Оценка погрешности кубатурных формул с пограничным слоем и узлами на решетке в весовых пространствах Соболева

Теория кубатурных формул сложилась как новое направление математики в 60-ые годы в результате исследований С. Л. Соболева и прочитанного им курса лекций по теории кубатурных формул в Новосибирском государственном университете в 1965;66 годах.

В связи с появлением в 1974 году монографии «Введение в теорию кубатурных формул» C.JI. Соболева, эта область математики, предметом которой является приближение интегралов формулами механических квадратур, превратилась из набора отдельных формул для вычисления интегралов в новую математическую дисциплину, тесно связанную с другими разделами математики: анализом, теорией функции, функциональным анализом, теорией дифференциальных уравнений, алгеброй, теорией чисел.

Сначала остановимся на некоторых понятиях и проблемах теории кубатурных формул. Отмечается, что кубатурные формулы отличаются от одномерных двумя особенностями: а) бесконечным многообразием многомерных областей интегрированияб) быстрым ростом числа узлов формулы с увеличением размерности пространства.

В настоящее время быстрые темпы совершенствования ЭВМ с увеличением объема памяти и скорости вычисления приводят к возможности использовать кубатурные формулы при вычислении кратных интегралов количеством узлов порядка десяти тысяч и более.

Поэтому важным вопросом при больших численных расчетах становится построение асимптотически оптимальных кубатурных формул в различных функциональных пространствах.

В диссертационной работе основной целью является обоснование асимптотической оптимальности кубатурных формул с пограничным слоем в весовых пространствах Соболева.

Пространства Соболева являются, в настоящее время, одним из фундаментальных понятий теории дифференциальных уравнений с частными производными. Впервые введенные в математический обиход в 30-е годы в результате работ С. Л. Соболева, оформленных им позднее (1950 г.) в виде монографии [50], они получили свое дальнейшее развитие и естественное обобщение в работах целого ряда математиков.

В данной работе основным объектом исследования являются формулы приближенного вычисления многомерных интегралов в весовых функциональных пространствах Соболева. Область интегрирования Q при этом ограничена кусочно гладкой поверхностью конечной площади в n-мерном евклидовом пространстве Еп. В остальном она произвольна. Для приближенного вычисления интеграла по области П предлагается использовать кубатурные формулы, то есть приближенные равенства вида.

Точки Xk и параметры q называют соответственно узлами и коэффициентами кубатурной формулы. Распределение узлов хk внутри Q может быть произвольным. Тем не менее результаты работы относятся к формулам с параллелепипедальной решеткой узлов. В этом случае узлы хр нумеруются с помощью мультииндекса (3 — (/3i,., j3n) с целочисленными координатами. Любой из них можно найти по формуле хр = hH (5, где Н — матрици рамера п х п, detН — 1, а положительный параметр h называется шагом решетки. При этом само приближенное значение интеграла представляется в виде линейной комбинации значений функции tp (x) в узлах кубатурной формулы:

N N.

X) скср (хк) = / Е — Xk) ip (x)dx, к=1 к=1 где 8{х) — известная дельта-функция Дирака.

Интегрируемые функции считаем элементами некоторого банахова пространства В, вложенного в пространство непрерывных функций:

В С С (П). (2).

Функционалом погрешности кубатурной формулы (1) в пространстве В называется обобщенная функция Iq (x)? В* вида: N.

Iq (x) = ?п (х) — X ск6(х — хк). к=1.

Из условия вложения (2) следует, что функционал погрешности Iq (x) вида.

3) является линейным непрерывным функционалом в 5 и его норма определяется формулой.

1Ык = SUP = SUP {fo,.

Щв |М|в=1.

Норма зависит от (n + 1) N параметров ск: N. Пусть X = [хк = (х[кх{2к., х^):к = 1, 2,., ivj — узлы кубатур-ной формулы, Р = {ск, к = 1,2, ., iV} - коэффициенты кубатурной формулы и — совокупность узлов и коэффициентов кубатурной формулы. о.

Кубатурная формула (1) с функционалом погрешности /о (х) в виде (3) называется оптимальной в пространстве В, если.

I (х) = inf sup = inf d (xb ck, N) = d (xk, Cb N). (4).

В* (х, р)<�рф о \<�р\в (X, p) о о.

