Типичные задачи математического анализа (пределы, исследование графиков, интегралы, дифференциальные уравнения)

Задание 1.

Найти предел:

Решение:

Если подставить предельное значение х, то получим неопределенность следующего вида:

.

Для раскрытия данного вида неопределенности применим правило Лопиталя. В общем виде оно представляет собой следующее равенство:

.

Таким образом:

.

Ответ:

Задание 2.

Составить уравнение касательной к графику функции перпендикулярной прямой. Сделать чертеж.

Решение:

Уравнение касательной к графику функции имеет вид:

.

где — угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой в точке х₀.

Так как касательная должна быть перпендикулярна прямой, то можно найти ее угловой коэффициент:

;

;

;

.

Определим точку касания, А с координатами x₀ и y₀:

;

;; .

Найдем уравнение касательной:

;

;

.

Сделаем чертеж.

Ответ: уравнение касательной — .

Задание 3.

Исследовать функцию и построить схематично ее график.

Решение:

1. Найдем область определения функции.

Функция определена на всем множестве действительных чисел, т. е. область определения .

2. Исследуем функцию на четность-нечетность.

Т.к. и, то функция общего вида (ни четная, ни нечетная). предел график интеграл дифференциальный.

3. Найдем вертикальные асимптоты.

Вертикальных асимптот нет, так как функция определена при всех действительных значениях х.

4. Исследуем поведение функции в бесконечности, найдем горизонтальные или наклонные асимптоты.

; .

Т.к. конечен только один из пределов, то функция имеет левостороннюю горизонтальную асимптоту .

5. Найдем экстремумы и интервалы монотонности функции.

при (критическая точка).

Знаки производной изображены на рисунке ниже.

Таким образом, — точка максимума. Обозначим ее через, А и определим вторую координату: .

Функция возрастает на интервале и убывает на интервале .

6. Найдем интервалы выпуклости функции и точки перегиба.

при (точка перегиба).

Обозначим точку перегиба как В (3;5,44): и.

.

Знаки второй производной изображены на рисунке ниже.

Функция выпукла вверх интервале и выпукла вниз на интервале .

7. Найдем точки пересечения графика с осями координат.

при. Т. е. точка С (5;0) — точка пересечения графика функции с осью Оx.

При. Т. е. точка D (0;0,7) — точка пересечения графика функции с осью Оу.

Построим схематично график функции.

Задание 4.

Вычислить определенный интеграл:

Решение:

Ответ:

Задание 5.

Решить дифференциальное уравнение:

.

Решение:

Данное дифференциальное уравнение первого порядка является линейным. В общем виде его можно представить в следующем виде:

.

В данном примере.

и .

Для решения такого вида уравнения используют замену. Где одна из функций (v или u) может быть выбрана произвольно, а другая определяется из уравнения.

Т.к., то получим:

Примем и решим данное уравнение:

;

;

;

;

;

.

Подставим полученное решение в первоначальное уравнение:

Используем замену переменной:; .

Отсюда .

Ответ: .

Задание 6.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

Решение:

Изобразим схематично линии, ограничивающие искомую фигуру.

Будем искать площадь фигуры ABCD. Используем метод интегрирования по частям:

Ответ: площадь фигуры составит примерно 7,4 ед.²

Задание 7.

Экспериментальные данные о значениях переменных х и y приведены в таблице:

В результате их выравнивания получена функция Используя метод наименьших квадратов, аппроксимировать эти данные линейной зависимостью (найти параметры а и b). Выяснить, какая из двух линий лучше (в смысле метода наименьших квадратов) выравнивает экспериментальные данные. Сделать чертеж.

Решение:

Использование метода наименьших квадратов предполагает решение следующей системы уравнений:

Для построения линейной модели заполним таблицу с промежуточными расчетами:

Определим параметры линейного уравнения:

откуда .

Линейная зависимость примет вид: .

Выясним, какая из двух линий лучше (в смысле метода наименьших квадратов) выравнивает экспериментальные данные. Для этого рассчитаем квадраты отклонений полученных значений от экспериментальных (д²).

Для того, чтобы оценка модели была измерена в тех же единицах, что и фигурирующие в эксперименте величины, в качестве оценки рассматривается следующая величина:

.

Для функции среднее отклонение составит: .

Для линейной функции: .

Таким образом, нелинейная функция лучше выравнивает данные, т.к. среднее отклонение значительно меньше, чем при выравнивании линейной функцией.

Сделаем чертеж.

• 1. Высшая математика для экономистов: учебник / под ред. Н. Ш. Кремера. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010.
• 2. Высшая математика для экономистов: Практикум /под ред. Н. Ш. Кремера. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010.
• 3. Высшая математика для экономических специальностей: учебник и практикум / под ред. Н. Ш. Кремера. Части I, II. — М.: Высшее образование, 2010.
• 4. Математика. Методические указания по проведению и выполнению контрольных работ с использованием КОПР. — М.: ВЗФЭИ, 2009.