Статистической проверки гипотез

Пусть по некоторым данным имеются основания выдвинуть предположения о законе распределения или о параметре закона распределения случайной величины (или генеральной совокупности, на множестве объектов которой определена эта случайная величина). Задача заключается в том, чтобы подтвердить или опровергнуть это предположение, используя выборочные (экспериментальные) данные.

В качестве примера критерия согласия рассмотрим статистический критерий х² (читается «хи-квадрат») Пирсона. Этот критерий служит для проверки гипотез о виде закона распределения признака X в генеральной совокупности.

При проверке гипотез все множество возможных значений признака X разбивается на к непересекающихся областей А_ЬА₂, …А_к. Частоту попадания элементов выборки в область Д, i = 1, 2, … к, обозначим т,. Ясно, что должно выполняться равенство.

Теоретическую частоту попадания элементов выборки в область Д обозначим т'. Эта частота определяется для каждой области по формуле.

где р, — вероятность попадания признака X в область Д в соответствии с предполагаемым законом распределения.

Если неизвестны точные значения х₀ и о§, необходимые для расчета вероятностей р_;, то в качестве параметров распределения берутся их несмещенные точечные оценки х и s².

Заметим, что критерий у² Пирсона следует применять, если каждая частота т_{ в рассматриваемой области имеет значение не менее, а п. В противном случае нужно укрупнять области разбиения исследуемого признака.

В качестве статистики критерия Пирсон предложил рассматривать величину.

Сумма квадратов п независимых одинаково распределенных случайных величин подчиняется закону, получившему название распределения у².

Число независимых слагаемых, входящих в сумму квадратов, называется числом степеней свободы и обозначается v.

Так как сумма квадратов — величина всегда неотрицательная, то кривая распределения лежит в области от нуля до +°° (рис. 8.2). При v > 2 плотность распределения изображается скошенной кривой с максимумом в точке у² = v — 2.

Рис. 8.2. Кривая распределения Пирсона

Заметим, что вероятность превышения какого-либо значения у² равна площади под кривой распределения от этого значения до +°°. Поэтому за критическое значение статистики принимается значение, площадь под кривой после которого равна уровню значимости а.

На рис. 8.2 критическая область критерия заштрихована. Значения х²_р в зависимости от v и, а представлены в приложении 6.

Используя рассчитанные по результатам изучения выборки оценки параметров предполагаемого распределения, вводят дополнительные ограничения. Поэтому число степеней свободы v должно быть уменьшено по сравнению с числом слагаемых к и определяется выражением.

где к — число рассматриваемых областей; г — число параметров в принятом распределении; I — число независимых линейных ограничивающих связей.

В рассматриваемом случае I = 1 из-за одной имеющейся связи: равенство суммы частот объему выборки.

При проверке гипотезы о нормальном распределении признака X с заранее неизвестными параметрами, а и о величина г равна двум. Тогда выражение для v при исследовании нормально распределенной величины имеет вид.

По значениям v и, а находят значение х²_р ^п0 таблицам (приложение 6). Если х² < Хкр" ^то гипотеза Н₀ принимается, а если х² ^х!р> то эта гипотеза отклоняется.

Пример 8.4.

При уровне значимости, а = 0,05 проверить гипотезу о нормальном распределении роста заключенных следственного изолятора по материалам предыдущих примеров.

Исходный интервальный ряд имеет следующий вид.

Решение. Примем области А, значений признака X (роста заключенных) в соответствии с заданными интервалами. Поскольку частота попаданий в последний интервал равна двум, а значимым является частота, равная п? а = 100 • 0,05 = 5, то объединим его с предпоследним интервалом.

Кроме того, расширим первый и последний интервалы так, чтобы закрыть все множество действительных чисел, т. е. левую границу первого интервала положим равной -«>, а правую границу последнего интервала +°°. Тогда области разбиения имеют следующий вид.

Значения несмещенных оценок параметров предполагаемого нормального распределения признака X были вычислены в примере 8.1 и составляют: математическое ожидание, а = х = 166 см и среднее квадратическое отклонение a = s = 5,81 см.

Вычисляем вероятности р, и теоретические частоты т с использованием функции Лапласа по формуле.

Значения Ф (х) выбираем из таблицы (приложение 3). При этом т округляем до целых значений. Итак, по данным таблицы вычисляем.

Аналогично вычисляем остальные значения т':

Результаты вычислений оформим в виде таблицы.

					0,5.
			— 2.		0,25.
					0,04.
					0,36.
			— 4.
					0,5.

Для вычисления у² суммируем числа последнего столбца. Имеем.

Для определения значенияД, вычислим число степеней свободы.

По значениям v = 3 и, а = 0,05 по таблице (приложение 6) находим.

Так как х^{2 то} гипотеза о нормальном распределении роста заключенных принимается. ?