Преобразование Фурье. 
Преобразование Фурье

Преобразование Фурье является инструментом спектрального анализа непериодических сигналов. Для наглядной иллюстрации перехода от ряда Фурье к преобразованию Фурье часто используется не вполне строгий математически, но зато понятный подход. Представим себе периодическую последовательность импульсов произвольного вида и сформируем ряд Фурье для нее. Затем, не меняя формы одиночных импульсов, увеличим период их повторения (заполнив промежутки нулевым значением) и снова рассчитаем коэффициенты ряда Фурье. Формула (3) для расчета коэффициентов ряда показывает, что нам придется вычислить тот же самый интеграл, но для более тесно расположенных частот k = k1. Изменение пределов интегрирования не играет роли — ведь на добавившемся между импульсами пространстве сигнал имеет нулевое значение. Единственное дополнительное изменение будет состоять в уменьшении общего уровня гармоник из-за деления результата интегрирования на увеличившийся период Т.

На рис. 1 описанные изменения иллюстрируются на примере двукратного увеличения периода следования прямоугольных импульсов. Обратите внимание на то, что горизонтальная ось спектральных графиков проградуирована в значениях частот, а не номеров гармоник.

Рис. 1 Изменение спектра последовательности импульсов при двукратном увеличении периода их следования

Итак, с ростом периода следования импульсов гармоники располагаются ближе друг к другу по частоте, а общий уровень спектральных составляющих становится все меньше. При этом вид вычисляемого интеграла (3) не меняется.

Наконец, если устремить период к бесконечности (превратив тем самым периодическую последовательность в одиночный импульс), гармоники спектра будут плотно занимать всю частотную ось, а их амплитуды упадут до нуля (станут бесконечно малыми). Однако взаимное соотношение между уровнями гармоник остается неизменным и определяется все тем же интегралом (3). Поэтому при спектральном анализе непериодических сигналов формула для расчета коэффициентов комплексного ряда Фурье модифицируется следующим образом:

• 1. частота перестает быть дискретно меняющейся и становится непрерывным параметром преобразования, (то есть k1 в формуле (3) заменяется на);
• 2. удаляется множитель 1/Т;
• 3. результатом вычислений вместо нумерованных коэффициентов ряда Сk является функция частоты S () — спектральная функция сигнала s (t). Иногда ее называют также спектральной плотностью.

В результате перечисленных модификаций формула (3) превращается в формулу прямого преобразования Фурье:

(3а) В формуле самого ряда Фурье суммирование заменяется интегрированием (перед интегралом появляется деление на 2). Получающееся выражение называется обратным преобразование Фурье:

(3б).