Возникновение геометрической турбулентности

Покажем, что в метрике (4) могут возникать нелинейные волны, имеющие хаотическое поведение. Рассмотрим случай, когда первое уравнение (5) имеет параболический тип (6):

(9).

Здесь. Уравнение (9) можно привести к квазилинейному виду, полагая и выполняя однократное дифференцирование по времени, в результате находим:

(10).

Уравнение (10) относится к типу уравнений с переменной вязкостью. Уравнения такого типа были предложены Н. Н. Яненко для моделирования устойчивости вязких течений. В математической литературе уравнение типа (10) иногда называют параболическим уравнением с переменным направлением времени. В общей теории относительности такая терминология не только неприемлема, но и противоречит физическому смыслу уравнения (10), которое меняет тип при изменении знака функции или параметра, тогда как знак времени остается постоянным.

Для уравнения (10) можно сформулировать задачу в ограниченной области с начальными данными и периодическими граничными условиями:

(11).

При задании начальных данных отрицательных во всей области в случае развивается неустойчивость — рис. 1. В данной задаче потеря устойчивости приводит к развитию геометрической турбулентности, поскольку соответствующая модель описывает изменение метрики пространства-времени.

Рис. 1. Переход к геометрической турбулентности в модели (10)

Следовательно, для существования решений задач для уравнений типа (10) необходимы специальные ограничения, связанные с метрикой пространства-времени. Например, можно потребовать, чтобы во всей области движения выполнялось условие:

(12).

В природе наблюдается процесс расширения Вселенной, который называется инфляцией. В этом процессе метрика изменяется по экспоненте, что соответствует условию (12). Однако локально условие (12), видимо, может нарушаться повсеместно, что в силу уравнения (9) приводит к взрывной неустойчивости — рис. 1. Среди физических процессов, заканчивающихся взрывной неустойчивостью, можно отметить распады элементарных частиц, атомных ядер, гидродинамическую турбулентность, галактические струи, взрывы сверхновых и Большой взрыв, с которого началась история Вселенной. Если турбулентность возникла вдоль оси вращения звезд в галактике, то ее влияние на траектории в плоскости вращения осуществляется через параметр времени. Если бы во Вселенной не существовало единого для всех процессов времени, то влияние геометрической турбулентности сказывалось бы только на движении вдоль оси системы. Однако наличие времени, как четвертой координаты, приводит к тому, что турбулентное движение передается через изменение времени вплоть до самых малых масштабов, включая атомный и субатомный масштабы.