Методы и конструкции в теории ветвления

Любая монография или учебник по локальной теории полей классов содержит главу, посвященную теории ветвления. В ее основе лежит существование некоторой базовой системы инвариантов для заданного конечного расширения локальных полей. В качестве таковой можно взять, в частности, порядки подгрупп ветвления (в нижней нумерации). Все другие классические инварианты ветвления данного расширения (а также любого его подрасширения) могут быть через них выражены. На этой основе строится элегантная и практически завершенная теория, включающая такие элегантные результаты, как теорема Хассе-Арфа или теорема Серра о существовании представления Артина.

Теория ветвления представляет собой удобный инструмент для изучения многих вопросов, касающихся конечных расширений локальных и глобальных полей. НалиЧие фильтрации ветвления на группе Галуа позволяет свести изучение заданного конечного расширения к изучению просто устроенных подрасширений. Далее, регулярное поведение инвариантов ветвления при переходе к подрасширениям делает теорию ветвления применимой также и для изучения бесконечных расширений. Наиболее ярким примером этого служит теория нолей норм, развитая Фонхеном и Винтенберже.

— Инвариантыветвления,^ассоциированные с морфизмом гладких проективных кривых или с конструктивным пучком^{-модулей} в этальной топологии на такой кривой, входят в качестве локальных членов в важные формулы алгебраической геометрии — формулу Римана-Гурвица и формулу Гротендика-Огга-Шафаревича соответственно.

С современной точки зрения классическая теория чисел, изучающая глобальные и локальные поля, представляет собой одномерный случай арифметической геометрии, предметом кйторой служат схемы конечного типа над Ъ. Многие классические понятия, теоремы и гипотезы переносятся на эту более общую «п-мерную ситуацию». В частности, существует высшая теория полей классов, построенная в работах Като, Паршина, Востокова, Фесенко, теория высших аделей Паршина-Бейлинсона и др. Однако, пока не существует приемлемого п-мерного обобщения теории ветвления.

Красота и сила классической теории ветвления сохраняются при переходе от локальных полей (с конечным нолем вычетов) к полным дискретно нормированным полем с произвольным совершенным полем вычетов. Однако от регулярного поведения инвариантов ветвления и всей основанной на нем теории практически ничего не остается, если мы допускаем возможность несепарабельных расширений полей вычетов. (Расширения такого типа с неизбежностью возникают при работе с n-мерными задачами, где п > 1.).

В течение последних 30 лет был опубликован ряд научных статей, посвященных теории ветвления дискретно нормированных полей с несовершенным полем вычетов и теории ветвления многомерных схем. В большинстве из них получена в основном негативная информация о различного рода нерегулярностях в поведении инвариантов ветвления.

В данной работе мы развиваем несколько новых подходов к построению теории ветвления в этой общей ситуации.

За полезные обсуждения, определившие направление исследований, автор выражает благодарность С. В. Востокову, А. Н. Паршину, И. Б. Фесенко, П. Делиню, Г. Ломону, Т. Саито. Я также признателен за сотрудничество А. Аббесу, В. А. Абрашкину, М. В. Бондарко, О. Ванюшиной, О. Габберу, Н. Г. Дурову, А. Жеглову, К. Зайнуллину, JL Иллюзи, К. Като, М. В. Коротееву, В. С. Куликову, X. Курке, Ф. Лоренцу, А. Мадунц, Л. Миллер, Д. Орлову, Д. Осипову, М. Росту, М. Саиди, Л. Сприано, Б. Эрецу, А. В. Яковлеву. Эти математики поддерживали мой интерес к теории ветвления, а некоторые из них помогли найти ошибки в ранних версиях работ. I.

0.1 Изучаемые объекты Некоторые обозначения.

Для целой схемы X обозначим через к (Х) ее поле функций.

Для нормирования v на поле К обозначим через Kv пополнение этого поля. к обозначает алгебраически замкнутое полер = char к. (Мы не требуем р > 0, но этот случай представляет основной интерес.) I — простое число Ф р.

Для схемы X и неотрицательного целого i через Xх обозначается множество ее г-мерных точек. i.

Геометрические данные.

Пусть X — нормальное многообразие над к.

Инварианты ветвления могут быть приписаны, в частности, каждому из следующих объектов.

1. Конечное сепарабельное расширение Ь/К, где К ~ к (Х).

