоритмами для нелинейных алгебраических уравнений достаточно высокой степени и некоторых нелинейных интегральных уравнений. До сих пор однако наиболее дискуссионным является вопрос о целесообразности применения подобных методов к практически важному классу нелинейных задач — системам нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений. Типичной в этом плане является позиция, изложенная в.

65 Дж. Ортега и В.

Рейнболдт указывают, что. вычисление кой производной ото.

Тгъ 1 бражения иь в себя требует, вообще говоря, >Ъ вычислений функциивследствии этого методы, связанные с использованием производных порядка выше первого, мало привлекательны с вычислительной точки зрения, за исключением, возможно, специальных задач". Действительно, в общем случае можно предсказать теоретически, что применение итерационных методов третьего порядка для получения решения с заданной точностью может уменьшить количество итераций приблизительно в полтора раза по сравнению с методом Ньютона-Канторовича. В связи с этим, представляется перспективным использовать алгоритмы со второй производной в основном для таких уравнений, у которых процесс вычислений 9(х), $ (х), 9 (х) содержит многие общие элементы и позволяет находить эти величины совместно, что значительно сокращает объём вычислительных затрат на каждом итерационном шаге по сравнению с общим случаем. С другой стороны, в связи с отсутствием результатов по исследованию устойчивости относительно погрешностей при вычислении второй производной при рассмотрении данного вопроса ранее недооценивалась перспективность простейших модификаций итерационных процессов третьего порядка со вторыми производными, а именно, возможность замены оператора '¡-'(х) каким-либо просто вычислимым оператором, хотя бы грубо приближённо аппроксимирующим вторую производную. Напомним [96^ что возможность использования вместо значений первой производной каких-либо сравнительно грубых её аппроксимаций является резервом повышения эффективности итерационных методов с первой производной. Интуитивно ясно, что подобная ситуация будет иметь место и для итерационных алгоритмов со второй производной. Тщательное рассмотрение этой стороны вопроса будет способствовать прояснению практической полезности алгоритмов подобного типа.

Целью настоящей работы является:

I. конструирование общих схем итерационных методов третьего порядка сходимости, включающих в себя как уже известные в литературе, так и новые алгоритмы;

• 2. исследование полученных семейств алгоритмов на основе принципа мажорант с единой точки зрения, что делает необходимым решение следующих вопросов: а) развитие метода мажорантных уравнений третьей степениб) изучение сходимости семейств алгоритмов в условиях, неулучшаемых для уравнения третьей степенив) получение мажорантных и априорных оценок погрешности в единых условиях сходимостиг) исследование устойчивости алгоритмов по отношению к вычислительной погрешности;

3. анализ полученных на предыдущем этапе результатов с целью: а) выделения конкурентоспособных по быстродействию алгоритмов — б) выяснения возможности использования вместо значения второй производной значения более просто вычислимого оператора с тем, чтобы уменьшить объём вычислительных затрат на каждый итерационный шаг при сохранении достаточно высокой скорости сходимостиисследование различных модификаций итерационных алгоритмов третьего порядка сходимости, полученных при замене оператора второй производной каким-либо аппроксимирующим оператором;

5. проведение экспериментальной работы: опробование конкурентоспособных алгоритмов на модельных примерах и прикладных задачах с целью выбора из них наиболее эффективного алгоритма для задач данного типа.

Работа состоит из трёх глав. В главе I построен общий класс итерационных алгоритмов на основе следующего двуступенча-того подхода. Оператор £Р в уравнении (0.1) аппроксимируется суммой первых трёх (а не двух, как в методе Ньютона-Канторовизатем полученное аппроксимирующее операторное уравнение второй степени решается итерационным путём. Полученная вычислительная схема включает в себя, в частности, такие известные методы, как метод Ньютона-Канторовича, метод Чебышева, алгоритмы (0.3), (0.5), параметрическое семейство (0.6), а также множество новых итерационных методов для решения уравнения (0.1). Даётся единая геометрическая интерпретация всех рассматриваемых алгоритмов. Полезность введения новых итерационных методов, вытекающих из предложенной общей схемы, с точки зрения расширения области сходимости алгоритма и повышения его быстродействия наглядно иллюстрируется на одном вещественном уравнении.

