Модуль действительного числа

Модулем или абсолютной величиной действительного числа называется само это число, если х неотрицательно, и противоположное число, т. е. -х, если х отрицательно:

Очевидно, по определению, |х| > 0. Известны следующие свойства абсолютных величин:

Модуль разности двух чисел |х — а | есть расстояние между точками х и а на числовой прямой (при любых х и а).

Из этого следует, в частности, что решениями неравенства | х — а | 0) являются все точки х интервата {а — в, а + г), т. е. числа, удовлетворяющие неравенству а — г<�х< а + е.

Такой интервал {а — г, а + в) называется ?-окрестностыо точки а.

Основные свойства функций

Как мы уже заявляли, все величины в математике делят на постоянные и переменные. Постоянной величиной называется величина, сохраняющая одно и то же значение.

Переменной величиной называется величина, которая может принимать различные числовые значения.

Определение 10.8. Переменная величина у называется функцией от переменной величины х, если по некоторому правилу каждому значению х е X поставлено в соответствие определенное значение у е Y; независимая переменная х обычно называется аргументом, а область X ее изменения называется областью определения функции.

Тот факт, что у есть функция от х, чаще всего выражают символической записью: у = f (x).

Существует несколько способов задания функций. Основными принято считать три: аналитический, табличный и графический.

Аналитический способ. Этот способ состоит в задании связи между аргументом (независимой переменной) и функцией в виде формулы (или формул). Обычно в качестве f (x) выступает некоторое аналитическое выражение, содержащее х. В этом случае говорят, что функция определяется формулой, например, у = 2х + 1, у = tgx и т. д.

Табличный способ задания функции состоит в том, что функция задается таблицей, содержащей значения аргумента х и соответствующие значения функции f{x). Примерами могут служить таблицы количества преступлений за определенный период, таблицы экспериментальных измерений, таблица логарифмов.

Графический способ. Пусть на плоскости задана система декартовых прямоугольных координат хОу. В основе геометрической интерпретации функции лежит следующее.

Определение 10.9. Графиком функции называется геометрическое место точек плоскости, координаты (х, у) которых удовлетворяют условию: у = f (x).

Функция называется заданной графически, если начерчен ее график. Графический способ широко применяется в экспериментальных измерениях с употреблением самопищущих приборов.

Имея перед глазами наглядный график функций, нетрудно представить себе многие ее свойства, что делает график незаменимым средством исследования функции. Поэтому построение графика является важнейшей (обычно завершающей) частью исследования функции.

Каждый способ имеет как свои достоинства, так и недостатки. Так, к достоинствам графического способа можно отнести его наглядность, к недостаткам — его неточность и ограниченность представления.

Перейдем теперь к рассмотрению основных свойств функций.

Четность и нечетность. Функция у ⁼ fix) называется четной, если для любого х выполняется условие f (-x) =fix). Если же для х из области определения выполняется условие f (-x) = -fix), то функция называется нечетной. Функция, которая не является четной или нечетной, называется функцией общего вида.

Примеры

График четной функции симметричен относительно оси Ох, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Монотонность. Функция у ⁼ fix) называется возрастающей на промежутке X, если для любых Х, х₂ е X из неравенства х₂ > х_{ следует f (x₂) > f (x). Функция у =f (x) называется убывающей, если из х₂ > следует f (x₂) < f{x).

Функция называется монотонной на промежутке X, если она или возрастает на всем этом промежутке, или убывает на нем.

Например, функция у = х² убывает на (-°°; 0) и возрастает на (0; +оо).

Заметим, что мы дали определение функции монотонной в строгом смысле. Вообще к монотонным функциям относятся неубывающие функции, т. е. такие, для которых из х₂ > Xi следует f (x₂) > f (x), и невозрастающие функции, т. е. такие, для которых из х₂ > Х следует f (x₂) < f (x).

Ограниченность. Функция у = J (x) называется ограниченной на промежутке X, если существует такое число М > 0, что f (x) < М для любого х е X.

Например, функция у = ₂ ^ ограничена на всей число;

вой прямой, так какт- < 1 для любого х е К.

X + 1.

Периодичность. Функция у =f (x) называется периодической, если существует такое число Т ^ 0, что | f (x + Т = f (x) для всех х из области определения функции.

В этом случае Т называется периодом функции. Очевидно, если Т — период функции у = f (x), то периодами этой функции являются также 2 Г, ЗТ и т. д. Поэтому обычно периодом функции называется наименьший положительный период (если он существует). Например, функция у = cosx имеет период Т= 2л, а функция у = tg Зх — период л/3.