Аппроксимация характеристик. 
Электрические нелинейные цепи

Характеристики нелинейных элементов цепей определяют экспериментальным путем и представляют в виде таблиц или графиков. Нахождение аналитической функции по экспериментальным данным называется аппроксимацией. На практике пользуются сравнительно простыми аппроксимирующими функциями, удобными при аналитическом исследовании, хотя и неточно представляющими реальную характеристику. Основное требование к аппроксимирующей функции: она должна быть подобна реальной характеристике, а требования к точности аппроксимации зависят от назначения элемента.

Рассмотренные методы аппроксимации вольт-амперных характеристик также пригодны и при аппроксимации вольт-кулонных и ампер-веберных характеристик.

Аппроксимация степенным полиномом. Если характеристика нелинейного элемента имеет вид гладкой кривой i = f(и) (кривая и ее производные непрерывны), то такая кривая может быть представлена в виде бесконечного степенного ряда.

i = f(и) = а₀+ а₁ и + а₂ и² +. .. + а_k и^k + …

где а₀, а₁, а₂, … — постоянные коэффициенты.

Ограничивая этот ряд первыми п членами, получаем аппроксимацию функции f(и) в виде полинома n-й степени:

i = f(и) = а₀+ а₁ и + а₂ и² +. .. + а_n иⁿ

Коэффициенты а₀, а₁,…, а_n данного полинома часто определяются из условия совпадения аппроксимируемой и аппроксимирующей кривых в п+1-й точке на рабочем участке характеристики. Подставляя координаты выбранных точек (i_k, u_k) в полином, находим систему из п+1 уравнений, которая решается относительно неизвестных коэффициентов. Увеличение п способствует повышению точности аппроксимации, но растет и объем необходимых вычислений, который не слишком существен, если используется вычислительная машина. При качественном рассмотрении нелинейных цепей ограничиваются полиномами второй или третьей степени.

На рис. 10.2, a сплошной линией показана вольт-амперная характеристика диода, а штриховой — график аппроксимирующего полинома второй степени. Кривые совпадают в точках 0, A и В. На рис. 10.2, б аналогично показаны вольт-амперная характеристика туннельного диода и ее аппроксимирующая функция — неполный полином третьей степени:

i = а₀+ а₁ (и — u₀) + а₃ (и — u₀)³

где u₀ — напряжение в точке симметрии А. Значения коэффициентов аппроксимирующих полиномов приведены на рис. 10.2, б.

Кусочно-линейная аппроксимация. В качестве аппроксимирующей функции используется уравнение прямой.

i = i₀+ Sи,.

где i₀, S — коэффициенты, определяющие положение прямой.

Аппроксимируемую характеристику разбивают на участки и для каждого проводят отрезок прямой. В аналитическое выражение наряду с уравнениями прямых входят также и граничные значения переменных, указывающие интервал действия конкретного уравнения. Повышение точности аппроксимации достигается увеличением числа участков, что, однако, усложняет аналитическое выражение.

На рис. 10.2, в показана аппроксимация отрезками двух прямых 0u₀ и u₀АВ вольт-амперной характеристики диода. Уравнение первого отрезка.

i = 0, и < u₀,.

уравнение второго.

i = S(и — u₀), и > u₀.

Параметры S и u₀ для рассматриваемого примера указаны на рис. 10.2, в.

Электронные цепи чаще всего питаются постоянным током, поэтому первый этап анализа активных нелинейных цепей — нахождение постоянных токов и напряжений на элементах цепи, т. е. определение положений рабочих точек. Такую задачу можно решить графическим методом или численным (нагляднее, но менее точно). Последний выполняют на ЭВМ, он более точен, однако для этого нужны выражения характеристик нелинейных элементов. Их получают путем аппроксимации экспериментальных характеристик, и они также неточны, поэтому на практике чаще применяется графический метод.

Графический метод. Будем считать, что нелинейная цепь подключена к одному источнику. При этом цепь, состоящую из нескольких нелинейных элементов, заменяют одним эквивалентным двухполюсником. Такая замена означает вычисление эквивалентной вольт-амперной характеристики путем упорядоченного сложения вольт-амперных характеристик отдельных элементов. Например, если элементы соединены последовательно (рис. 10.3, а), то через них течет один и тот же ток.

Их вольт-амперные характеристики располагаются так, как показано на рис. 10.3, б, в. Складывая напряжения при одинаковых токах по точкам, получают эквивалентную вольт-амперную характеристику (рис. 10.3, г). При параллельном соединении нелинейных элементов приходится складывать токи, поэтому графики (рис. 10.3, б, в) удобно располагать один над другим.