2. Конечный морфизм /: У —> X, этальный в общий точке.

3. Конструктивный пучок Е/-модулей на Ха.

Существуют просто описываемые взаимосвязи между этими типами объектов. Так, расширение Ь/К определяет нормализацию /: У > X многообразия X в Ь это конечный морфизм, этальный в общей точке. Наоборот, любой такой морфизм определяет конечное расширение Ь/К полей функций.

Далее, опишем на грубом уровне связь этих объектов с пучками. Предположим, что пучок Т — локально постоянный над некоторым открытым подмножеством 11 С X. Тогда существует этальное накрытие и' —" (7 такое, что постоянный. Рассматривав меньшее II, можно считать, что II' связно. Соответствующее расширение полей функций (оно не определено однозначно) можно взять в качестве Ь/К.

Обратно, пусть Ь/К — конечное расширение Галуа, и пусть / — соответствующий морфизм нормализации. Тогда / этален над некоторым открытым II С X. Различные конечномерные^{-представления} Са1(Ь/К) соответствуют локально постоянным пучкам^{-модулей} конечного ранга на ?7^- эти пучки продолжаются нулем на все Х (л.

Классические инварианты ветвления.

Пусть X — многообразие над кпредположим, что X нормальна. Зафиксируем конечное расширение Галуа Ь/К поля К = к{Х).

Дифференталокус ветвления. Пусть /: У —-> X — нормализация X в Ь. Тогда пучок идеалов.

Ъу/х = Апп &у/х называется дифферентой У над X. Это инвариант ветвления: для Р Е У, {'&у/х)р = Ор, если и только если / неразветвлен в Р.

Подсхема У, определяемая пучком &у/х имеет своим носителем замкнутое подмножество У, называемое локусом ветвления.

Индекс ветвления и нижние подгруппы ветвления. Пусть У — простой дивизор на X, и пусть V — соответствующее нормирование поля К. Обозначим через ю произвольное продолжение V на Ь. Тогда индекс ветвления еи! = е (Ью/Ку) называется индексом ветвления Ь/К в гопоскольку Ь/К — расширение Галуа, он в действителВности не зависит от выбора го над и. Далее, подгруппа разложения.

Ди С Са1(Ь/К) изоморфна локальной группе Галуа Са1(Ьш/Ку), и на ней есть так называемая нижняя фильтрация ветвления:

Са{Ьи,/Ку) = (? 1>ш Э Э • • • Э = {е}.

Напомним, что для любого конечного расширения Галуа Е/Р полных дискретно нормированных полей с группой Галуа (? подгруппы ветвления С (в нижней нумерации) определяются формулой = {ае 0а1(В/Г)1го (<7) := ш£ УЕ (а (а) -а)>г + 1}, (1) абОд г > —1, г € <12, где Уе — нормирование на, а ^ — соответствующее кольцо нормирования.

Порядок дифференты может быть определен локально: э) = г где — точка коразмерности 1 на схеме У, соответствующая ги.

0.2 Постановка общей задачи.

Говоря коротко, задача заключается в том, чтобы «распространить классическую (одномерную) теорию ветвления на двумерный (а затем и многомерный) случай». Здесь мы опишем основные результаты классической теории ветвления, отсутствующие в двумерной ситуации, и природу трудностей, возникающих при попытке их переноса на двумерный случай.

Одномерный случай.

Если X — кривая над к, а «— нормирование на к (Х), соответствующее точке на X, то поле вычетов V совпадает с в частности, представляет собой полное дискретно нормированное поле с совершенным полем вычетов. Напомним, что известно о ветвлении в расширениях таких полей. Итак, пусть К представляет собой полное дискретно нормированное поле с совершенным полем вычетов.

Теорема Эрбрана. Пусть Ь/К — конечное расширение Галуа с группой Галуа С?-Тогда функция Хассе-Эрбрана ц>: [—1,оо) —" [— 1, оо) представляет собой кусочно-линейное возрастающее отображение, заданное формулой Й.

ОьУ.

Теорема Эрбрана утверждает, что, если М — подполе в L/K, фиксируемое нормальной подгруппой Н, то для любых v, u таких, что v = выполнено.

GUH/H = (G/H)v ([73, Ch. IV, Lemma 5]).