Ьё узлы и коэффициенты обозначаются через хк: ск соответственно, и называются оптимальными.

Отыскание минимума (4) по хк, ск называют экстремальной задачей теории кубатурных формул.

Функция (fo (x)? В, если она существует, реализующая минимум выражения (4), называется экстремальной функцией функционала к Ма, а а а.

Функционал погрешности Iq (x, X, P, N), зависящий от Х-, Р, N, а а называется асимптотически наилучшим, если la{x, X, P, N)? В*, и, а а для любого функционала Iq (x, X, Р, N)? В* выполняется условие.

N^oo, а а.

В* а а.

Узлы и коэффициенты обозначаются соответственно через xkl ск и называются асимптотически ниалучшими.

Пусть узлы кубатурной формулы (1) расположены на решетке Г (/г#|0), detН = 1, хк = hHfikl к = 1,2 а.

Функционал погрешности Iq (x, P, N) с узлами на решетке, зависящий от вектора Р и N называется асимптотически оптимальным, а если ln (x, P, N)? В* и для любого Iq (x, P, N)? В* выполняется условие: в* в*.

В своих исследованиях различные постановки экстремальной задачи для функции одной переменной рассматривали С. М. Никольский [27], В. И. Крылов [20], Н. П. Корнейчук [13] и другие, в том числе для вероятностных методов построения кубатурных формул Н. С. Бахвалов [1], С. М. Ермаков [12], Г. А. Михайлов [23], И. М. Соболь [55].

Для решения экстремальной задачи теории кубатур в п-мерном пространстве Еп C.JI. Соболевым был предложен функционально-аналитический подход, указан способ построения кубатурных формул с регулярным пограничным слоем с узлами на решетке с шагом h и доказано, что такие формулы асимптотически оптимальны в гильбертовом пространстве L™.

Основные достоинства формул с регулярным пограничным слоем заключаются в уменьшении объема работы при вычислении их коэффициентов и асимптотической оптимальности в гильбертовом пространстве L™.

Остановимся более подробно на основных результатах C.JI. Соболева по теории кубатурных формул, полученных благодаря функциональному подходу.

В монографии C.JI. Соболева [49] дана оценка сверху нормы функционала погрешности 1^(х) при помощи экстремальной функции <�ро (х) из L™, на которой функционал погрешности (Iq (x), щ (х)} принимает наибольшее значение.

Нахождение экстремальной функции связано с решением уравнения.

Дти = (-1ГЙ (х). (5).

Решение уравнения (5) выражается в явной форме при помощи свертки) mG (x)*l>b (x) + P (x), где G{x) — фундаментальное решение полигармонического уравнения порядка га, Р (х) — произвольный многочлен степени ниже т. Норма функционала погрешности определяется соотношением lhn\lr = G (x)*lhn (x)*lhn (-x)x=Q.

Норма функционала погрешности с регулярным пограничным слоем Iq (x) удовлетворяет асимптотическому равенству.

ШьГ = (mesfi)*5m (tf1 + 0(h)), где.

Вт (Н) = ?

Для оценки снизу нормы функционала погрешности с заданной решеткой узлов и с произвольными коэффициентами в пространстве важную роль играет функция обладающая следующими свойствами:

1. cph (h (3) = 0, то есть обращается в нуль в узлах решетки;

2. (fih (x) = 0, если х Q;

3. / (ph{x)dx = f lQ (x).

С её помощью С. Л. Соболевым получена оценка снизу нормы любого функционала погрешности Iq (x) в пространстве L™:

В дальнейшем это новое направление математики развивали его ученики Р. А. Салихов, Ц. Б. Шойнжуров, В. И. Половинкин, М. Д. Рамазанов и другие, обобщая результаты С. Л. Соболева на другие функциональные пространства.

Ц.Б. Шойнжуров впервые исследовал кубатурные формулы в негильбертовом пространстве Соболева W™ с нормой зависящей от функции и её младших производных, га — любое поло.

Здесь требование ортогональности функционала к многочленам степени ниже т не является обязательным в отличие от фактор-пространства L™(En).

Экстремальная функция <�ро (х), соответствующая функционалу р (х), как решение нелинейного уравнения Эйлера получена с помощью преобразования Фурье и норма функционала погрешности в W™ в явном виде равна.

