Чистые полупроводники. 
Энергия Ферми

Найдем энергию Ферми и температурные зависимости концентраций свободных электронов и дырок в чистом полупроводнике. Число N_e свободных электронов и число дырок в полупроводнике определяются формулами где N_s — среднее число электронов в состоянии под номером s в зоне про;

— гт-(Л) водимости, /V₉ — среднее число дырок в состоянии s в валентной зоне.

Распределение свободных электронов по состояниям в зоне проводимости описывается функцией (10.12).

где Е₃ — энергия электрона. Функцию N_a, описывающую распределение дырок по состояниям в валентной зоне, найдем из равенства (10.50). После несложных вычислений получим:

Суммы типа (10.67) и (10.68) можно сравнительно легко вычислить в тех случаях, когда их удается свести к интегралам, но энергиям частиц. Для этого необходимо знать плотности д (Е) и дч (Е) электронных состояний в валентной зоне и зоне проводимости. Найдем эти функции.

Зависимость от волнового вектора энергии электрона в полупроводнике имеет более сложный характер, чем зависимость (10.24) для свободных электронов в металле. Примерный вид этой зависимости показан на рис. 10.18. Функция N (E), описывающая распределение свободных электронов по состояниям принимает наибольшее значение при Е = Еч- При увеличении энергии эта функция быстро убывает (рис. 10.6). Из этого следует, что значения энергии большинства свободных электронов лежат около дна зоны проводимости, где Е > Ei. Как видно из рис. 10.18, в этой области зависимость энергии свободного электрона от волнового вектора можно описать приближенной формулой.

где величина то_в называется эффективной массой электрона. Нетрудно видеть, что зависимость (10.61) подобна зависимости (10.24) от волнового вектора энергии свободного электрона в металле. Однако эффективная масса т_е свободного электрона в полупроводнике, вообще говоря, не равна массе т свободного электрона в металле.

Рис. 10.18. Зависимость от волнового числа к_х энергии электрона в полупроводнике. При малых значениях к_х каждая из этих кривых мало отличается от параболы.

Согласно формуле (10.70) число свободных состояний N ⁽ (Е) возрастает с увеличением энергии Е в валентной зоне и принимает наибольшее значение у потолка этой зоны, т. е. при Е = Е. С уменьшением энергии число свободных состояний в валентной зоне быстро убывает (рис. 10.6). Из рис. 10.18 видно, что при Е < Е зависимость энергии электрона от.

где ш/, — эффективная масса дырки.

Формулы (10.71) и (10.72) дают возможность определить плотности состояний д (Е) и дч (Е). Так, из формулы (10.72) следует, что.

Подстановка этих выражений в формулу (10.25) дает следующее выражение для числа состояний в интервале (Е, Е-{-dE) у потолка валентной зоны:

где плотность состояний.

Из формулы (10.71) следует, что.

Подстановка этих выражений в (10.25) приводит к формуле.

для числа состояний в интервале (Е_} Е -г dE) у дна зоны проводимости. Здесь плотность состояний.

Число дырок, энергия которых лежит в интервале (Е_} E + dE), равно произведению вероятности N ^е) на число состояний с/Г#:

Используя это выражение и формулу (10.73), сумму (10.68) можно заменить интегралом

Так как у дна валентной зоны почти нет свободных состояний, т. е. функция N ^(h)(E) здесь практически равна нулю, нижний предел интегрирования для простоты вычислений можно положить равнымсо.

Число свободных электронов, энергия которых лежит в интервале (Е, Е + dE), равно произведению вероятности N (E) заполнения одного состояния в зоне проводимости на число состояний dT е'

Используя это выражение и формулу (10.75), сумму (10.67) можно заменить интегралом.

Здесь верхний предел интегрирования, который соответствует потолку зоны проводимости, положили для простоты вычислений равным оо. Это не приводит к большой ошибке потому, что вероятность АТ (Е) заполнения какого-либо состояния у потолка зоны проводимости практически равна нулю.

Значения энергии Е электрона в валентной зоне, где Е удовлетворяют неравенству В этом случае приближенно записать формулу (10.70) так:

Это неравенство позволяет Подставим функции (10.74) и (10.79) в формулу (10.77). Получим.

Введем новую переменную интегрирования Так как.

будем иметь.

где интеграл Таким образом, придем к формуле.

Значения энергии Е электрона из зоны проводимости, где Е > Е2, удовлетворяют неравенству (10.37).

в силу которого при этих значениях энергии справедливо приближенное выражение (10.38).

для вероятности заполнения электроном состояния в зоне проводимости. Подставим это выражение и выражение (10.76) в формулу (10.78). Получим.

Замена переменной интегрирования.

позволяет преобразовать это выражение к виду.

Число N_e свободных электронов равно числу Nh дырок:

Подставив в это равенство выражения (10.80) и (10.81), придем к уравнению, из которого найдем энергию Ферми:

В том случае, когда эффективные массы электронов и дырок равны: т_е = тд, энергия Ферми лежит точно посередине запрещенной зоны, которая отделяет валентную зону от зоны проводимости.

Подставив выражение (10.83) в формулу (10.81), с учетом (10.82) найдем температурные зависимости концентраций свободных электронов и дырок:

где АЕ = Еъ — Е — ширина запрещенной зоны между валентной зоной и зоной проводимости.