В § 2 главы I развивается метод мажорантных уравнений третьей степени. Выясняются необходимые для дальнейшего условия существования и сам вид корней мажорантного уравнения. Изучаются свойства числовых мажорирующих последовательностей. Доказана теорема о сходимости предлагаемого общего класса методов, которая одновременно решает вопрос о существовании решения уравнения (0.1), его области расположения и области единственности. Проведено сравнение полученных результатов с аналогичными реча) членов разложения по обобщённой формуле Тейлора зультатами, известными в литературе.

В § 3 главы I получены априорные оценки погрешности предлагаемого класса алгоритмов, позволяющие установить порядок и другие характеристики сходимости итерационных последовательностей. Проводится анализ выведенных оценок погрешности, что позволяет выделить из рассматриваемого класса алгоритмов конкурентоспособные по быстродействию итерационные методы.

В § 4 главы I доказана теорема об устойчивости предлагаемых алгоритмов по отношению к вычислительной погрешности, которая указывает на различную степень влияния погрешностей при вычислении оператора и его производных на результат вычислений.

В главе 2 предлагается и исследуется ряд модификаций ранее рассмотренных алгоритмов. Модифицированные алгоритмы получены путём замены второй производной каким-либо аппроксимирующим оператором сС .

В § 1 главы 2 рассматривается класс простейших модифицированных итерационных процессов, в которых участвуют просто вычислимые операторы ??. Доказывается теорема о сходимости таких алгоритмов, указывающая на второй порядок сходимости и позволяющая утверждать их конкурентоспособность в сравнении с известными методами как второго, так и третьего порядка сходимости.

В § 2 главы 2 рассматривается новое общее семейство алгоритмов третьего порядка, расчётные формулы которых используют вместо выражения со второй производной выражение с дополнительным значением первой производной. Доказана теорема сходимости данного семейства итерационных методов, получены априорные оценки погрешности. Отметим, что для известных параметрических семейств (0.10), (0.11) и (0.12) данная теорема впервые устанавливает сходимость в неулучшаемых для мажорантного уравнения третьей степени условиях и впервые указывает в этих условиях априорные оценки погрешности. Анализ результатов исследования позволяет выделить из рассмотренного семейства алгоритмов отдельные конкурентоспособные по быстродействию итерационные методы.

В § 3 главы 2 аналогичным способом исследуется класс алгоритмов (0.13). Доказано, что алгоритм (0.14), обладающий наиболее простой в данном классе вычислительной схемой, имеет наибольшую скорость сходимости, что делает его наиболее эффективным среди методов семейства (0.13).

В § 4 главы 2 изучается нелинейное операторное уравнение специального вида. Для решения этого уравнения предлагается итерационный процесс, использующий в качестве оператора об, аппроксимирующего вторую производную 9, некоторый просто вычислимый оператор, выбор которого обусловлен видом решаемого уравнения.

В § 4 главы 2 предложена модификация итерационных методов со второй производной для случая таких нелинейных уравнений, в которых совместное вычисление значений оператора и его производных Ф и З5 не даёт значительного выигрыша в объёме вычислительных затрат на каждом итерационном шаге. За счёт вычисления значения второй производной в специально выбираемой точке, отличной от той, в которой вычисляются оператор и его первая производная, повышается скорость сходимости итерационной последовательности. Указано, что в случае полиномиальных уравнений, порядок сходимости становится равным четырём.

В главе 3 алгоритмы, изученные в первых двух главах, применяются к решению систем нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений.