В.И. Половинкин рассматривал последовательности функционалов с пограничным слоем в негильбертовом пространстве L™, 1 < р < оо с нормой ll’filli?.- > (mesU)'Bm (HY'hm (l + 0(h)).

6) жительное число и (1 — A)™ ip (x) = F + |27г£|2)&trade-F (p (£). т p (x)\wr = J G (x) * p (x)f dx]w .

В частности, в [35] им доказано, что при нечетном т кубатурные формулы с регулярным пограничным слоем асимптотически оптимальны в L™(Q), а при четном т показано, что кубатурные формулы с регулярным пограничным слоем могут не быть асимптотически оптимальными над пространством L™(Q) при четном ш. Данный вывод привел к необходимости расширить сам класс рассматриваемых формул, не ограничиваясь только формулами с регулярным пограничным слоем. ц.

М.Д. Рамазанов ввел пространство ff2 (П) с нормой рассмотрев кубатурные формулы с ослабленным пограничным слоем, с использованием основных операций анализа таких, как замена переменных в функционале и перемножение функций, построил формулы с пограничным слоем, но отличные от формул с регулярным пограничным слоем для ограниченных областей с гладкими и кусочно-гладкими границами и показал их асимптотические оптимальности вН2 (П) [44], [45], [47], [48].

М.В. Носков установил условия разложимости эрмитовых куба-турных формул в декартовы произведения формул меньшей размерности и доказал теорему, позволяющую определить точность сомножителей, исходя из точности самого декартова произведения [30].

B.JI. Васкевич исследовал кубатурные формулы в пространствах гармонических функций Бергмана e^fi). Элементами el (Q) являются функции класса W^, гармонические в ограниченной области Q [5].

Ц.Б. Шойнжуров в поздних работах исследовал функционал пои грешности кубатурной формулы с пограничным слоем в пространстве W™ с нормой (7) и получил для функционала погрешности Iq (x следующую оценку р-1 x)\wp* — (rnesQ) р iPo е2тг iH-lp р dx hm (l + 0(h)) (9).

Первые систематические исследования весовых функциональных пространств были начаты в работах Л. Д. Кудрявцева [21]. Дальнейшее развитие исследования весовых пространств функций получили в работах [7], [11], [22], [29], [31] и [32].

Изложим кратко содержание диссертационной работы.

Основные результаты получены благодаря функционально — аналитическому подходу. Это предполагает, во-первых, что подынтегральные функции объединены в некоторое банахово пространство, и во-вторых, что разность между интегралом и приближающей его комбинацией значений подынтегральной функции рассматривается как результат действия некоторого линейного функционала. Этот функционал, называемый функционалом погрешности кубатурной формулы, как правило непрерывен. Знание численного значения его нормы позволяет получать гарантированные оценки точности кубатурной формулы на элементах выбранного пространства. В этом — существенное преимущество функционального подхода перед чисто алгебраическим.

Алгебраический и функциональный подходы порождают отличные друг от друга критерии качества кубатурных формул. В первом случае лучшей считается формула, точная на возможно большем числе полиномов. Во втором предпочтительней та формула, функционал погрешности которой имеет меньшую норму. В книге С. Л. Соболева и B. J1. Васкевича «Кубатурные формулы» подробно исследуется взаимосвязь этих критериев.

Функциональный подход помимо описания конструкций рассматриваемых формул, то есть указания их узлов и коэффициентов либо алгоритмов их нахождения, подразумевает также исследование норм соответствующих функционалов погрешности в выбранном банаховом пространстве. В частности, в работе выводятся двусторонние оценки этих норм.

Диссертация состоит из введения, трех глав, одинадцати параграфов и списка литературы. Формулы отмечены тройной нумерацией: номер главы, номер параграфа и номер формулы в параграфе, разделенные точкой. Во введении номера формул обозначены одной цифрой.

1. Бахвалов Н. С. Численные методы. — М.: Наука, 1973. — 631 с.

2. Блинов Н. И., Войтишек Л. В. Кубатурные формулы с регулярным пограничным слоем для куба //Вопросы вычислительной и прикладной математики. — Ташкент, 1970, — Вып.38. —С.8—15.

3. Блинов Н. И., Войтишек Л. В. О построении кубатурных формул с регулярным пограничным слоем для рациональных многогранников //Тр. семинара акад. С. Л. Соболева. — 1979. — № 1. — С.5—15.

