Приближенные методы решения параболических вариационных неравенств с препятствием внутри области

Вариационные неравенства возникают при рассмотрении явлений, для которых связи, уравнения состояния, формулировки физических законов меняются при достижении определенными величинами некоторого порога (называемого свободной границей). Первой задачей, поставленной в виде вариационного неравенства, была задача Синьорини, сформулированная А. Синьорини в 1959 году [70]. Эволюционные неравенства были введены в гиперболическом случае в работе Ж.-Д. Лионса в 1966 году [60], параболическом — в работе Ж.-Л. Лионса и Г. Стампаккьи [59] в 1967 году. В настоящее время вариационные неравенства находят применение не только в физике и механике, но и в экономике, финансах, теориях оптимизации и игр.

Начало теоретическому исследованию вариационных неравенств положили работы Г. Фикеры [53], предложившего решение задачи Синьоринивскоре после него свои работы по теории вариационных неравенств опубликовали Ж.-Л. Лионе и Г. Стампаккья [59], X. Брезис [44]. Подробное изложение теории вариационных неравенств с примерами различных прикладных задач можно найти в книгах Ж.-Л. Лионса [26], Г. Дюво и Ж.-Л. Лионса [19], А. Фридмана [35], Д. Киндерлерера и Г. Стампаккьи [20], К. Байокки и А. Капелло [5].

В настоящей работе мы изучаем приближенные методы решения параболических вариационных неравенств с препятствием внутри области, которые формулируются следующим образом: найти функцию и G /С П W тахую, что и (0) = щ и.

V) (и' + Аи — f, v — и) ^ 0 V v? /С, где.

JC={ueV = L2(0,T-, W12{tt)): и^ф}, W = {и G V: и'? V*}, оператор Л: V —" V* порождается квазилинейным эллиптическим дифференциальным оператором второго порядка в ограниченной области Q — Q х (О, Т) по правилу т.

Au, v) — J{A{t)u, v) dt = J (^Г" ^ сд{х, t, u, ux) vxi + Xuv) dxdt, о q i=0 где vXQ — v. На протяжении всей работы предполагается, что функции a, j, i = 0,1,., 7 г, удовлетворяют условиям JIepe-Лионса (условия Ка-ратеодори, линейного роста, эллиптичности и коэрцитивности), а также условиям монотонности. При рассмотрении отдельных вопросов на них накладываются также дополнительные ограничения.

Решение неравенства («Р), согласно общепринятой терминологии, называют сильным обобщенным решением следующей системы неравенств в Q (задачи дополнительности): и^ф, u' + Au-f^ 0, (и — ф){и' + Аи — /) = 0, п (0) = щ.

Слабое обобщенное решение определяется как w € /СП С ([0, Т]- Я"), для которой справедливо неравенство s.

J (v'+A (t)u—f, v—u) dt>1- \v{s)-u (8)\2h-^ И0)-щ\2п Vve wn/c, 0 для всех 5 €E [0,T] (см., напр., [26, с. 280, 404]). В данной работе мы не касаемся вопросов нахождения слабого обобщенного решенияотметим только, что сильное решение (если оно существует) является также и слабым решением.

Задача (V) является нелинейной, даже если предположить линейность оператора А. Это связано с наличием множества ограничений /С, а точнее с множеством.

1{и) = {(ж,*) е Q: u (x, t) = V0M)}, которое называется коинцидентным множеством решения и является дополнительным неизвестным задачи: в приложениях задачи (V) оно представляет не меньший интерес, чем само решение и (а также его граница, называемая свободной, неизвестной границей).

Первая работа Брезиса [43], содержащая достаточные условия существования слабого обобщенного решения, появилась еще в 1968 годув этой работе он выделил и использовал класс псевдомонотонных операторов. Чтобы установить существование сильного обобщенного решения были введены дополнительные ограничения, в частности предположение о линейности оператора, А (см. также [26, с. 280, с. 404]). В дальнейшем были затрачены значительные усилия разных исследователей, направленные как на расширение класса операторов, для которых удается доказать существование сильного решения, так и на совершенствование методик исследования. Обзору работ в этом направлении посвящена статья [63]. Наиболее общий результат для широкого класса задач с препятствием, соответствующих операторам JIepe-Лионса 2ш-го порядка, был опубликован в 2004 году в работе О. В. Солонухи [32]. Этот результат обеспечивает существование решения рассматриваемой нами задачи (V). Единственность решения следует из монотонности оператора А.

