Задание дискретной случайной величины

Рассмотрим наиболее распространенный способ задания закона распределения в виде ряда распределения на примерах основных распределений дискретного типа.

Ряд распределения — это таблица, состоящая из двух граф: в верхней — имя случайной величины X и все ее возможные значения в возрастающем порядке без повторов, в нижней — вероятности этих значений p_k = Р (Х = x_k), т. е. ряд распределения представляет из себя способ задания закона распределения дискретной СВ X:

Свойства ряда распределения:

1) так как события {X = xj, {X = хД есть полная группа нс;

П

совместных событий, то Z, А ⁼ 1;

*-i.

2) р*>0.

Замечание 2.1. Для проверки на ряд распределения нужно проверять выполнение свойств 1 и 2.

Основные распределения дискретного типа

1. Вырожденное распределение.

СВ Х= С (С- const).

2. Бернуллневское распределение.

СВ X, — число успехов в одном из испытаний Бернулли; р = -P (Ay, q-P (Ay, p + q-t.

Обозначение распределения: СВ X, ~ В ( 1, р).

3. Биномиальное распределение.

СВ X — число успехов в п испытаний Бернулли; вероятности p_k = P (X=m) = C"^kp^kq" ^k, k = 0,…, п, где р — вероятность успеха в одном испытании Бернулли.

Проверка на распределение:

Обозначение распределения: СВ X ~ В (п, р).

4. Пуассоновское распределение.

СВ X — число редких событий. X имеет пуассоновское распределение, если.

Обозначение распределения: Х~ п (к).

5. Геометрическое распределение.

СВ Xj — число испытаний Бернулли до появления первого успеха включительно. Пусть р — вероятность успеха в одном испытании Бернулли. Тогда.

Проверка на распределение:

Обозначение распределения: СВ X, — C (j>).

6. Сдвинутое геометрическое распределение.

СВ Yj — число неудач до появления первого успеха в испытании Бернулли. Вероятности.

Проверка на распределение:

Обозначение распределения: СВ Г, — сдC (j>).

7. Распределение Паскаля.

СВ Z, — число испытаний Бернулли до r-го успеха включительно. Вероятности

Проверка на распределение:

Обозначение распределения: Z, — 11а (г, р).

8. Отрицательное биномиальное распределение.

СВ Z-, — число неудач r-го успеха включительно. Вероятности.

по результату проверки распределения Паскаля в и. 7. Обозначение распределения: Z, ~ ОВ (г, р).

9. Гипергеометрическое распределение.

X — число элементов первого типа в выборке объема п из N различных элементов, среди которых М — первого типа. Вероятность.

Проверка на распределение: требуется доказать, что при k < к < k₂, где k = max{0, п — N + М), k₂ = min{M, п},.

а это эквивалентно равенству X С"С", ^к_м = С" - (равенство Вандер-

к

монда), которое следует по формуле бинома Ньютона из очевидного соотношения (1 + д:)^л = (1 + х)^л/(1 + х)^{л м} приравниванием коэффициентов при х" справа и слева.

Обозначение распределения: X ~ H (N, М, и).