Ядерные оценки плотности в пространстве интегрируемых с квадратом функций

Пример 3. Пусть пространство Z — пространство интегрируемых с квадратом функций таких, что g(0) = g(1) = 0. Пусть мера p порождается броуновским мостом — гауссовским процессом на [0, 1] таким, что.

(50).

а мера q порождается процессом, где — детерминированная функция,.

. (51).

В (51) — собственные функции ядра, т. е. функции (см. [11, с.248]).

(52).

соответствующие собственным числам.

(53).

Согласно теореме 2 на с. 115 монографии [12] плотность q по p существует и имеет вид.

(54).

где А — корреляционный оператор процесса, , т. е.

. (55).

Далее,.

(56).

Где.

. (57).

Значит,.

(58).

Где.

. (59).

Поскольку.

(60).

при некотором C, то согласно (54), (58) и (60).

. (61).

Рассмотрим ядерные оценки плотности. Для плотности f(x), заданной формулой (61), условие (II) статьи [2] не выполнено — плотность не является ограниченной.

Поэтому рассмотрим финитные ядра K(u) (см. теорему 2). В качестве меры близости рассмотрим.

. (62).

Ясно, что в топологии, порожденной, плотность f(x) непрерывна. Имеем:

. (63).

В частности, при.

— (64).

— функция распределения Колмогорова. Значит, можно сделать преобразование (17), перейдя к предпочтительному показателю различия.

Если в качестве меры близости взять.

(65).

то в топологии, порожденной, плотность f(x) непрерывна (в силу неравенства Коши — Буняковского — Шварца). Тогда.

. (66).

При имеем согласно [13, 14].

(67).

т.е. есть функция распределения, асимптотическая для функции распределения статистики Крамера — Мизеса — Смирнова .

В обоих случаях справедливы приведенные выше теоремы об асимптотическом поведении непараметрических оценок плотности. Естественно, что разные способы оценивания приводят к одному и тому же результату — значению плотности в рассматриваемой точке.

Рассмотрим подробнее оценивание плотности в точке. Тогда для предпочтительного показателя различия (см. (17)), построенного исходя из (см. (62)):

(68).

а для предпочтительного показателя различия (см. (17)), построенного исходя из (см. (65)):

(69).

где X1(t), X2(t), …, Xn(t) — независимые реализации процесса. Если ядро K удовлетворяет условиям (27), (31), (34) и финитно, и при, то согласно теореме 3.

при, где C определено в (60).

Некоторые результаты по рассматриваемой тематике приведены в статье [15].

Пример 3 показывает, что развиваемая в настоящей статье теория применима, в частности, к функциональным пространствам Z и позволяет получать отдельные новые результаты для случайных процессов. Однако эта теория развита для нужд статистики объектов нечисловой природы (статистики нечисловых данных, нечисловой статистике), в которой основной интерес представляют конечные пространства Z. Для них приведенные выше результаты нельзя применять непосредственно, поскольку не выполнено условие (VIII'), функция Fx(t) — функция дискретного распределения (а не непрерывного), а потому «не проходят» доказательства теорем 3 — 8. Нами развита теория, охватывающая случай конечных пространств Z. Она будет изложена в дальнейших публикациях.