Целью диссертационной работы является построение и исследование приближенных методов решения задачи (V). Основное внимание уделяется следующим вопросам:

1. новым определениям решения задачи (на основе операторов точного штрафа). Эти определения оказываются полезными как с точки зрения построения приближенных решений, так и с точки зрения исследования устойчивости коинцидентного множества решения;

2. построению и исследованию точности методов регуляризации задачи (Р) — эти методы позволяют в дальнейшем вместо неравенств решать уравнения;

3. построению и исследованию точности полудискретных и полностью дискретных схем решения задачи (Р) — мы строим новые схемы, а также уточняем оценки погрешности решения ряда известных схем.

Мы не касаемся важных, требующих отдельного изучения, алгоритмических аспектов отыскания решений рассматриваемых нами приближенных схемони представляют собой системы нелинейных алгебраических уравнений или неравенств, и по их решению имеется обширная литература (см., напр., [8], [25], [4]).

Приведем краткий обзор содержания диссертации, состоящей из двух глав. Первая глава состоит из 4 параграфов.

В § 1 формулируется постановка задачидаются определения функциональных пространств и класса рассматриваемых операторовкомментируется существование и единственность решения исходного неравенстваприводятся и устанавливаются необходимые в дальнейшем свойства пространств функций, операторов и решения задачи, в том числе теоремы сравнения и устойчивости решения к возмущению правой части и начальных данных.

В § 2 предлагаются две эквивалентные формулировки исходной задачив основе их лежат идеи работы Р. З. Даутова для эллиптических неравенств [9]. А именно, при определенных ограничениях на функцию д = ф' -fАф — / (слабее, чем д Е Ь-2{Я)) указывается такой выпуклый липшиц-непрерывный функционал j: V —> R, что задача (V) эквивалентна следующей задаче: найти и Е W такую, что.

Vq) u (0) = щ и {и1 + Ли — /, v — и) + j{v) — V v е V.

В терминах субдифференциала j это неравенство равносильно включению и' + Ли — f + dj (u) Э 0.

Для класса задач, названных в работе регулярными, показывается, что dj (u) состоит из одного элемента, а задача (V) равносильна параболическому уравнению.

Pi) и? Я2'1 (Q): и' + Аи — д+в{и — ф) = /, w (0) = щ, где д = ф + Аф — /- 0(A) = 0, если Л > 0 и 0(A) = 1, если, А < 0- д+ — положительная часть д (для регулярных задач /, 5? L2(Q)). Оператор и —" — д+в (и — ф) называется оператором точного штрафа, поскольку этот оператор «штрафует» ограничение и Е JC в задаче (V) с единичным параметром штрафа.

Также в этом параграфе обсуждаются вопросы, связанные с исследованиями гладкости (регулярности) решения исходной задачиприводится обзор работ в этом направлении, в частности, отмечаются работы, в которых формулируются достаточные условия регулярности задачи.

В § 3 изучаются методы регуляризации задачи (V), построенные на основе указанных выше эквивалентных формулировок, доказываются оценки близости решений исходной и регуляризованной задачи в нормах Loo (Q) и ?2(0, Т V).

Регуляризованная задача может быть построена двояким способом: регуляризацией (сглаживанием) липшиц-непрерывного функционала j дифференцируемым j? в неравенстве (Ро), либо регуляризацией разрывной функции 9 в неравенстве (Vi) непрерывной в£. В обоих случаях приходим к задаче вида.

Ve) и'£ + Аие — qOe (ue) = /, ue (0) = щ, где функция 9£(А) отличается от 9(А) лишь на интервале (—?1,6:2),? = maxjei, ?2}, q ^ д± В научной литературе известны многочисленные формулы для 0е они получаются из различных соображений и полезны также с обратной точки зрения (когда задача (V?) является исходной, а задача (V) является ее приближением). Получаемые нами формулы для этой функции не являются новыми и использовались, ранее (например, в [20]) — однако, способ ее получения позволяет нам при исследовании точности регуляризации оценивать близость решения задач ('Ре) и (Pq) (илиЧП) и (Pi)), а не {Ve) и (V).