Если ввести верхнюю нумерацию подгрупп ветвления G^/*^ = Gu для всех рациональных и > — 1, мы получим следующий вариант теоремы Эрбрана: (G/H)v — GVH/H. (Это означает, что на самом деле верхняя фильтрация подгрупп ветвления определена на уровне бесконечных групп Галуа.).

С другой стороны, Ни = Gu П Н для любой подгруппы Н непосредственно в силу определения нижних подгрупп ветвления. Таким образом, имеем свойство совместимости: Фильтрация ветвления на группе G определяет фильтрации ветвления на ее подгруппах и факторгруппах.

Хорошие свойства фильтрации ветвления. Верхняя фильтрация ветвления удовлетворяет также свойству Хассе-Арфа: скачки фильтрации являются целочисленными, если и только если расширение абелево, [73, Ch. IV, § 3]. Кроме того, она совместима с теорией полей классов: в случае конечного поля вычетов образ фильтрации под действием отображения взаимности совпадает со стандартной фильтрацией на К*, [73, Ch. XV].

Свойство Хассе-Арфа можно интерпретировать как ограничение на расположение подгрупп Gi в G для абелевой G. Но и для неабелевой G имеются некоторые (более слабые) ограничения, вытекающие из сравнений Сена: если g Е G0 и дрП Ф 1, то io (gpn~l)^iG (9pn) mod pn (см. [76, Th. 1.1] или обзор в [77, 6.1]).

Существование представлений Артина и Суона. (см. [73, Ch. VI], [75], а также обсуждение в [77, 6.1]). В описанной ситуации введем центральные функции Артина и Суона ас, swG ¦ G —" Z с помощью формул.

-/■-¿-сИ, f Er^i *а (т), а- = 1.

-/•sgH, <*Ф 1,.

E^isg (t), <т = 1 где f = [L: К], iG как в (1), и t ¦ t л f J — !> а е sg{ct) := mf vL (l — a (x)x) = < гс ст, a Go.

Тогда ад и вюс представляют собой характеры комплексных представлений группы называемых представлениями Артина и Суона. Более того, вюс — характер единственного проективного Zl[G?-мoдyля так называемого модуля Суона расширения Ь/К. Для нормальной подгруппы Я группы (3 из теоремы Эрбрана следует, что.

БЖс/н = ®-гт НС/Н]. (2).

Наконец, для любого [С]-модуля М конечного Егранга определен его кондуктор Суона.

Эте М := йтрДНотад^И^М)).

Аналогичным образом определяются кондукторы Артина и Суона комплексных представления С. Отметим, что можно восстановить фильтрацию на (7, зная кондукторы Артина всех ее неприводимых представлений. (Аналогичное свойство не выполняется для кондукторов Суона, поскольку кондуктор Суона характеризует только дикое ветвление и не содержит какой-либо информации о ((?0: Сп).).

Глобальные формулы. Предположим, что кривая X проективная, а У — ее нормализация в Ь. Формула Римана-Гурвица связывает род той и другой кривой:

2ду — 2 = Ь: К](2дх — 2) +.

Пусть и — плотное открытое подмножество в X, г/ — геометрическая общая точка X, Т — локально постоянный пучок Рг-модулей конечного ранга на 1/^. Тогда геометрический общий слой М =- ТТ] представляет собой конечномерное! у представление группы Са1 (к (Х))-, оно пропускается через Са1(Ь/к (Х)), где Ь/к (Х) — конечное расширение Галуа.

Для точки Р 6 Х° кондуктор Суона Т определяется как кондуктор Суона М, рассматриваемого как Са1(^ш//:(Л')^)-модуль, где V соответствует Р, а, ги — любое продолжение v на ь. Независимость от ь следует из (2). Тогда формула Гротендика-Огга-Шафаревича для Т имеет следующий вид:

Хс (и, 3-) = гапк^ — Эу/р Т.

Рехи.

Это утверждение можно получить из варианта формулы Гротендика-Огга-Шафаревича," приведенного в [21], следующим образом. Пусть и: II <�—> X, Ро — постоянный пучок на и ранга, равного гапк Т. Применим формулу в [21, Гл. V, теор. 2.12] к щТ и к иТз и вычислим разность.).