4. Васильева Е. Г. Асимптотически оптимальные квадратурные формулы с пограничным слоем//Abstracts of the International Conference of Mathematics. — Ulaanbaatar, 2001. — C.14.

5. Васкевич В. Л. Кубатурные формулы в гармонических пространствах Бергмана //Кубатурные формулы и их приложения. Уфа: ИМ ВЦ УНЦ УфО РАН, 1995 — С.241—250.

6. Васкевич В. Л. Сходимость квадратурных формул на некоторых классах функций: Дис.канд. физ.-мат. наук (01.01.01) /Ново-сиб. гос. ун-т. — Новосибирск, 1982. — 108 с.

7. Вашарин А. А. Граничные свойства функций, имеющих конечный интеграл Дирихле с весом //Докл. АН СССР. 1957. — Т.117. —5.

8. Войтишек JT.B. Об одном частном случае построения кубатурных формул с пограничным слоем //Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 1969. — Т.9, № 2. — С.417—419.

9. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. — М.: Наука, 1976. — 280 с.

10. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. — 5-е изд., доп. — М.: Наука, 1988. — 512 с.

11. Глушко В. П. Неравенства для норм производных в пространствах Lp с весом //Сиб. мат. журн. — 1960. — Т.1,3.

12. Ермаков С. М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. — М.: Наука, 1975. — 327 с.

13. Корнейчук Н. П. Экстремальные задачи теории приближения. — М.: Наука, 1981. — 431 с.

14. Корнейчук Н. П. О новых результатах по экстремальной задаче теории квадратур //С.М.Никольский.Квадратурные формулы. — М.: Наука, 1988. — С.127—253.

15. Корытов И. В. Построение формул с регулярным пограничным слоем //Сборник научных статей: Физико-математические науки. — Улан-Удэ, 1994. — Вып.1. — С. 150—152.

16. Корытов И. В. Эффективный способ вычисления коэффициентов квадратурных формул с регулярным пограничным слоем //Сборник научных статей: Физико-математические науки. — Улан-Удэ, 1994. — Вып.1. — С.147—150.

17. Корытов И. В. Норма периодического функционала погрешности в W^m/S) //Кубатурные формулы и их приложения: Докл. III семинара-совещ. /Отв. ред. М. Д. Рамазанов. — Уфа, 1996. — С.32—36.

18. Корытов И. В. Оценка сверху нормы функционала погрешности с регулярным пограничным слоем в W^mEn) //Комплексный анализ, дифференциальные уравнения, численные методы и приложения. V. Численные методы. — Уфа, 1996. — С.71−78.

19. Корытов И. В. Оценка снизу нормы функционала погрешности в W^mEn) //Кубатурные формулы и их приложения: Докл. III семинара-совещ. /Отв. ред. М. Д. Рамазанов. — Уфа, 1996. — С.37—40.

20. Крылов В. И. Приближенное вычисление интегралов. — 2-е изд., доп. — М.: Наука, 1967. — 500 с.

21. Кудрявцев Л. Д. Прямые и обратные теоремы вложения. Приложения к решению вариационным методом эллиптических уравнений //Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР. — 1959. Т.55. — С.1—181.

22. Кудрявцев Л. Д. Теоремы вложения для весовых пространств и их приложения к решению задачи Дирихле//Исследования по современным проблемам конструктивной теории функций, для индивидуальных функций. — Баку: Изд-во АН Азерб. ССР, 1965.

23. Михайлов Г. А. Оптимизация весовых методов Монте-Карло. — М.: Наука, 1987. — 236 с.

24. Михайлова С. В. О реализации линейных функционалов в весовых пространствах многомерных периодических функций //Вопросы математического анализа: Сб. науч. ст./Отв. ред. В. И. Половинкин. — Красноярск, 1996. — С.20—25.

25. Мынбаев К. Т., Отелбаев М. О. Весовые функциональные пространства и спектр дифференциальных операторов. — М.: Наука, 1988. — 288 с.

26. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Наука, 1977. — 456 с.

27. Никольский С. М. Квадратурные формулы. — 4-е изд., доп. с добавлением Н. П. Корнейчука. — М.: Наука, 1988. — 256 с.

