Введение. 
Моделирование турбулентного течения

Течения проводящей жидкости во вращающемся магнитном поле исследовались в работах [1−10] и других. Экспериментально было обнаружено, что в случае течения в цилиндре при отношении высоты цилиндра к диаметру 1:1 потеря устойчивости течения происходит при значении магнитного числа Тейлора [4]. Для прямоугольной полости аналогичное число составляет [10]. При увеличении магнитного числа Тейлора, в области наблюдаются крупномасштабные нестационарные явления, которые обусловлены турбулентностью [2−10]. В связи с большим прикладным значением турбулентных МГД течений проводящей жидкости в металлургии, электрохимии и в процессах роста кристаллов [11] были развиты численные модели [6−10]. магнитный гидродинамика турбулентный течение Отметим, что в численных моделях вихревого МГД течения во вращающемся магнитном поле [6, 10] используется нестационарное уравнение Навье-Стокса, в котором сила, обусловленная действием магнитного поля, усредняется по времени в соответствии с гипотезой [3]. Кроме того, используется калибровка для векторного потенциала, но при этом считается, что электростатический потенциал вносит свой вклад в процесс генерации замкнутых токов в проводящей жидкости. Такой подход представляется несколько противоречивым, поэтому мы сформулировали нестационарную модель, основанную на методе регуляризации уравнения Навье-Стокса для турбулентных течений [12].

В работе [12] рассмотрено общее соотношение для плотности, скорости и давления в турбулентных потоках, которое позволяет осуществить регуляризацию системы уравнений Навье-Стокса при числе Маха для решения задач с быстро изменяющимися динамическими параметрами.

Заметим, что вопрос о единственности и гладкости решений уравнений Навье-Стокса был сформулирован в виде шестой проблемы тысячелетия [13−14]. Для этой проблемы имеются, как математические доказательства существования и единственности решения задачи с периодическими граничными условиями [15−16], так и доказательства потери единственности решений при взрывной неустойчивости за конечное время [17].

В работе [19] развита численная модель турбулентного течения в полости в форме прямоугольника или прямоугольного параллелепипеда при ускорении внешнего потока. Установлено, что в этом случае в полости формируется вихревое течение, которое характеризуется не затухающим со временем интегралом энергии.

В настоящей работе мы использовали численную модель турбулентного течения в прямоугольной полости [19] для моделирования течений проводящей жидкости во вращающемся магнитном поле. При моделировании объемной силы электромагнитного происхождения используется стандартное предположение [1−10] о малости индуцированных магнитных полей в сравнении с внешним полем. Полученные результаты по средним параметрам течения согласуются с экспериментальными данными [10].