Метод контурных токов

В основу метода положено два предположения:

• 1) в каждом независимом контуре протекает свой контурный ток;
• 2) токи в ветвях схемы равны алгебраической сумме контурных токов, протекающих через данную ветвь.

Согласно с этим методом неизвестными являются контурные токи, поэтому число уравнений для решения снижается до числа независимых контуров, т. е. до числа уравнений составленных по II закону Кирхгофа.

Рассмотрим двухконтурную электрическую цепь (рис. 1.7).

Составим уравнения по законам Кирхгофа.

Подставим в последние уравнения ток I5.

Эти уравнения можно записать в виде.

где и — полные или собственные сопротивления I и II контуров; - сопротивление смежной ветви между контурами I и II; и — контурные ЭДС I и II контуров.

Сопротивление смежной ветви входит в уравнение со знаком «+ «, если направление смежного контурного тока в нем совпадает с направлением собственного контурного тока.

Если в электрической схеме имеются источники тока, то их можно заменить источниками напряжения. Если проводимости источников тока равны нулю, то в этом случае целесообразно выбрать заданные токи источников тока в качестве контурных. При этом число уравнений сократится на число заданных источников тока.

Если в схеме n контуров, то уравнения запишутся.

(1.6).

В матричной форме можно записать.

.

где;; .

Общее решение системы n уравнений с n неизвестными:

(1.7).

где — определитель системы (1.6).

Алгебраическое дополнение km получено из путем вычеркивания k-ого столбца и m-й строки и умножения полученного определителя на .

Относительно главной диагонали определитель делится на две части, являющиеся зеркальным отображением друг друга. Это свойство называется симметрией относительно главной диагонали. Отсюда .

Формула (1.7) используется как исходная при рассмотрении таких вопросов теории линейных цепей как определение входных и взаимных проводимостей ветвей, принцип взаимности, метод наложения и линейные соотношения в электрических цепях.