Это позволяет нам при получении оценок точности метода регуляризации не предполагать условия типа липшиц-непрерывности оператора, А и повышенной гладкости решения задачи, как этого требуют известные нам методики получения оценок точности. Мы опираемся на условие монотонности и одно, достаточно легко проверяемое для конкретного оператора, А условие: для любой константы е > 0 справедлива оценка.

А (и + e), v) ^ (Au, v) Vu, v е V, v ^ 0.

Мы доказываем следующие оценки точности: и — El < ие ^ и + е2 п.ВС. в Q, ||гх — ue\Ln^T.v) ^ се½.

Также доказывается, что подобные оценки справедливы и для классических методов штрафа. Вторая оценка является характерной для различных вариантов метода штрафа для регулярных задач (см. [6], [42], [68] для задач с линейным оператором А, [75], [61] для задач со слабо нелинейным оператором).

Для методов регуляризации с? — 0 в случае регулярных задач мы доказываем, что.

IIU — U?\L3(04t.V) = о{е½), и выделяем те задачи, для которых эта оценка улучшается до оценки 11^ ~ щ\ь2{о, т-у) — 0(вП Аналогичные этим результаты получены и для одного варианта метода штрафа.

В § 4 предлагается «энергетическая» техника исследования устойчивости коинцидентного множества решения задачи к возмущению данных / и щ. Пусть и и й — решения регулярных вариационных неравенств (V) с правыми частями / и / и начальными данными щ и щ соответственно, а 1{и) и 1{й) — соответствующие им коинцидентные множества. Задача состоит в оценке (п + 1)-мерной меры Лебега множества.

Д/ = 1{й)А1(и) = {1(й) U I (u)) (1{й) П 1{и)), представляющего собой симметричную разность этих множеств.

Эта задача существенно сложнее, чем исследование устойчивости решения и. Даже для задач с линейным оператором А, нам известна методика таких исследований лишь в случае, когда априори известно, что ий' ^ 0 п.вс. в Q (типа однофазной задачи Стефана). В этом случае удается воспользоваться методикой, разработанной для эллиптических задач с препятствием внутри области: анализируя локальное поведение решения и его производных в окрестности свободной границы получаются локальные оценки устойчивости (см., например, [35, с. 192]).

Предлагаемая нами методика исследования базируется, во-первых, на формулировке неравенства в виде операторного уравнения (Pi) и замечании о том, что функция Xi (u)(x, t) = 0(u (x, t) — i/j (x, t)), определенная в Q, представляет собой характеристическую функцию множества 1{и) во-вторых, на равенстве.

АI = J Хт — xi (u)dxdt. Q.

Исследования проводятся в предположении, что.

9,9 е Q = {д е L2(Q): Сд = const > 0 в Q}, где д = ф' + Aip — f, д = ip' + Aip — /. Нами получены две оценки устойчивости, соответствующие различным предположениям относительно оператора А. Наилучшая оценка справедлива для монотонных операторов, обладающих следующим свойством:

Аи — Av, sigп?(и — v)) ^ 0, для всех ?>0, и^бУ, и имеет следующий вид: mesn+i (1(й)А1(и)) ^ с (||й0 — wolU^) + ||/ - /IUi (.

Здесь signe (A) = sign (A) при |А| > е, signe (A) = Х/е при |А| ^ е.

Во второй главе строятся и исследуются три типа сеточных схем для приближенного решения исходной задачи. Две из них являются общепринятыми и получаются аппроксимацией либо исходного неравенства (Р), либо регуляризованной задачи (Ре) (задачи со штрафом). Третья схема является новой и получаются аппроксимацией задачи (Pq).

Для аппроксимации задачи по пространственным переменным используется метод конечных элементов (МКЭ),' а по временной переменной — метод конечных разностейтрадиционно используются простейшие методы (простейшие треугольные или четырехугольные элементы и неявная схема Эйлера). Последнее объясняется тем, что решение задачи обладает малой гладкостью, даже при сколь угодной высокой гладкости данных задачи. А именно, можно предполагать, что решение задачи таково, что и' е Ь2{О, Т] НП Loo (0, ТL2(S2)), и е Ь2{О, ГЯ 2(Q)), (1) но и" не принадлежит как L2(Q), так и L2(0,TЯ-1(П)), если не предполагать специальных условий согласования данных, а и не принадлежит L2(0,T] H3(Q)). Отсутствие гладкости решения по временной переменной является серьезной проблемой при теоретическом исследовании точности сеточных схем даже в энергетической норме •.

