Гипербола. 
Математика

Каноническое уравнение гиперболы

лишь знаком «минус» отличается от уравнения эллипса. Разумеется, изменение знака может привести к существенным изменениям в форме кривой; с другой стороны, ввиду очевидной похожести уравнений некоторые свойства эллипса могут сохраниться. Посмотрим, как обстоит дело в действительности.

Перечислим свойства гиперболы, изображенной на рис. 3.21.^[1][2][3]

Рис. 3.21.

4. У гиперболы имеется четыре вершины — две действительные: М,(-а; 0), М₂(а: 0), лежащие иа гиперболе, и две мнимые: М₃(0; -Ь), М_А{0; Ь), не лежащие на гиперболе и, соответственно, две полуоси — действительная, равная а, и мнимая, равная Ь.

При равенстве полуосей гипербола называется равнобочной. В этом случае основной прямоугольник превращается в квадрат.

• 5. На рис. 3.21 на действительной оси гиперболы отмечены две точки F](-c; 0) и F₂(c; 0) (где с = Фа² + Ь²), которые называются фокусами гиперболы; с фокусами связано определяющее свойство гиперболы: разность расстояний от любой точки гиперболы до его фокусов по модулю равна 2а.
• 6. Как уже было отмечено, гипербола — бесконечная кривая. По мере удаления точек гиперболы от центра она неограниченно приближается к одной из прямых, которые называются асимптотами, — они направлены по диагоналям основного прямоугольника. Уравнения асимптот:

Замечание. Известное по школьному курсу уравнение у = —,.

выражающее обратно пропорциональную зависимость, задает равнобочную гиперболу в координатной системе, где за оси координат принимаются асимптоты. В этом случае оси симметрии направлены по биссектрисам координатных углов.

В заключение заметим, что еще одна кривая второго порядка, парабола, подробно изучается в школьном курсе математики как график квадратного трехчлена.

• [1] Основной прямоугольник, ограниченный прямыми: х = а, х = -а, у = Ь, у = -Ъ, сохраняется, но гипербола располагается вне этого прямоугольника. Гипербола — бесконечная кривая. Она состоит из двух ветвей — левой и правой.
• [2] У гиперболы имеется две оси симметрии — действительная Ох и мнимая Оу.
• [3] Начало координат — центр симметрии гиперболы. Гипербола — центральная кривая второго порядка.