В § 1 главы 3 выведены расчётные формулы итерационных процессов применительно к рассмотренному типу уравнений. Сформулированы некоторые практически полезные рекомендации по использованию для решения систем нелинейных алгебраических и трансцен-. дентных уравнений методов со второй производной.

В § 2 главы 3 рассматривается вопрос о численном решении обратной задачи теории потенциала простого слоя. Проведение сравнения различных конкурентоспособных алгоритмов, пригодных для решения системы нелинейных уравнений, возникающих в данной задаче, позволил выбрать наиболее эффективный по быстродействию алгоритм.

В § 3 главы 3 рассматривается вопрос о численной реализации разностных схем для квазилинейного уравнения теплопроводности. Как показано на серии примеров, алгоритм из § 4 главы 2 позволяет получить решение с заданной точностью за меньшее машинное время, чем алгоритм, применявшийся к решению этой задачи ранее.

Все расчёты,. результаты которых используются в данной работе проводились на ЭВМ ЕС — 1020.

Для теорем, замечаний и формул в работе принята трёхступенчатая нумерация. Первое число означает номер главы, второе-номер параграфа, третье — номер теоремы (замечания, формулы). Нумерация рисунков и таблиц состоит из одного числа — порядкового номера в данной работе.

Основные результаты, изложенные в работе, опубликованы в тельной математике в Ленинградском университете им. А. А. Жда.

2б] и докладывались на семинаре по вычисли нова (1983 г., руководитель — профессор И. П. Мысовских), на семинаре по вычислительной математике в Иркутском пединституте (1980;1982 гг., руководитель — профессор Б. А. Бельтюков), на итоговых научно-методических институтских и зональных конференциях (1980;1982 гг.), на II республиканском симпозиуме по методам решения нелинейных уравнений и задач оптимизации (Хаапса-лу, 4−7 июня 1981 г.).

Пользуясь случаем, автор благодарит своего научного руководителя профессора Б. А. Бельтюкова за постоянное внимание и всестороннюю поддержку при выполнении настоящей работы.

— 16.

1. Бартиш М. Я. О некоторых итерационных методах решения функциональных уравнений.-Сиб. мат. журн., 1969, т. 10, № 3, с. 488−493.

2. Бартиш М. Я. О некоторых рекурсивных итерационных методах решения нелинейных операторных уравнений.-Докл. АН Укр. ССР, сер. А, физ.-мат. и техн. науки, 1978, № I, с. 963−965.

3. Бартиш М. Я. Об одном классе итерационных методов со сходимостью третьего порядка.-В кн.: Вычислительная и прикладная математика. Киев, 1976, вып. 28, с. 85−93.

4. Бартиш М. Я., Сеньо П. С. О методе Рунге решения нелинейных уравнений третьего и четвёртого порядка сходимости.-В кн.: Вычислительная и прикладная математика. Киев, 1976, вып. 28, с. 85−93.

5. Бахвалов Н. С. Численные методы.-М.: Наука, 1973, т. I.-632 с.

6. Бельтюков Б. А. О возмущённом аналоге метода Эйткена-Стеф-фенсена для решения нелинейных операторных уравнений.-Сиб. мат. журн., 1971, т. 12, № 5, с. 983−1000.

7. Бельтюков Б. А. Об одном методе решения нелинейных функциональных уравнений.-Журн. вычислит, математики и мат. физики, 1965, т. 5, № 5, с. 927−931.

8. Бельтюков Б. А., Волокитин С. С. Блочные модификации возмущённого метода Эйткена-Стеффенсена.-Журн. вычислит, математики и мат. физики, 1973, т. 12, № 6, с. 1390−1401.

9. Бельтюков Б. А., Зыкова 3. П. Об одном классе итерационных методов для решения нелинейных уравнений.-В кн.: Численные методы оптимизации и их приложения. Иркутск, 1981, с. 175 178.

10. Березин И. С. fЖидков Н. П. Методы вычислений.-2-е изд.-М.: Физматгиз, 1962, т. I. стереотип.-464 е., т. 2. пере-раб.-640 с.

