Рассеяние электронов атомом

Волновая функция.

Движение электронов описывается волновым уравнением Шредингера:

где y{xyz) — волновая функция, квадрат модуля которой дает вероятность нахождения электрона в данной точке; Е — полная энергия электрона, а К — потенциальная энергия.

Уравнение Шредингера в форме (6.44) описывает не зависящую от времени часть волновой функции, что удобно при рассмотрении установившихся процессов (например, явлений рассеяния [2]).

Падающий на объект пучок электронов описывается как плоская монохроматическая волна:

являющаяся решением уравнения (6.44) при отсутствии члена V:

При этом ко12п- 1Гк = (2mE/h)'¹² определяется величиной ускоряющего электроны напряжения Р, так что Е = еР. Выражая Р в вольтах, можно найти, что.

Если известна волновая функция i (xyz), то число электронов в единице объема есть vpvp* = |у|; для плоской волны (6.45) оно равно А².

Плотность заряда в пучке р = -еА². Однако при рассмотрении задач о рассеянии частиц интересуются не этой величиной, а потоком частиц через единицу площади J, который определяется следующей формулой:

Для решения задачи рассеяния следует подставить в формулу (6.44) потенциал рассеивающего объекта cp(xyz), который определит потенциальную энергию V=eiр. Подстановка в (6.44) периодического ноля кристалла и дальнейшее решение уравнения (6.44) с учетом пограничных условий без упрощающего предположения о слабости вторичных пучков приводят к формулам динамической теории дифракции, с результатами которой можно ознакомиться в [4, 19].

При кинематической постановке задачу рассеяния электронов в веществе можно решать методом возмущений.

[20]. При этом решение i представляется как сумма первичной волны vp₀ (6.45) и рассеянной |/':

1|/₀ удовлетворяет (6.46), поэтому при подстановке (6.49) в (6.44) получим:

Так как vy₀ + V|/' = i, получим обобщенное уравнение Пуассона:

решение которого [21] есть:

где R = |г — Г]|, Г[ - вектор внутри рассеивающего объема.

Если бы у (Г|) было полностью известно, то (6.51) явилось бы окончательным результатом. Однако, у = v|/₀ + V, т. е. в самом интеграле (6.51) стоит искомая функция v|/'. Поэтому это точное выражение представляет собой по существу интегральное уравнение для vj/'(r!):

Смысл этого выражения следующий. Рассеянные волны (левая часть) порождаются идущими в рассеивающем поле (/(Г)) волнами: V)/₀ - начальной и v|/ - уже самими рассеянными. Если, однако, выполняется основное условие кинематического рассеяния — слабость вторичных волн: V «Уо, то можно принять, что из идущих в рассеивающем объеме волн |/₀ + у' порождающей новые волны является лишь первичная волна, а рассеяние вторичных волн, выражаемое членом Ui', несущественно, так как этот член — второго порядка малости (учитывая его, можно получить следующее приближение, и т. д.).

Таким образом, первое приближение (приближение Борна, формула (6.53)) состоит в замене идущих в поле объекта волн под знаком интеграла (6.52), которые искажены добавкой уже рассеянных этим полем волн, неискаженной плоской начальной волной |/₀ = Aexp{ikor}. Следовательно, кинематическая теория рассеяния электронов есть случай применимости приближения Борна. В динамической теории от этого приближения отказываются, там в равной степени учитывается интерференция и первичных, и вторичных волн, в результате которой в кристалле устанавливается сложное волновое поле.

Опуская в (6.52) справа член i' и рассматривая расеянную волну на большом расстоянии от объекта, т. е. при г" г, можно заменить в знаменателе R на г, а в показателе степени на R — r- (nr i) (n — орт направления к). Тогда.

т.е. у'(г) представляет собой на больших расстояниях от объекта сферическую волну с амплитудой, пропорциональной амплитуде падающей волны А и интегралу Фурье по потенциалу объекта:

где К — 2лте/п.

Таким образом, кинематическая теория рассеяния электронов может быть получена из теории интеграла Фурье по потенциалу рассеивающего объекта.