28. Никольский С. М. Курс математического анализа. В 2-х т. — 4-е изд., перераб. и доп. — М.: Наука, 1991. — Т.2. — 544 с.

29. Никольский Ю. С. Поведение дифференцируемых функций из весовых классов на бесконечности //Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР. — 1972. — Т.117.

30. Носков М. В. О построении кубатурных формул повышенной тригонометрической точности //Методы вычислений / Под ред. И. П. Мысовских. — JL, 1991. — Вып. 16. — С. 16—23.

31. Перепелкин В. Т. Интегральные представления функций, принадлежащих весовым классам С. Л. Соболева в областях, и некоторые приложения//Сиб. мат. журн. — 1972. — Т.13, № 4. — С.345—349.

32. Перепелкин В. Т., Успенский С. В. Представление функций, суммируемых с весом в областях, и некоторые приложения //Теоремы вложения и их приложения. — Алма-Ата, 1976. —С.109—113.

33. Половинкин В. И. Весовые кубатурные формулы в периодическом случае //Мат. заметки. — 1968. — Т. З, № 3. — С.319—326.

34. Половинкин В. И. О кубатурных формулах с регулярным пограничным слоем//Сиб. мат. журн. — 1972. — Т.13, № 4.—С.951—954.

35. Половинкин В. И. Последовательность функционалов с пограничным слоем //Сиб. мат. журн. — 1974. — Т. 15, № 2, — С.413—429.

36. Половинкин В. И. Асимптотическая оптимальность последовательностей формул с регулярным пограничным слоем при нечетных т //Сиб. мат. журн. — 1975. — Т.16, № 2. — С.328—335.

37. Половинкин В. И. Последовательности кубатурных формул и функционалов с пограничным слоем: Автореф. дис... докт. физ.-мат. наук (01.01.01) / ЛГУ. — Л., 1979 — 18 с.

38. Половинкин В. И. О реализации функционалов ошибок кубатурных формул в пространствах типа L™ // Краевые задачи для уравнений с частными производными. — Новосибирск, 1988. — С.125—136.

39. Половинкин В. И. О реализации финитных функционалов в L™(En) // Теоремы вложения и их приложения к задачам математической физики. — Новосибирск, 1989. — С. 137—139.

40. Половинкин В. И. Реализация линейных функционалов из L™*(Q) // Сиб. мат. журн. — 1995. — Т.36, № 1. — С.156—158.

41. Пономаренко А. К. Некоторые инвариантные кубатурные формулы // Кубатурные формулы и их приложения: Докл. III семинара-совещ. / Отв. ред. М. Д. Рамазанов. — Уфа, 1996. — С.70—76.

42. Рамазанов М. Д. Об оптимальных функционалах ошибки над периодическими функциями из банаховых пространств // Сиб. мат. журн. — 1972. — Т.13, № 2. — С.481—484.

43. Рамазанов М. Д. Лекции по теории приближенного интегрирования. — Уфа: Изд-во Башкир, ун-та, 1973. 174 с.

44. Рамазанов М. Д. Асимптотическая оптимальность решетчатых кубатурных формул на гильбертовых пространствах // Докл. АН СССР. — 1974. — Т.216, № 1. — С.44—45.

45. Рамазанов М. Д. Теория решетчатых кубатурных формул с ограниченным пограничным слоем // Кубатурные формулы и их приложения: Докл. III семинара-совегц. — Уфа, 1996. — С.77—89.

46. Рамазанов М. Д. К Lp-теории соболевских формул. Вопросы математического анализа: Сб. науч. ст. / Отв. ред. В. И. Половинкин. — Красноярск, 1996. — С.39—52.

47. Соболев С. Л.

Введение

в теорию кубатурных формул. — М.: Наука, 1974. — 808 с.

48. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. —Л.:Изд-во ЛГУ, 1950. — 255 с.

49. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике / Под ред. О. А. Олейник. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Наука, 1988. — 336 с.

50. Соболев С. Л. Избранные вопросы теории функциональных пространств и обобщенных функций. — М.: Наука, 1989. — 254 с.

51. Соболев С. Л. Уравнения математической физики / Под ред. А. М. Ильина. — 5-е изд., перераб. и доп. — М.: Наука, 1992. — 432 с.