11. Ваарманн 0. О некоторых итерационных методах нахождения нормальных решений нелинейных уравнений.-Изв. АН Эст. ССР, физ., матем. 1973, т. 22, № 4, с. 343−349.

12. Ваарманн 0., Полль В. О решении нелинейных уравнений методами высокого порядка сходимости и их устойчивости.-Изв. АН Эст. ССР, физ., матем. 1977, т. 26, № 2, с. 123−127.

13. Васильев П. Методы решения экстремальных задач.-М.: Наука, I98I.-400 с.

14. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач. -М.: Наука, 1980.-518 с.

15. Васильев Ф. П., Хромова JI. Н. О методах высокого порядка для решения операторных уравнений.-Докл. АН СССР, 1983, т. 270, № I, с. 28−31.

16. Выханду JI. К. Об итерационных мётодах решения уравнений: •Автореф. Дисс.канд. физ.-мат. наук.-Тарту, 1955.-7 с.

17. Выханду JI. К. Об одной возможности оценки погрешности итеративных методов.-В кн.: Учёные записки Тартусского университета, 1959, вып. 73, с. 139−145.4.

18. Гавурин М. К. Аналитические методы исследования функциональных преобразований.-В кн.: Учёные записки ЛГУ, сер. матем., 1950, т. 19, с. 59−154. 97.

19. Гавурин М. К. Лекции по методам вычислений.-М.: Наука, 1971.-248 с.

20. Гасилов В. А., Тишкин В., Фаворский А. П., Шашков М. Ю. Использование метода параллельных хорд для решения разностных уравнений гидродинамики.-Журн. вычислит, математики и мат. физики, 1981, т. 21, № 3, с. 707−720.

21. Гребенюк В. С. Исследование сходимости некоторых классов итерационных процессов.-В кн.-: Исследование по современным проблемам суммирования и их приложения. Днепропетровск, 1975, вып. б, с. 173−180.

22. Дубовик Л. И. Об общем виде итерационного процесса третьего порядка для нелинейных функциональных уравнений.-В кн.: Первая республиканская математическая конференция молодых исследователей. Ин-т математики АН Укр. ССР, Киев, 1965, вып. I, с. 219−225.

23. Зыкова 3. П. Один способ получения априорных оценок погрешности на основе принципа мажорант.-В кн.: Приближённые методы решения операторных уравнений и их приложения.-Иркутск, 1982, с. 94−100.

24. Зыкова 3. П. Применение принципа мажорант при исследовании устойчивости некоторых итерационных процессов.-В кн.: Методы оптимизации и их приложения. Иркутск, 1982, с. 123−126.

25. Ермаков В. В., Калиткин Н. Н. Оптимальный шаг и регуляризация метода Ньютона.-Журн. вычислит, математики и мат. физи- 98 ки, 1981, т. 21, № 2, с. 491−497.

26. Ермолов Л. И. Модификация метода Ньютона на основе схем треугольного разложения Холецкого.-В кн.: Аналого цифровое моделирование и системы управления. Кишинёв, 1980, с. 68−80.

27. Каазик Ю. Я. Об одном классе итеративных процессов для приближённого решения операторных уравнений.-Докл. АН СССР, 1957, т. 112, № 4, с. 579−582.

28. Каазик Ю. Я., Тамме Э. Э. Об одном методе приближённого решения функциональных уравнений.-Докл. АН СССР, 1957, т. 112, № 4, с. 579−582.

29. Калиткин Н. Н. Численные методы.-М.: Наука, 1978.-512 с.

30. Канторович Л. В. Некоторые дальнейшие применения метода Ньютона для функциональных уравнений.-Вестн. ЛГУ, сер. мат., мех. и астр., 1957, т. 7, вып. 2, с. 68−103.

