Эволюция планетных систем

ЭВОЛЮЦИЯ ПЛАНЕТНЫХ СИСТЕМ

Рассмотрим вначале движение двух гравитационно взаимодействующих тел на этапе их прямолинейного сближения. Поскольку этапы прямолинейного и орбитального движения тел сопряжены в пространстве и во времени, то в качестве характерного масштаба скорости выберем среднюю орбитальную скорость V, а в качестве характерного линейного масштаба — большую полуось орбитального эллипса a. Тогда относительная скорость движения нейтральных тел на прямолинейном участке

(2.1).

где, , ,.

U — относительная скорость тел,.

r — текущее расстояние между телами,.

roрасстояние между телами в момент начала захвата,.

M1, M2 — массы взаимодействующих тел (M2 < M1).

Первая производная от (2.1) по .

. (2.2).

Приравняв производную нулю, найдем координату максимума скорости.

(2.3).

и, далее, подставив (2.3) в (2.1), найдем максимальную скорость в системе двух тел.

. (2.4).

Ускорение движения тел.

(2.5).

.

При  = m  = 0.

Свойства функций (2.1), (2.2) и (2.5) рассмотрены в [1].

Координаты экстремумов функции  = f (, N) найдем, дифференцируя (2.5) по  и приравняв производную нулю. Получим.

. (2.6).

Величину ускорения при  = э найдем из (2.5).

. (2.7).

Координаты экстремумов функции э = f (N).

.

.

Этим значениям N соответствует  э = 0,5.

Величину  э при N1 и N2 найдем из (2.7).

 э1 =  0,84 715;  э2=  1,84 715.

При  =  э скорость движения тел.

. (2.8).

При N << 1 0,9 428 086.

Энергия движения тел.

(2.9).

где .

Энергия покоя (при  =  m).

. (2.10).

Пороговая энергия (при  =  э).

. (2.11).

Следовательно.

. (2.12).

При N << 1 .

Зависимости  min =  э = f (N) однозначно определяют границу сферы, на которой происходит переход от прямолинейного движения к орбитальному, а зависимости  m = f (N) — границу сферы максимума относительной скорости тел [ 2 ]. Выясним, при каких условиях может происходить орбитальный переход.

Очевидно, на границе перехода rmin должно выполняться условие.

, (2.13).

где Umin — относительная скорость тел при r = rmin.

Но Umin = V min и, следовательно, в безразмерном виде условие (2.13) будет.

. (2.14).

Подставив (2.8) в (2.14), получим неравенство.

. (2.15).

Значения N < 0,0314, при которых выполняется это неравенство, найдем, приравняв числитель и знаменатель (2.15).

Следовательно, условие перехода от прямолинейного движения к орбитальному состоит в том, что на орбиту переходят лишь тела, относительная масса которых N < 0,0314. Тела большей относительной массы не подвержены орбитальному переходу.

Время встречного движения при гравитационном захвате нейтральных тел на интервале [1,  min ] определяется зависимостью.

. (2.16).