Полнота. Для данного конечного расширения Галуа полных дискретно нормированных полей Ь/К имеется ряд инвариантов ветвления, которые встречаются в различных формулах: е (Ь/К), Уь (Т)ь/к), Сч и С?1 для всех г > О, М для различных Оа1(Ь//-(')-модулей М. Однако имеется достаточная система инвариантов ветвления, а именно, нижняя фильтрация ветвления, которая «описывает ветвление полностью»: все инварианты ветвления (включая локальные члены классических глобальных формул) могут быть через нее выражены. (Верхняя фильтрация ветвления также представляет собой достаточную систему инвариантов. То же справедливо для кондукторов Артина всех комплексных представлений (?.) Например, е{Ь/К) = С0со ^ -1″ ' г=0.

СО -. м = Е -(сЖ)(Итр< (М/М°1У.

Двумерный случай.

Какая часть классической теории ветвления, обзор которой мы привели выше, сохраняет силу для поверхностей? Ответ таков: практически все утверждения перестают выполняться (при р > 0). Причина состоит в том, что мы не умеем определять набор инвариантов ветвления, который бы эффективно работал во всех ситуациях. Существует лишь различные частичные теории, некоторые из них очень глубокиеоднако на настоящий момент ни одна из них не дает полной картины «ветвления в размерности 2». Некоторые из этих теорий будут упомянуты в следующем параграфездесь мы обсудим только «негативную информацию» .

Первое отличие от классического случая состоит в следующем. Если X — поверхность, а V — нормирование на К ~ соответствующее простому дивизору У, то Ку представляет собой полное дискретно нормированное поле с несовершенным полем вычетов. В этом случае теорема Эрбрана не выполняется. Более того, по нижней фильтрации ветвления на группе вообще нельзя однозначно определить фильтрацию ветвления на факторгруппе. (Таким образом, не имеет смысла пытаться построить верхнюю фильтрацию ветвления путем присвоения новых номеров подгруппам из нижней фильтрации.) Выполняется, по тривиальным причинам, только совместимость с фильтрациями ветвления на подгруппах.

С другой стороны, можно попытаться построить верхнюю фильтрацию ветвления, исходя из «фильтрации нормирования» на К2{К) или на группе Брауэра и применяя высшую теорию полей классов или когомологическую двойственность. Это дает определите фильтрации на Ga{L/K) в случае абелева L/K. Такая фильтрация обладает свойством «совместимости с факторгруппами». Однако эта фильтрация не сравнима с нижней фильтрацией, и свойство совместимости с подгруппами для нее не выполняется.

Ни нижняя, ни верхняя фильтрации ветвления не позволяют определить даже такой простой инвариант ветвления, как геном расширения, т. е. ответ на вопрос, какие из промежуточных расширений будут вполне разветвлены. Более того, ни та, ни другая фильтрация не позволяет вычислить e (L/К) или порядок дифференты.

Отметим, что «таинственное» поведение инвариантов ветвления в случае несовершенного поля вычетов наблюдается уже на простейших примерахдостаточно рассмотреть композит двух расширений Артина-Шрейера ([55], [77, 6.2], [20]).

Далее, существующие аналоги формулы Гротендика-Огга-Шафаревича в размерности 2 (см. следующий параграф) указывают на то, что недостаточно приписывать^те или иные инварианты простым дивизорам на X, т. е., точкам X коразмерности 1- должны существовать дополнительные инварианты, которые определены на уровне коразмерности 2.

Опишем один из таких инвариантов. Для двумерного гензелева локального кольца, А над гензелевым кольцом дискретного нормирования О и конструктивного пучка Fz-модулей на (Spec определено пространство исчезающих циклов V — H? t (Spec (A.

Перспективная цель.

В качестве такой цели можно было бы рассматривать построение теории ветвления для поверхностей, которая сохраняла бы максимально возможное число черт одномерной теории. В частности, для каждой пары (X, L/K) (или (X, f), или {Х,^)) необходимо построить систему инвариантов E (X, L/K, Р) (Р е X), которая содержала бы полную информацию о ветвлении (X, L/K). Это подразумевает следующие требования.

1) «Наивные» инварианты ветвления (индекс ветвления, порядок дифференты, геном, подгруппы в нижней нумерации) в Р должны выражаться через Е (Х, L/K, Р). (Можно надеяться, однако, что «истинная» теория ветвления позволит вычислять и более сложные инварианты, упоминаемые в следующем параграфе. Также представляется желательным получить интерпретацию этой системы инвариантов с точки зрения высшей теории полей классов.).