31. Канторович Л. В. Некоторые дальнейшие применения принципа мажорант.-Докл. АН СССР, 1951, т. 80, № 6, с. -849−852.

32. Канторович Л. В. О методе Ньютона.-Тр./мат. ин-т им. В. А. Стеклова, 1949, т. 28, с. 104−144.

33. Канторович Л. В. Приближённое решение функциональных уравнений. -Успехи мат. наук, 1956, т. II, № 6, с. 99−116.

34. Канторович Л. В. Принцип мажорант и метод Ньютона.-Докл. АН СССР, 1951, т. 76, № I, с. 17−20.

35. Канторович Л. В. Функциональный анализ и прикладная математика. -Успехи мат. наук, 1948, т. 3, № 6, с. 89−181.

36. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ.-2-е изд., перераб.-М.: Наука, 1977.-744 с.

37. Картан А. Дифференциальное исчисление.-Дифференциальные формы.-М.: Мир, 1971.-392 с.

38. Коган Т. И. Об одном итерационном процессе для функциональных уравнений.-Сиб. мат. журн., 1967, т. 8, № 4, с. 958−960.

39. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная матема-тика.-М.: Мир, 1969.-448 с.

40. Коппель X. К. Построение некоторых классов итерационных формул.-В кн.: Учёные записки Тартусского университета, 1978, вып. 448, с. 133−138.

41. Красносельский М. А., Вайникко Г. М., Забрейко П. П., Ру-тицкий Л. Б., Стеценко В. Я. Приближённое решение операторных уравнений.-М.: Наука, 1969.-456 с.

42. Курчатов В. А. Итерационный метод третьего порядка для решения нелинейных функциональных уравнений.-Изв. ВУЗов, Математика, 1976, № 12, с. 51−56.

43. Курчатов В. А. О некоторых условиях сходимости метода Чебы-шева.-Тр./Казанский химико-технологический ин-т, 1971, вып. 42, с. 3−8.

44. Курчатов В. А. Об одном методе решения нелинейных функциональных уравнений.-Докл. АН СССР, 1969, т. 189, № 2, с. 247−249.

45. Лика Д. К. К сходимости одного процесса третьего порядка для решения нелинейных операторных уравнений с недифферен-цируемым оператором и необратимой производной.-В кн.: Прикладная математика и программирование.-Кишинев: Штиинца, 1971, вып. 5, с. 24−34.

46. Лика Д. К. Сходимость одного итерационного процесса и его применение для построения решения нелинейных дифференциальных уравнений.-Изв. АН Молд. ССР, Физ., мат., 1972, № I, с. 3−10. 100.

47. Мертвецова М. А. Аналог процесса касательных гипербол для общих функциональных уравнений.-Докл. АН СССР, 1953, т. 88, № 4, с. 611−614.

48. Микеладзе Ш. Е. О некоторых итерациях высших порядков.-Сообщ. АН Груз. ССР, 1959, т. 22, № 3, с. 257−264.

49. Мираков В. Е. О принципе мажорант для метода Чебышева.-Успехи мат. наук, 1956, т. II, вып. 3, с. 171−174.

50. Мираков В. Е. О сходимости метода касательных гипербол для нелинейных функциональных уравнений при условии типа Ко-ши.-Тр./Московский физико-технический ин-т, 1958, вып. I, с. 204−213.

51. Мираков В. Е. О сходимости метода Чебышева для нелинейных функциональных уравнений при условии типа Коши.-Тр./Московский физико-технический ин-т, 1960, вып. 5, с. 146−153.

52. Мираков В. Е. Принцип мажорант и метод касательных парабол для нелинейных функциональных уравнений.-Докл. АН СССР, 1957, т. ИЗ, № 5, с. 977−980.

53. Михлин С. Г. О погрешностях вычислительных процессов, II. Изв. ВУЗов, Математика, 1981, № 8, с. 32−38.

