Геометрия и топология

Параметрическое описание листа Мёбиуса.

Чтобы превратить квадрат в лист Мёбиуса, соедините края, помеченные A так, чтобы направления стрелок совпали.

Одним из способов представления листа Мёбиуса как подмножества R ³ является параметризация:

где и. Эти формулы задают ленту Мёбиуса ширины 1, чей центральный круг имеет радиус 1, лежит в плоскости x-y с центром в (0,0,0). Параметр u пробегает вдоль ленты, в то время как v задает расстояние от края.

В цилиндрических координатах (r, и, z), неограниченная версия листа Мёбиуса может быть представлена уравнением:

Топологически лист Мёбиус может быть определен как квадрат [0,1]Ч[0,1] с верхней и нижней сторонами заданными отношением (x, 0) ~ (1-x, 1) для 0? x? 1.

Лист Мёбиуса — двумерное компактное множество (то есть поверхность) с границей. Это стандартный пример поверхности, которая не ориентируема. Лист Мёбиуса — это также стандартный пример, используемый, чтобы проиллюстрировать математическое понятие пучок волокон. А именно, это — нетривиальная связка по кругу S¹ с волокном в виде единичного интервала, l = [0,1]. При просмотре с края ленты Мёбиуса видны две нетривиальные точки (или Z₂) связанные по S¹.