IMU = lluIUoo (0,r-L2(n)) + 1Ми2(0,Т-ЯЧП))> естественной для параболических задач, и приводит к заниженным оценкам (по сравнению с параболическими уравнениями).

Так для модельной задачи (Л — линейный оператор, ф — 0) для сеточной схемы на основе задачи (V) в [56], [67], получена оценки точности порядка 0(h + г½) — в случае дополнительных предположений относительно поведения решения в окрестности свободной границы — 0(h + In¼ г [56], [73]. Оценка погрешности улучшается до 0(т + h), если предположить, что и" G L2(Q) [73], либо и" € L2(0,Г-H~l (Q)) [56], [74]. Однако, как отмечалось выше, эти предположения не выполняются для несогласованных данных. Отметим также работы [50], [52], [41], в которых получены оценки в других нормах.

Для сеточных схем, полученных после дискретизации задачи со штрафом, проблема получения оптимальных оценок точности усугубляется из-за наличия дополнительного параметра е. Так в [68] при оптимальном выборе е = 0(h2) получена оценка точности порядка 0{h + r/h) она является неудовлетворительной, поскольку приводит к требованию т = 0(h2), что нехарактерно для неявных схем. В [61] получена оценка О (г + /г), е = 0(h2), при условии u" Е L2{Q).

В главе 2 мы доказываем, что для задачи с препятствием, не зависящим от времени, при достаточно гладких данных задачи, предположений (1) достаточно, чтобы гарантировать ожидаемую оценку точности порядка О (г + h) для всех трех типов схем.

Глава состоит из трех параграфов. В § 1 исследуется неявная схема Эйлера для абстрактного параболического неравенства вида т.

J ({u' + A{t)u-f1v-u) + (j>{t1v)-(t, u))dt^ 0 Vv€V{(p)i о с выпуклым полунепрерывным снизу функционалом ф и сильно монотонным, липшиц-непрерывным оператором, А (при каждом t). Исследования проводятся в контексте тройки гильбертовых пространств V С Я С У*- указываются условия, которые обеспечивают как существование и единственность решения этого неравенства, так и оценку точности порядка 0(т) для неявной схемы Эйлера. Эти исследования являются обобщением результатов работы [66], в которой, А (линейный оператор) и ф предполагались не зависящими от t, и играют центральную роль в следующих параграфах. Во-первых, они позволяют исследовать разрешимость как полудискретных, так и дискретных схем. Во-вторых, позволяют разбить исследование точности дискретной схемы на два шага: на первом гттаге исследовать точность полудискретной схемы по пространствуна втором шаге, оценить точность дискретной схемы.

В § 2 изучается полудискретная сеточная схема, построенная на базе исходной задачи (V): вводится пространство конечных элементов, определяются квадратурные формулы (мы рассматриваем схемы МКЭ с численным интегрированием) и множество ограничений К^ определяется схема полудискретизации по пространственным переменным, устанавливаются оценки близости полудискретной и непрерывной задачи. После чего, с помощью неявной схемы Эйлера, осуществляется переход к полиостью дискретной задачев результате доказывается оптимальная оценка точности порядка О (г + К) в энергетической норме.

В § 3 аналогичным образом исследуются два других типа схемпри выборе г порядка 0(h2) доказывается оценка точности 0(т + h) в энергетической норме.

В работе получены следующие основные результаты: для квазилинейных параболических вариационных неравенств с препятствием внутри области.

1. даны эквивалентные определения решения в виде вариационных неравенств 2-го типа с выпуклым липшиц-непрерывным функционалом и в виде параболического уравнения с разрывной слабой нелинейностьюна их основе изучены методы штрафа и регуляризации, для которых получены оценки точности, лучшие известных ранее;

2. доказаны оценки устойчивости коинцидентного множества решения (по мере Лебега) к возмущению правой части и начальных данных, существенно улучшающие известные оценки;

3. построена новая неявная схема МКЭ с численным интегрированием для приближенного решения задачидля нее доказана оптимальная оценка точности в энергетической норме;

4. получены оптимальные оценки точности в энергетической норме двух известных сеточных схем приближенного решения задачи.

