Краевые задачи для псевдопараболо-гиперболического уравнения четвертого порядка

задача гиперболический уравнение интегральный.

1. Постановка задачи. Пусть означает квадрат, ограниченной отрезками характеристических прямых, где — произвольное положительное число. Через и обозначим подобласти области, для которых прямая является общей границей.

В области рассмотрим уравнения четвертого порядка с постоянными коэффициентами вида.

(1).

(2).

где: .

Отметим, что уравнение (1) является каноническим видом уравнения гиперболического типа относительно старшего коэффициента, обладающее двумя двукратными действительными характеристиками, а уравнение (2) — каноническим видом уравнения гиперболического типа относительно старшего коэффициента, имеющее две действительные характеристики, один из которых трехкратный, а другой — однократный [3]. Уравнение (2) часто называют псевдопараболическим [4; 6; 7].

Пусть означает класс функций, обладающее непрерывными производными вида.

.

Задача 1. Требуется найти функцию, удовлетворяющее следующим условиям:

• 1. удовлетворяет области уравнению (1);
• 2. удовлетворяет области уравнению (2);
• 3. краевым условиям

(3).

(4).

(5).

• 5. условиям сопряжения
• (6)

где: — заданные функции, удовлетворяющие условиям

Отметим, что в задаче 1 на линии заданы три условия сопряжения. Такие задачи мало исследованы [2], хотя они часто используются при математическом моделировании в ряде прикладных задачах [1; 5].

Для решения задачи 1 введем следующие обозначения.

(8).

где: — неизвестные функции.

2. Представление решения задачи в области. Рассмотрим следующие вспомогательные задачи.

Задача 2. Требуется найти из класса решение уравнения (1), удовлетворяющее уравнению (1) и условиям (8).

Задача 3. Требуется найти из класса решение уравнения (2) и условиям (8).

Имеет место следующие теоремы.

Теорема 1. Если ,тогда существует единственное решение задачи 2 и это решение представимо в виде

.

Теорема 2. Если ,тогда существует единственное решение задачи 3, которое представимо в виде

.

3. Сведение задачи к решению системы интегральных уравнений. Применяя первое условие (3) из (9) получим.

Дифференцировав (9) по имеем.

При получении (12) мы использовали следующие свойства, ,. Далее, воспользовавшись вторым условием (3) из (12) приходим к соотношению.

Отсюда, дифференцированием (13) по получаем.

После двукратного дифференцирования (10) по, имеем.

Применяя условие (4) из (15) будем иметь.

Здесь мы использовали следующие равенства:

Из (11) и (16) получим.

Из (5) и (10) получим соотношение.

.

Итак, задачу 1 свели системе уравнений (11), (14), (17), (18). Эту систему запишем в виде.

.

.

Пусть.

(20).

Тогда система уравнений (19) имеет единственное решение, и это решение через резольвенту можно представить в виде.

где:

.

Имеет место.

Теорема 3. Решение задачи 1 существует и единственно, если выполняются условия (7) и (20).

Пример 1. Пусть.

Тогда, решение задачи имеет вид.

Нетрудно проверить, что (22) удовлетворяет всем условиям задачи 1.

• 1. Будак Б. М., Самарский А. А., Тихонов А. Н. Сборник задач по математической физике. — М.: Наука, 1980. — 688 с.
• 2. Джураев Т. Д., Сопуев А., Мамажанов М. Краевые задачи для уравнений параболо-гиперболического типа. — Ташкент: Фан, 1986. — 220 с.
• 3. Джураев Т. Д., Сопуев А. К теории дифференциальных уравнений в частных производных четвертого порядка. — Ташкент: Фан, 2000 — 144 с.
• 4. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. — М.: Высш. шк., 1995. — 301 с.
• 5. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1977. — 736 с.
• 6. Colton D. Pseudo parabolic equations in One Space variable // J. Differential Equations. — 1972. № 12. — P. 559−565.
• 7. Rundell W., Stecher M. Remarks concerning the supports of solutions of pseudoparabolic equation // Proc. Amer. Math. Sos. — 1977. V. 63. № 1. — P. 77−81.