Решить графическим методом типовую задачу оптимизации

Завод—производитель высокоточных элементов для автомобилей выпускает два различных типа деталей — Х и Y. Завод располагает фондом рабочего времени в 4000 чел.-ч в неделю. Для производства одной детали типа X требуется 1 чел.-ч, а для производства одной детали типа Y — 2 чел.-ч. Производственные мощности завода позволяют выпускать максимум 2250 деталей типа X и 1750 деталей типа Y в неделю. Каждая деталь типа X требует 2 кг металлических стержней и 5 кг листового металла, а для производства одной детали типа Y необходимо 5 кг металлических стержней и 2 кг листового металла. Уровень запасов каждого вида металла составляет 10 000 кг в неделю. Кроме того, еженедельно завод поставляет 600 деталей типа X своему постоянному заказчику. Существует также профсоюзное соглашение, в соответствии с которым общее число производимых в течение одной недели деталей должно составлять не менее 1500 штук.

Сколько деталей каждого типа следует производить, чтобы максимизировать общий доход за неделю, если доход от производства одной детали типа X составляет 30 ден. ед., а от производства одной детали типа Y— 40 ден. ед.

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему?

Решение:

Введем следующие переменные:

Х1 — количество производимых деталей в неделю типа Х;

Х2 — количество производимых деталей в неделю типа Y.

Цена одной детали типа Х составляет 30 ден. ед., цена одной детали типа Y- 40 ден. ед. Необходимо максимизировать целевую функцию.

Целевая функция:

f (x1, x2) = 30×1 + 40×2 > max.

Функциональные ограничения:

Х1 + 2Х2? 4000;

Х1 + Х2? 1500;

• 2Х1 + 5Х2? 10 000;
• 5Х1 + 2Х2? 10 000;

Х1? 600;

Х? 2250;

Х? 1750.

Прямые ограничения:

X1, X2? 0.

X1, X2 — целые, т. к. искомые числа — количество деталей.

1) Построим многоугольник допустимых решений, который определяется функциональными и прямыми ограничениями.

Для этого рассмотрим уравнения функциональных ограничений:

Х1 + 2Х2 = 4000;

Если Х= 0, то 2Х= 4000.

Х= 2000.

Точка: (0; 2000).

Если Х= 0, то Х= 4000.

Точка: (4000;0).

Х1 + Х2 = 1500;

Если Х= 0, то Х= 1500.

Точка: (0; 1500).

Если Х= 0, то Х= 1500.

Точка: (1500; 0).

2Х1 + 5Х2 = 10 000;

Если Х= 0, то 5Х= 10 000.

Х= 5000.

Точка: (0; 5000).

Если Х= 0, то 2Х= 10 000.

Точка: (4000; 0).

5Х1 + 2Х2 = 10 000;

Если Х= 0, то 2Х= 10 000.

Х= 5000.

Точка: (0;5000).

Если Х= 0, то 5Х= 10 000.

Х1= 2000.

Точка: (2000;0).

Х1 = 600, то точка: (600; 0).

Х = 2250, то точка: (2250; 0).

Х = 1750, то точка: (0; 1750).

• 2) Построим вектор — градиент. Искомые точки для этого: (0;0), (3000; 4000).
• 3) Построим линию уровня целевой функции:
• 30х+40 х= b,

где b — любое число, а линия перпендикулярна вектору-градиенту.

4) поскольку необходимо найти максимум целевой функции, то необходимо сдвинуть линию уровня ц. ф. по направлению вектора-градиента, до крайней точки области допустимых решений.

Т. о., координаты последней вершины ОДР (точка А) — на пересечении двух прямых:

Х1 + 2Х2? 4000.

и:

5Х1 + 2Х2? 10 000;

Найдем координаты, для этого решим уравнения:

Х1=1500; Х2=1250.

Таким образом, т. А (1500; 1250).

Подставляем полученные значения в целевую функцию:

f (x1,x2) = 30 * 1500 + 40 * 1250 = 95 000 (ден. ед.).

Если решать задачу на минимум, то необходимо сдвигать линию уровня целевой функции противоположно направлению вектора-градиента. Тогда точка В пересечения линий уравнений:

х+ х = 1500.

и х=0 будет иметь координаты (1500;0). Т. е., при производстве только 1500 деталей Х в неделю прибыль будет минимальной. В таком случае задача будет иметь только расчетный характер, т. к. экономического смысла она не имеет.

Ответ: Доход от реализации продукции будет максимальным, т. е. 95 000 ден. ед., если производить 1500 деталей в неделю типа Х и 1250 деталей в неделю типа Y.

двойственный графический экономический.