54. Моисеевв Н. Н., Иванилов Ю. П., Столярова Е. М. Методы оптимизации. -М.: Наука,-351 с.

55. Мурзакаев М. Л. О методе Чебышева для функциональных уравнений.-Тр./Ташкентский гос. ун-т, 1968, К? 316, с. 43−54.

56. Мухамадиев Э. М., Стеценко В. Я. Достаточные условия сходимости метода Ньютона-Канторовича при решении краевых задач для квазилинейных уравнений эллиптического типа.-Сиб. мат. журн., 1971, т. 12, № 3, с. 576−582.

57. Мысовских И. П. К вопросу о сходимости метода Ньютона.-Тр./матем. ин-т им. В. А. Стеклова, 1949, т. 28, с. 145.

58. Мысовских И. П. О сходимости метода Канторовича решения функциональных уравнений и его применения.-Докл. АН СССР,• 1950, т. 70, № 4, с. 565−568.

59. Мысовских И. П. О сходимости метода Л. В. Канторовича для решения нелинейных функциональных уравнений и его применение.-Вестн. ЛГУ, 1953, № II, с. 25−48.

60. Настас Н. К. О сходимости одного процесса третьего порядка для решения нелинейных операторных уравнений.-В кн.: Приближённое решение уравнений, Кишинёв: Штиинца, 1973, с. 70−75.

61. Насыров Т. X. К расчёту установившихся режимов электрических систем методом Ньютона-Рафсона.-Изв. АН Уз. ССР, 1979, № 5, сер. технич. наук, с. 19−22.

62. Нечепуренко М. И. О методе Чебышева для функциональных уравнений.-Успехи мат. наук, 1954, т. 9, № 2, с. 162−170.

63. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных уравнений со многими неизвестными.-М.: Мир, 1975.-560 с.

64. Островский А. М. Решение уравнений и систем уравнений.-М.: ИЛ, 1963.-219 с.

65. Парасюк Е. М., Власов В. П., Мелекесцев В. С., Мельник3. 0., Кардаш А. И. Об одном методе решения обратной задачи теории потенциала.-Изв. АН СССР, Физика Земли, 1972, № II, с. 77−81.

66. Парасюк Е. М., Кардаш А. И. Одна численная реализация решения обратной задачи теории логарифмического потенциала простого слоя.-Вестн. Львовского ун-та, сер. мех.-мат., вып. 8, 1973, с. 92−96.

67. Парасюк Е. М., Сеньо П. С. Об одной обратной задаче логарифмического потенциала простого слоя.-Вестн. Львовского ун-та, сер. мех.-мат., 1974, вып. 9, с. 124−125.

68. Полль В. Об одном классе итерационных методов для решения нелинейных операторных уравнений.-Изв. АН Зет. ССР, Физ., математика, 1974, т. 23, № 4, с. 421−424.

69. Попов Ю. П., Самарская Е. А. О сходимости итерационного метода Ньютона для решения разностных уравнений газовой динамики.-Журн. вычислит, математики и мат. физики, 1977, т. 17, № I, с. 276−280.

70. Попов Ю. П., Самарский А. А. О методах численного решения одномерных нестационарных задач газовой динамики.-Журн. вычислит, математики и мат. физики, 1976, т. 16, № 6, с. 1503−1518.

71. Прокопченко А. В. Об одном способе построения итерационных процессов высоких порядков.-Докл. АН Узб. ССР, 1979, № 2, с. 8−9.

72. Роозе А. Об использовании методов Рунге-Кутта для решения нелинейных уравнений.-Изв. АН Эст. ССР, Физ., математика, 1973, т. 22, № 4, с. 431−434.

73. Роозе А. Свойства одного класса алгоритмов для решения нелинейных уравнений.-Изв. АН Эст. ССР, Физ., математика, 1974, т. 24, № 4, с. 349−352.