2) Ветвление промежуточных расширений (т. е., L/M, Q) с Q над Р и Т,(Х, M/K, Р), где К С М С L, У — нормализация X в М) должно выражаться через Е{Х, L/K, Р).

3) Локальные члены глобальных формул (например, тотальная размерность пространства исчезающих циклов) должны выражаться через Т,(Х, Ь/К, Р).

Наконец, требуется, чтобы Е (X, L/K, P) представляла собой именно систему инвариантов ветвления, т. е., нетривиальные значения инвариантов должны быть в конечном числе точек Р (размерности 1 или 0), в каждой из которых L/K разветвлено.

0.3 Существующие подходы Абелевы расширения: кондуктор Като.

Как уже упоминалось, в абелевом случае можно через использование арифметических двойственностей построить фильтрации на группе Галуа, имеющие стандартные свойства верхней фильтрации, см. [26], [55]. На языке конструктивных пучков абелевым расширениям соответствуют пучки ранга 1. Соответственно, существует теория обобщенных кондукторов Суона для пучков ранга 1 на арифметических схемах произвольной размерности, построенная Като [62]. Он также определил подходящий кондуктор Суона в коразмерности 2, что позволило ему доказать для таких пучков аналог формулы Гротендика-Огга-Шафаревича.

Утверждение о том, что некоторый кондуктор (в коразмерности 1) корректно определен, фактически эквивалентно совместимости соответствующей фильтрации ветвления с факторгруппами.

Моногенные расширения.

Пусть LjK j, — конечное расширение Галуа полных дискретно нормированных полей (р > 0). Если потребовать, чтобы расширение полей вычетов L/K было сепарабельным, то теорема Эрбрана по-прежнему будет выполняться, что позволяет определить кондуктор Суона для пучков, тривиализируемых в расширении L/K. Независимо Делинь (см. [65]) и Ш. Саито ([80]) предложили определения кондуктора Суона в коразмерности 2 и доказали аналоги формулы Гротендика-Огга-Шафаревича для проективной поверхности X при условии, что на (локально постоянный) пучок Т наложено ограничение «отсутствия свирепого ветвления»: это означает, что найдется конечное расширение поля к (Х), которое тривиализирует Т и обладает только сепарабельными расширениями полей вычетов. На самом деле оба определения приводят к одному и тому же кондуктору Суона в коразмерности 2- это было показано в работе [63], см. также [66]. Аббес [32] доказал относительный аналог данной формулы (включая разнохарактеристический случай) при том же ограничении.

Однако теорема Эрбрана остается справедливой и для более широкого класса моногенных расширений, т. е. таких расширений Ь/К, для которых кольцо О/, порождено над О к одним элементом. В частности, Ь/К моногенно, если выполнены следующие 2 условия:

1) [К: Кр] — р (это всегда так, если К представляет собой поле функций на поверхности в характеристике р или двумерное локальное поле с первым полем вычетов характеристики р).

2) Ь/К слабо неразветвлепо, т. е., [Ь: К] = [Ь: К]. (Слабо неразветвленные расширения можно представлять себе как башни Ь/М/К, где М/К неразветвлено, а Ь/М свирепо разветвлено: [Ь: М] — Ь: М]гпаер.).

Это означает, что для таких расширений можно построить нижнюю и верхнюю фильтрации ветвления с обычными свойствами совместимости. Это было проделано Като в [61].

Моногенные расширения не исчерпываются расширениями только что описанного типа и вполне разветвленными расширениями. Общее их описание дано в работах Л. Сприано [78]/[79].

Обобщения кондуктора Като.

Было несколько попыток обобщения кондуктора Като на неабелевы расширения.

Болтье, Крам и Снейт (см. [37], [77, 6.3]) определяют кондуктор в общем случае при помощи явной Брауэровой индукции. В результате получается кондуктор, который совместим с кондуктором Суона и с кондуктором Като в случаях, когда они определены.

Боргер ([39], [40]) строит кондуктор при помощи различных надполей данного поля, имеющих совершенные ноля вычетов и индекс ветвления 1 над данным полем. Он рассматривает некий универсальный объект по отношению к этим подполямему соответствует полное дискретно нормированное кольцо с совершенным5″ полем вычетов, и для него можно использовать классическую теорию. Это ведет к построению обобщения кондуктора Архипа, которое совместимо с «нелогарифмическим» варианхом кондукхора Кахо (х. е. кондуктором артинова типа).