Апробация. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях: Пятый всероссийский семинар «Сеточные методы для краевых задач и приложения посвященный 200-летию Казанского государственного университета, г. Казань, 17−21 септября 2004 г.- Шестой всероссийский семинар «Сеточные методы для краевых задач и приложения г. Казань, 1−4 октября 2005 г.- Седьмой Казанской летней школе-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы г. Казань, 27 июня — 4 июля 2005 г.- Всероссийской молодёжной школ е-конференции «Численные методы решения задач математической физики г. Казань, 26 июня — 2 июля 2006 гСедьмом всероссийском семинаре «Сеточные методы для краевых задач и приложения 21 — 24 сентября 2007 г.- 51-й научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук г. Москва, 28−30 ноября 2008 г.- на семинарах кафедры вычислительной математики КГУ (руководитель М.М. Карчевский), на итоговых научных конференциях Казанского государственного университета.

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики Казанского государственного университета.

По теме диссертации опубликовано 11 работ ([11], [12], [13], [14], [15], [16], [17], [18], [28], [29], [30]), в том числе 3 статьи в журналах, входящих в список ВАК РФ. Совместные работы выполнены в соавторстве с научным руководителем, которому в этих работах принадлежит постановка задач, выбор направлений и методов исследования.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю Рафаилу Замиловичу Даутову за постановку задачи, постоянную поддержку и помощь при выполнении работы.

1. Апугикинская Д., Уральцева Н., Шахголян X. О липшицевости свободной границы в параболичской задаче с препятствием // Алгебра и анализ. 2003. Т. 15, .№ 3. С. 78−103.

2. Апушкинская Д. Е., Уральцева Н. Н., Шахголян X. О глобальных решениях параболической задачи с препятствием // Алгебра и анализ. 2002. Т. 14, К0- 1. С. 3−25.

3. Архипова А. А. О предельной гладкости решения нестационарной задачи с одним или двумя препятствиями // Проблемы мат. анализа. 1983. Т. 9. С. 149−156.

4. Бадриев И. Б., Задворнов О. А. Итерационные методы решения вариационных неравенств в гильбертовых пространствах. Казань: Изд-во Казанского государственного университета, 2003. 131 с.

5. Байокки К., Капело А. Вариационные и квазивариационные неравенства. М.: Мир, 1988. 448 с.

6. Бенсусан А., Лионе Ж.-Л. Импульсное управление и квазивариационные неравенства. М.: Мир, 1987. 596 с.

7. Гаевский X., Грёгер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978. 336 с.

8. Гловински Р., Лионе Ж.-Л., Тремольер Р. Численное исследование вариационных неравенств. М.: Мир, 1979. 576 с.

9. Даутов P. 3. Об операторах точного штрафа для эллиптических вариационных неравенств с препятствием внутри области j j Дифферент уравнения. 1995. Т. 31, № 6. С. 1008−1017.

10. Даутов Р. 3., Карчевский М. М.

Введение

в теорию метода конечных элементов. Казань: Казанский государственный университет им. В.И. Ульянова-Ленина, 2004. 239 с.

11. Даутов Р. 3., Михеева А. И. О точности метода штрафа для параболических вариационных неравенств с препятствием внутри области // Изв. Вузов. Математика. 2008. № 2. С. 41−47.

12. Даутов Р. 3., Михеева А. И. Операторы точного штрафа и регуляризация параболических вариационных неравенств с препятствием внутри области // Дифференц. уравнения. 2008. Т. 44, № 1. С. 7784.

13. Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980. 384 с.

14. Киндерлерер Д., Стампаккья Г.

Введение

в вариационные неравенства и их приложения. М.: Мир, 1983. 256 с.

15. Корнеев В. Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков точности. Ленинград: Из-во Ленинградского университета, 1977. 205 с.

16. Красносельский М. А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М.: Физматгиз, 1956. 392 с.

17. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 736 с.

18. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973. 578 с.

19. Лапин А. В. Итерационные методы решения сеточных вариационных неравенств. Казань: Изд-во Казанского государственного университета, 2008. 132 с.

20. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. 588 с.

21. Лионе Ж.-Л., Мадженес Е. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971. 372 с.