74. Рябченко Н. М. О сходимости некоторого итерационного процесса высокого порядка.-В кн.: Первая республиканская математическая конференция молодых исследователей. АН Укр. ССР, ин-т математики. Киев, 1965, вып. I, с. 580−587.

75. Салехов Г. С. О сходимости процесса касательных гипербол.-Докл. АН СССР, 1952, т. 82, № 4, с. 525−528. 103.

76. Самарская Е. А. Об итерационных методах решения разностных уравнений газовой динамики.-Вестн. Моск. ун-та, сер. 15, вычислит, математика и кибернетика, 1980, № I, с. 58−65.

77. Самарский А. А. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент.-Вестн. АН СССР, 1979, № 5, с. 38−49.

78. Самаре кий А. А. Теория разностных схем.-М.: Наука, 1977.— 656 с.

79. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений.-М.: Наука, 1978.-592 с.

80. Самарский А. А., Попов Ю. П. Разностные методы решения задач газовой динамики.-2-е изд., испр. и доп.-М.: Наука, 1980.-352 с.

81. Самарский А. А., Соболь И. М. Примеры численного расчёта температурных волн.-Журн. вычислит, математики и мат. физики, 1963, т. 3, № 4, с. 702−719.

82. Сеньо П. С. Применение принципа мажорант к итерационным методам типа Рунге.-Вестн. Львовского ун-та, сер. мех.-мат., вып 12, 1977, с.61−62.

83. Тамме Э. Э. О принципе мажорант для итерационных методов.-В кн.: Учёные записки Тартусского ун-та, 1959, т. 73, с. 84−116.

84. Тамме 3. Э. О приближённом решении функциональных уравнений методом разложения в ряд обратного оператора.-Докл. АН СССР, 1955, т. 103, № 5, с. 769−772.

85. Ульм С. Ю. Об обобщённых разделённых разностях.-I. Изв. АН Эст. ССР, Физ., математика, 1967, т. 16, № I, с. 13−16.

86. Ульм С. Ю. Об обобщённых разделённых разностях.-II. Изв. АН Эст. ССР. Физ., математика, 1967, т. 16, № 4, с. 146−156.

87. Ульм С. Ю. О сходимости некоторых итерационных процессов в- 104 пространстве Банаха.-Учёные записки Тартусского гос. унта, вып. 42, Таллин, 1956, с. 135−142.

88. Фоканова А. А. Обобщение одного метода решения нелинейных уравнений.-Журн. вычислит, математики и мат. физики, 1972, т. 12, № I, с. 218−221.

89. Хемминг Р. В. Численные методы.-М.: Наука, 1972.-400 с.

90. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений.-М.: Мир, 1980.-279 с.

91. Чернышенко В. М. Об аналоге метода Чебышева.-В кн.: Первая республиканская математическая конференция молодых исследователей. АН Укр. ССР, ин-т математики. Киев, 1965, вып. I, с. 691−697.

92. Чернышенко В. М. Общая теория итерационных методов решения нелинейных функциональных уравнений.-Днепропетровск, ротапринт Днепропетровского ун-та, 1970.-170 с.

93. Чернышенко В. М., Лисихина Н. П. Обобщение метода Джаррат-та на нелинейные функциональные уравнения.-В кн.: Вычислительная и прикладная математика. Межведомственный научный сборник. Киев, 1974, вып. 23, с. 13−19.

94. Черняк В. Я. Об устойчивости одного итерационного процесса. -В кн.: Прикладная математика. Иркутск, 1978, с. 211−213.

95. Шафиев Р. А. О методе касательных гипербол.-Докл. АН СССР, 1963, т. 149, № 4, с. 788−791.

96. Шафиев Р. А. О некоторых итерационных процессах.-Журн. вычислит. математики и мат. физики, 1964, т. 4, № I, с. 139−143.

97. Щербина Ю. М. Разностный аналог метода касательных гипербол. -Вестн. Львовского ун-та, 1976, вып. II, сер. мех.-мат., с. 66−70.