Аббес и Т. Саито ([33], [34]) при помощи жесткой аналитической геометрии строят два варианта верхней фильтрации в общем случае, «нелогарифмическую» и «логарифмическую». Они выдвигают предположение, что их теория в абелевом случае совпадает с теорией кондуктора Като. Другие инварианты.

Были предложены другие инварианты ветвления, предназначенные для использования в случае несовершенного поля вычетовв частности, Хиодо ввел в [55] понятие глубины ветвления, мы будем активно пользоваться этим понятием. Барт де Смит ([45], [46]) ввел подгруппы ветвления с двумя индексами. (Определения обоих понятий приведены ниже в разделе «Определения, обозначения, классические результаты» .;

Однако ни одна из упоминаемых теорий не дает полного описания ветвления в том смысле, который был описан выше, что сохраняет актуальность задачи выработки новых подходов к построению инвариантов ветвления.

0.4 Основные результаты работы.

Первая часть работы (главы 1 и 2) носит алгебраический характер и посвящена изучению инвариантов ветвления произвольных полных дискретно нормированных полей с несовершенным полем вычетов. Центральными результатами здесь служат усиленная теорема об устранении высшего ветвления и конструкция фильтрации с индексным множеством I, обладающей полным набором функториальных свойств.

Вторая часть диссертации (главы 3−5) посвящена более детальному изучению теории ветвления для многомерных локальных полей. Основные результаты — теорема о строении группы для га-мерного локального поля К и согласованность отображения взаимности с фильтрациями для равнохарактеристических двумерных локальных полей.

В третьей части (главы 6 и 7) изучается алгебро-геометрическая ситуация: ветвление конечного морфизма гладких поверхностей. Основные результаты: описание поведения скачка ветвления на пространстве струй кривых, если морфизм соответствует циклическому расширению полей простой степениописание поведения инвариантов особенностей кривых при таких морфизмаханалог формулы Римана-Гурвица для произвольных морфизмов гладких поверхностей. Опишем более подробно содержание отдельных глав.

1. В. А. Абрашкин, Аналог гипотезы Гротендика для двумерных локальных полей конечной характеристики, Труды МИАН 241 (2003), 8−42.2| Б. М. Беккер, Абелевы расширения полного дискретно нормированного поля конечной высоты, Алгебра и анализ 3 (1991), 76−84.

2. В. М. Беккер, Теория полей классов многомерных полных полей с квазиконечным полем вычетов, Труды С.-Петерб. мат. общ. 3 (1995), 128— 134.

3. Т. Б. Беляева, С. В. Востоков, Символ Гильберта в полном многомерном поле. I, Записки научных семинаров С.-Петербургского отделения Математического института им. В. А. Стеклова РАН (ПОМИ) 281 (2001), 5−34.

4. М. В. Бондарко, С. В. Востоков, И. Б. Жуков, Аддитивные модули Галуа в полных дискретно нормированных полях, Алгебра и анализ 9 (1997), 28−46.

5. Н. Бурбаки, Коммутативная алгебра, М., «Мир», 1971.

6. С. В. Востоков, Идеалы абелева р-расширения иррегулярного локального поля как модули Галуа, Записки научных семинаров Ленинградского отделения Математического института им. В. А. Стеклова РАН (ЛОМИ) 46 (1974), 14−35.

7. С. В. Постоков, Явная конструкция теории полей классов многомерного локального поля, Изв. Акад. наук СССР 49 (1985), 283−308.

8. С. В. Востоков, Спаривание на К-группах многомерных полных полей, Труды С.-Петерб. мат. общ. 3 (1995), 140−184.

9. С. В. Востоков, И. Б. Жуков, Некоторые подходы к построению абелевых расширений для р-адических полей, Труды С.-Петерб. мат. общ. 3 (1995), 194−214.

10. К. Н. Пономарев, Некоторые обобщения леммы Абъянкара, Algebra and model theory, 2 (Erlagol, 1999), 119−129, 165, Novosibirsk State Tech. Univ., Novosibirsk, 1999.