52. Соболев С. Л., Васкевич В. Л. Кубатурные формулы. — Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1996. — 484 с.

53. Соболь И. М. Численные методы Монте-Карло. — М.: Наука, 1973. — 311 с.

54. Францев Г. Л. Кубатурные формулы в пространстве L™s //Сборник научных трудов: Физико-математические науки, Математика. — Улан-Удэ, 1999. — Вып.4. — С.94.

55. Францев Г. Л. Кубатурные формулы в пространстве С. Л. Соболева с весом //Математика в восточных регионах Сибири: Материалы международной конференции. — Улан-Удэ, 2000. — С.109.

56. Францев Г. Л. Оценка сверху функционала погрешности с регулярным пограничным слоем в пространстве С. Л. Соболева с весом //Abstracts of the International Conference of Mathematics.— Ulaanbaatar, 2001.—C. 14.

57. Функциональный анализ/М.Ш.Бирман, Н. Я. Виленкин и др.- под ред. С. Г. Крейна. — М.: Наука, 1964. — 424 с.

58. Шойнжуров Ц. Б. Оценка функционалов погрешности кубатур-ной формулы в пространствах с нормой, зависящей от младших производных: Дисканд. физ.-мат. наук (01.01.07)/ Ин-т математики СО АН СССР. — Новосибирск, 1967 — С. 83.

59. Шойнжуров Ц. Б. О приближенном интегрировании функций в W (О) //Применение функциональных методов к краевым задачам математической физики: Материалы III Советско-Чехословацкого совещ. — Новосибирск, 1972. — С.256—255.

60. Шойнжуров Ц. Б. Теория кубатурных формул в функциональных пространствах с нормой, зависящей от функции и ее производных: Дис. .докт. физ.-мат. наук (01.01.01, 01.01.07) / Вост.-Сиб. технол. ин-т. — Улан-Удэ, 1977 — С. 235.

61. Шойнжуров Ц. Б. Асимптотически оптимальные квадратурные и кубатурные формулы. — Новосибирск, 1979. — С.28. — (Препринт / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т математики- № 55).

62. Шойнжуров Ц. Б. Решение одного класса квазилинейных уравнений второго порядка эллиптического типа в неограниченной среде //Межвузовский сборник научных трудов. — Новосибирск, 1992. — С.109—113.

63. Шойнжуров Ц. Б. Обобщенные решения одного класса квазилинейных уравнений эллиптического типа //Вопросы дифференциальной геометрии и приложения: Материалы Всероссийской науч. конф./Отв. ред. В. Б. Цыренова. — Улан-Удэ, 1994. — С.42—47.

64. Шойнжуров Ц. Б. О приближенном интегрировании функций в пространствах С. Л. Соболева с весом. //ДАН СССР. — 1974. — Т. 218, 4.

65. Шойнжуров Ц. Б. Построение решения квазилинейного уравнения в ограниченной области //Сборник научных статей: Физико-математические науки. — Улан-Удэ, 1994. — Вып.1. — С.173—177.

66. Шойнжуров Ц. Б. Норма функционала погрешности в пространстве W^mEn) //Кубатурные формулы и их приложения: Докл. III семинара-совещ./Отв. ред. М. Д. Рамазанов. — Уфа, 1996. — С.123—127.

67. Шойнжуров Ц. Б., Францев Г. Л. Квадратурные формулы в весовом пространстве//Сборник научных трудов: Физико-математические науки, Математика. — Улан-Удэ, 1999. — Вып.З. — С.23—31.

68. Шойнжуров Ц. Б., Францев Г. Л. Оценка снизу нормы функционала погрешности в пространстве L™s (En) //Вестник ВосточноСибирского государственного технологического университета — Улан-Удэ, 2001. — № 3. — С.25—28.

69. Шойнжуров Ц. Б., Шойнжурова Ч. Ц. Обобщенные решения квазилинейных уравнени в дивергентной форме //Межвузовский99сборник научных трудов по прикладной математике/Отв. ред. С. Л. Буянтуев. — Улан-Удэ, 1994. — С.125—132.

70. Шойнжуров Ц. Б., Юмова С. Вычисление параметров оптимального периодического функционала погрешности в пространстве L™ //Сборник научных трудов: Физико-математические науки, Математика. — Улан-Удэ, 2000. — Вып.4.