22. Михеева А. И., Даутов Р. 3. Об устойчивости коинцидептного множества решения параболического вариационного неравенства с препятствием // Изв. Вузов. Математика. 2010. № 3. С. 88−91.

23. Обен Ж.-П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. М.: Мир, 1988. 510 с.

24. Солонуха О. В. О нелинейной параболической задаче с препятствием // УМН. 2004. Т. 59, № 3. С. 181−182.

25. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1980. 511 с.

26. Уральцева Н. Н. О регулярности решений вариационных неравенств // Успехи математических наук. 1987. Т. 42, № 6. С. 151−174.

27. Фридман А. Вариационные прииципы и задачи со свободными границами. М.: Наука, 1990. 536 с.

28. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.: Мир, 1979. 400 с.

29. Addou A., Mermri В. Topological degree and application to a parabolic variational inequality problem // Internat. J. Math. Math. Sci. 2001. Vol. 25. Pp. 273−287.

30. Apushkinskaya D. E., Matevosyan N., Uraltseva N. N. The behavior of the free boundary close to a fixed boundary in a parabolic problem // Indiana Univ. Math. J. 2009. Vol. 58, no. 2. Pp. 583−604.

31. Baiocchi C. Discretization of evolution inequalities // Partial Differential Equations and the Calculus of Variations / Ed. by F. Colombini, L. M. A. Marino, S. Spagnolo. Boston: Birkauser, 1989. Pp. 59−92.

32. Barbu V. Nonlinear semigroups and differential equations in Banach spaces. Leyden: Nordhof, 1976. 352 pp.

33. Berger A., Falk R. An Error Estimate for the Truncation Method for the Solution of Parabolic Obstacle Variational Inequalities // Math. Computation. 1977. Vol. 31, no. 139. Pp. 619−628.

34. Boman M. A posteriori error analysis in the maximum norm for a penalty finite element method for time-dependent obstacle problem // Technical Report. Chalmers Finite Element Center. 2000. Vol. 12.

35. Brezis H. Equations et inequations non lineaires dans les espaces vecto-riels en dualH^ // Comm. Pure Appl. Math. 1968. Vol. 18. Pp. 115−175.

36. Brezis H. Problemes unilateraux // J.Math. Pures. Appl. 1972. Vol. 51. Pp. 1−168.

37. Brezis H. Un probleme devolution avec contraintes unilaterales dependant du temps // C. R. Acad. Sci. Paris. 1972. Vol. 274. Pp. 310−312.

38. Browder F. E., Hess P. Nonlinear mappings of monotone type in Banach spaces // J. Funct. Anal. 1972. Vol. 11, no. 2. Pp. 251−294.

39. Caffarelli L. The regularity of free boundaries in higher dimensions // Acta. Math. 1977. Vol. 139. Pp. 155−184.

40. Caffarelli L. A remark on the Hausdorff measure of a free boundary, and the convergence of coincidence sets // Boll. Un. Mat. Ital. A. 1981. Vol. 18, no. 5. Pp. 109−113.

41. Charrier P., Troianiello G. On strong solutions to parabolic unilateral problems with obstacle dependent on time // J. of Math. Anal, and Appl. 1978. Vol. 65, no. 1. Pp. 110−125.

42. Cortey-Dumont P. On finite element approximation un the L°°-norm of parabolic variational inequalities and quasi-variational inequalities // CMAP de l’Ecole Polytechn. 1983. T. 112. C. 599−606.

43. Donati F. A penalty method approach to strong solutions of some nonlinear parabolic unilateral problems // Nonlinear Anal. 1982. no. 6. Pp. 585−597.

44. Fetter A. Loo-error estimate for an approximation of a parabolic variational inequality // SIAM J. Numer. Math. 1987. Vol. 50. Pp. 557−565.

45. Fichera G. Elastostatic problems with unilateral constraints: the Signori-ni problem with ambiguous boundary conditions // Seminari dell’istituto Nazionale di Alta Matematica 1962;1963. Rome: Edizioni Cremonese, 1964. Pp. 613−679.

46. Friedman A., Kinderlehrer D. A one phase Stefan problem j I Indiana. Univ. Math. J. 1975. no. 24. Pp. 1005−1035.

47. Hartman P., Stampacchia G. On some nonlinear elliptic differential functional equations // Acta Math. 1966. Vol. 115. Pp. 271−310.