11. И. Б. Фесенко, Теория полей классов многомерных локальных полей характеристики нуль с полем вычетов положительной характеристики, Алгебра и анализ 3 (1991), 165−196.

12. PI. Б. Фесенко, Многомерная локальная теория полей классов II, Алгебра и анализ (1991), 168−189.

13. И. Б. Фесенко, Локальная теория полей классов: случай совершенного поля вычетов, Изв. Росс. Акад. Наук 57 (1993), 72−91.

14. И. Б. Фесенко, Секвенциальные топологии и факторы милноровских К-групп многомерных локальных полей, Алгебра и анализ 13 (2001), 198−221.

15. Р. Хартсхорн, Алгебраическая геометрия. М. «Мир», 1981.

16. И. Р. Шафаревич, Основы алгебраической геометрии, М., «Наука», 1974.

17. A. Abbes, The Grothendieck-Ogg-Shafarevich formula for arithmetic surfaces, J. Algebraic Geom. 9 (2000), 529−576.

18. A. Abbes, T. Saito, Ramification of local fields with imperfect residue fields I, Amer. J. Math. 124 (2002), 879−920. http://arXiv.org/abs/math.AG/10 103 (11 Oct 2000).

19. A. Abbes, T. Saito, Ramification of local fields with imperfect residue fields. II, Kazuya Kato’s fiftieth birthday. Doc. Math. 2003, Extra Vol., 5−72 (electronic).

20. V. A. Abrashkin, Ramification theory for higher dimensional local fields, in book: Algebraic number theory and algebraic geometry, 1−16, Contemp. Math., 300, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2002.

21. V. A. Abrashkin, Towards explicit description of ramification filtjution in the 2-dimensional case, J. Theor. Nombres Bordeaux 16 (2004), 293−333.

22. M. V. Bondarko, K. F. Lai, and S. V. Vostokov, Galois structure for Abelian p-extensions of Dedekind domains, J. fur die reine und angew. Math. 157 (1999), 51−59.

23. J. M. Borger, Conductors and the moduli of residual perfection, Math. Ann. 329 (2004), 1−30- http://arXiv.org/abs/math.NT/112 305.

24. J. M. Borger, Kato’s conductor and generic residual perfection, preprint (2002) — http://arXiv.org/abs/math.NT/112 306.

25. J.-L. Brylinski, Theorie du corps de classes de Kato et revetements abeliens de surfaces, Ann. Inst. Fourier, Grenoble 33 (1983), 23−38.

26. A. Campillo, Algebroid curves in positive characteristic, Springer-Verlag, Berlin etc, 1980 (Lecture Notes in Mathematics, vol. 813).

27. J. Coates and R. Greenberg, Kurnmer theory for abelian varieties over local fields, Invent. Math 124 (1996), 129−174.

28. P. Deligne, Letter to L. Illusie of 28.11.76.

29. B. de Smit, The different and differentials of local fields with imperfect residue fields, Proc. Edinburg Math. Soc. (2), 40(2) (1997), 353−365.

30. B. de Smit, Ramification groups of local fields with imperfect residue class field, J. Number Theory 44 (1993), 229−236.

31. H. Epp,^Eliminating wild ramification, Invent. Math. 19 (1973), 235−249.

32. I. B. Fesenko, Abelian local p-class field theory, Math. Ann. 301 (1995), 561−586.

33. I. B. Fesenko, Abelian extensions of complete discrete valuation fields, in book: Number theory (Paris, 1993;1994), 47−74, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 235, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1996.

34. I. B. Fesenko, On deeply ramified extensions, J. London Math. Soc. (2) 57 (1998), 325−335.

35. I. B. Fesenko, Topological Milnor K-groups of higher local fields, in book: Invitation to higher local fields (Miinster, 1999), 61−74, Geom. Topol. Monogr., 3, Geom. Topol. Publ., Coventry, 2000; http://www.maths.warwick.ac.uk/gt/gtmcontents3.html.e.

36. I. B. Fesenko and S. V. Vostokov, Local fields and their extensions. A constructive approach, AMS, Providence, RI, 1993.

37. W. Fulton, Intersection theory, Springer-Verlag, Berlin, 1998.

38. G.-M. Greuel and H. Kroning, Simple similarities in positive characteristic, Mathematische Zeitschrift 203 (1990), 339−354.