В итоге преобразования сложная нелинейная цепь представляется цепью, состоящей из одного нелинейного элемента и источника с нагрузкой (рис. 10.4, а). Анализируют такую цепь с помощью ее разбиения на две части: на линейный активный двухполюсник (эквивалентный источник) и нелинейный двухполюсник. На график вольт-амперной характеристики нелинейного элемента накладывается нагрузочная характеристика эквивалентного источника, которую строят по двум точкам: (и = Е, i = 0) и (u = 0, i = E/R_н) (рис. 10.4, б). Так как напряжения на зажимах обоих двухполюсников одинаковы, то точка пересечения вольт-амперных характеристик является рабочей. Ее координаты U₀ и I₀ — искомые постоянные напряжение и ток на нелинейном элементе.

Когда нелинейный элемент схемы (рис. 10.4, a) составной, то после нахождения положения рабочей точки эквивалентного двухполюсника приходится определять рабочие точки его составляющих (рис. 10.3, г).

Численный анализ. Решение задачи начинают с составления уравнений состояния по законам Кирхгофа. Специфика нелинейной цепи проявляется при замене в уравнениях токов напряжениями или напряжений токами и заключается в подстановке аппроксимированных вольт-амперных характеристик i = —f(u). В итоге получается система нелинейных алгебраических уравнений, численное решение которых может производиться различными методами. Наиболее широко применяют метод Ньютона и его модификации. Рассмотрим его. Для наглядности предположим, что анализируемая нелинейная цепь описывается нелинейным уравнением.

F(s) = 0.

зависящим от одной переменной s. Решение этого уравнения ищется итерационным путем — последовательным приближением, начиная от какого-нибудь первого приближения s₁. Каждое (п+1)-е приближение к решению вычисляется по следующему соотношению:

s_n+1= s_n — F(s_n)/ F'(s_n).

где s_n-е приближение; F '(s_n) — производная функции в точке F(s_n) в точке s = s_n.

Итерационный процесс метода Ньютона сходится: решения s₂, s₃, …, s_n приближаются к истинному значению решения s₀, если:

• а) начальное приближение s₁ выбрано достаточно близко к s₀;
• б) производная F '(s_n) не слишком близка к нулю;
• в) вторая производная F ''(s_n) не очень большая.

Модификации метода Ньютона обладают лучшей сходимостью и быстродействием вычислительного процесса.

Нелинейная радиоэлектронная цепь анализируется сравнительно просто, если может быть представлена в виде каскадного соединения независимых нелинейных безынерционных и линейных цепей. К такой модели сводятся многие усилители, модуляторы, преобразователи частоты, работающие в диапазоне частот значительно ниже граничных частот используемых транзисторов.

В нелинейных безынерционных цепях происходит преобразование формы сигнала, вследствие чего в спектре сигнала появляются «новые» частоты. Линейные цепи выделяют нужные спектральные составляющие сигнала. нелинейный цепь аппроксимация кирхгоф Анализ нелинейной цепи осуществляется в два этапа: находится спектр сигналов на выходе нелинейной безынерционной цепи, и анализируется действие полученного сигнала на линейную цепь. Второй этап решается методами анализа линейных цепей, изложенными в предыдущих разделах.

Гармоническое воздействие. Анализируют спектральный состав выходного колебания чаще всего без привлечения преобразования Фурье. Конкретное выполнение анализа зависит от способа описания характеристики нелинейного элемента.

Если вольт-амперная характеристика задана графиком, а на входе нелинейного элемента действует напряжение.

u = E + U_m cos (t).

то легко построить график тока на выходе (рис. 10.5). Отсчитав по графику числовые значения ординат, силу тока в выбранные моменты времени, амплитуды гармоник тока рассчитывают с помощью формул численного анализа Фурье. Распространены формулы трех и пяти ординат.

Формулы трех ординат позволяют вычислить постоянную составляющую и амплитуды двух гармоник:

I0 = ¼(imax+ imin+ 2i0);

I_m1 = ½(i_max— i_min).

I_m2 = ¼(i_max+ i_min— 2i₀).

где i_max, i_min, i₀ — сила тока соответственно при u = E-U_m, при u = E+U_m и u = E.

Когда нужно получить большую точность и рассчитать большое число гармоник, то для численного спектрального анализа колебаний пользуются ЭВМ.

Если вольт-амперная характеристика нелинейного элемента аппроксимирована степенным полиномом.

i = а₀+ а₁ и + а₂ и² +. .. + а_n иⁿ

а на его вход действует напряжение.

u = E + U_mcos (t).

то спектр выходного колебания можно найти с помощью формул кратных углов.

При анализе усилителей мощности гармонических колебаний вольт-амперную характеристику усилительного элемента часто аппроксимируют двумя отрезками прямых.