48. Johnson C. A convergence estimate for an approximation of a parabolic variational inequality // SIAM J. Numer. Anal. 1976. no. 13. Pp. 599 606.

49. Landes R., Mustonen V. On pseudo-monotone operators and nonlinear noncoercive variational problems on unbounded domains // Math. Arm. 1980. Vol. 248, no. 2. Pp. 241−246.

50. Leray J., Lions J.-L. Quelques resultats de Visik sur des problemes el-liptiques non linaires par les methodes de Minty-Browder // Bull. Soc. Math. France. 1965. Vol. 93. Pp. 97−107.

51. Lions J.-L., Stampacchia G. Variational inequalities // Comm. Pure Ap-pl. Math. 1967. Vol. XX. Pp. 493−519.

52. Lions J.-L.. Sur un nouveau type de probleme non lineaire pour op-erateurs hyperboliques du deuxieme ordre // Sem. J. Leray. College de France. 1966. Vol. II. Pp. 17−33.

53. Nair P., Pani A. K. Finite Element Methods for Parabolic Variational Inequalities with a Volterra Term // Numerical functional analysis and optimization. 2003. Vol. 24, no. 1,2. Pp. 107−127.

54. Nochetto R., Savare G., Verdi C. A posteriori error estimates for variable time-step discretizations of nonlinear evolution equations // Comm. on Pure and Appl. Math. 2000. Vol. 53, no. 5. Pp. 525−589.

55. Rudd M., Schmitt K. Variational inequalities of elliptic and parabolic type // Taiwanese J. Math. 2002. no. 6. Pp. 287−322.

56. Rulla J. Error Analysis for Implicit Approximations to Solutions to Cauchy Problems // SIAM J. Numer. Anal. 1996. Vol. 33, no. 1. Pp. 6887.

57. Savare G. Approximation and regularity of evolution variational inequalities // Rnd.Acc. Naz. Sci. dei XL, Memorie di Matematica. 1993. Vol. XVII. Pp. 83−111.

58. Savare G. Weak solutions and maximal regularity for abstract evolution inequalities // Adv. Math. Sci. Appl. 1996. no. 6. Pp. 377−418.

59. Scarpini F., Vivaldi M. Evaluation de l’erreur d’approximation pour une enequation parabolique relative aux convexes dependant du temps // Appl. Math. Optim. 1978. no. 4. Pp. 121−138.

60. Scholz R. Numerical solution of the obstacle problem by the penalty method. Part II. Time-Dependent Problems // Numer. Math. 1986. Vol. 49. Pp. 255−268.

61. Sholz R. Numerical solution of the obstacle problem by the penalty method // Computing. 1984. Vol. 32. Pp. 297−306.

62. Signorini A. Questioni di elasticita non linearizzata e semilinearizzata // Rend. Mat. Appl., V. Ser. 1959. Vol. 18. Pp. 95−139.

63. Tartar L. Remarks on some interpolation spaces // Boundary value problems for PDEs and applications. 1993. Pp. 229−252.

64. Vivaldi M. Existence of strong solutions for nonlinear parabolic variational inequalities // Nonlinear Anal. 1987. Vol. 11, no. 2. Pp. 285−295.

65. Vuik C. An L2-Error Estimate for an Approximation of the Solution of a Parabolic Variational Inequality // Numer. Math. 1990. Vol. 57. Pp. 453−471.

66. Zenisek A. Approximation of parabolic variational inequalities // Ap-likace Matematiky. 1985. Vol. 30. Pp. 11−35.

67. Wang S., Huang C.-S. A power penalty method for solving a nonlinear parabolic complementarity problem // Nonlinear Analysis. 2008. no. 69. Pp. 1125−1137.

68. Ziemer W. Regularity of weak solutions parabolic variational enequali-ties // Tranc. Amer. Math. Soc. 1988. Vol. 39, no. 2. Pp. 763−786.

69. Zlamal M. Curved elements in finite element method. I. // SIAM J. Numcr. Anal. 1973. Vol. 10, no. 1. Pp. 229−240.

70. Zlamal M. Curved elements in finite element method. II. // SIAM J. Numer. Anal. 1974. Vol. 11, no. 2. Pp. 347−362.