39. O. Hyodo, Wild ramification in the imperfect residue field case, Adv. Stud. Pure Math. 12 (1987), 287−314.

40. S. Iitaka, Algebraic geometry. An introduction to birational geometry of algebraic varieties. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1982.

41. B. Iversen, Numerical invariants and multiple plains, Amer. J. Math. 92 (1970), 968−996.

42. B. Kahn, L’anneau de Milnor d’un corps local a corps residuel parfait, Ann. Inst. Fourier,^Grenoble 34 (1984), 19−65.

43. K. Kanesaka, K. Sekiguchi, Representation of Witt vectors by formal power series and its applications, Tokyo J. Math. 2 (1979), 349−370.

44. K. Kato, A generalization of local class field theory by using K-groups, I, J. Fac. Sei. Univ. Tokyo. Sect. 1A Math. 26 (1979), 303−376.

45. K. Kato, Vanishing cycles, ramification of valuation and class field theory, Duke Math. J. 55 (1987), 629−659.

46. K. Kato, Swan conductors for characters of degree one in the imperfect residue field case, in book: Algebraic K-theory and algebraic number theory (Honolulu, HI, 1987),-101−131, Contemp. Math., 83, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1989.

47. K. Kato, S. Saito, and T. Saito, Artin character for algebraic surfaces, Amer J. Math. 110 (1987), 49−76.

48. H. Kurke, Vorlesungen uber algebraische Flachen. BSB B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1982.

49. G. Laumon, Semi-continuite du conducteur de Swan (d'apres P. Deligne), Asterisque 83 (1981), 173−219.

50. Sh. Matsuda, On the Swan conductor in positive characteristic, Amer. J. Math. 119 (1997), 705−739.

51. H. Matsumura, Commutative Algebra. 2nd edition, The Benjamin/Cumming publishing company, Reading, Massachusetts, 1980.

52. H. Miki, On hp-extensions of complete p-adic power series fields and function fields, J. Fac. Sei. Univ. Tokyo, Sect 1A 21 (1974), 377−393.

53. A. N. Pgrshin, Chern classes, ade’les and L-functions, J. Reine Angew. Math. 341 (1983), 174−192.

54. P. Samuel, Singularites des varietes algebriques, Bull. Soc. Math. France 79 (1951), 121−129.

55. R. Schopohl, Lubin-Tate Theorie, Abelsche Erweiterungen und vemllgemeinerte Hilbertsymbole fur mehrdimensionale lokale Korper, Ph. D. thesis. Westfalische Wilhelms-Universitat, Munster, 1994.

56. J.-P. Se-Ve, Corps Locaux. 2nd ed., Hermann, Paris, 1968.

57. J.-P. Serre, Sur les corps locaux a corps residuel algebriquement clos, Bull. Soc. Math. France 89 (1961), 105−154.

58. J.-P. Serre, Linear representations of finite groups, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 42. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.

59. Sh. Sen, On automorphisms of local fields, Ann. of Math. (2) 90 (1969), 33−46.

60. V. P. Snaith, Explicit Brauer Induction. Cambridge Unicersity Press, 1994.

61. L. Spriano, Well ramified extensions of complete discrete valuation fields with applications to the Kato conductor, Canad. J. Math. 52 (2000), 1269−1309.

62. S. Saito, General fixed point formula for an algebraic surface and the theory of Swan representations for two-dimensional local rings, Amer J. Math. 109 (1987), 1009−1042.

63. H. Yamada, Rational sections and Chern classes of vector bundles, J. Math. Univ. Kyoto 6 (1967), 295−312.

64. I. B. Zhukov, Higher dimensional local fields, in book: Invitation to higher local fields (Munster, 1999), 5−18, Geom. Topol. Monogr., 3, Geom. Topol. Publ., Coventry, 2000; http://www.maths.warwick.ac.uk/gt/gtmcontents3.html.

65. I. B. Zhukov, An approach to higher ramification theory, in book: Invitation to higher local fields (Munster, 1999), 143−150, Geom. Topol. Monogr., 3, Geom. Topol. Publ., Coventry, 2000; http://www.maths.warwick.ac.uk/gt/gtmcontents3.html.

66. I. B. Zhukov, Ramification of surfaces: Artin-Schreier extensions, in book: Algebraic number theory and algebraic geometry, 211−220, Conternp. Math., 300, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2002.