Аксиально-симметрические поля и метрики галактик

В работах [6−8] были получены решения уравнений поля в общей теории относительности, описывающее метрику галактик и содержащее логарифмическую особенность. Метрика таких пространств, при некоторых предположениях может быть приведена к виду [6, 24−25].

(17).

Здесь — функции, удовлетворяющие уравнениям Эйнштейна, .

Вычисляя компоненты тензора Эйнштейна в метрике (17) и полагая для вакуума, находим уравнения поля:

(18).

Можно проверить, что не все уравнения (18) являются независимыми и что выполняются следующие два соотношения [24].

(19).

Следовательно, можно в качестве системы уравнений для определения двух функций выбрать, например, первое и третье уравнения (18), имеем.

(20).

Прямой проверкой можно убедиться, что потенциал типа (16) удовлетворяет первому уравнению (20), имеем.

(25).

Для определения траекторий релятивистских частиц используем уравнение (4) в метрике (17) с потенциалом (25). Символы Кристоффеля вычисляются в метрике (17) согласно.

(26).

Здесь индексы 0,1,2,3 соответствуют координатам. Отметим, что производные вычисляются согласно второму и третьему уравнениям (18).

Рассмотрим уравнения движения (4) c коэффициентами аффинной связности (26) в первом приближении по малому параметру, имеем.

(27).

Здесь .Система уравнений (27) решалась численно. На рис. 4 приведены типичные траектории движения частиц в метрике (17) с потенциалом (25), вычисленные для начальных данных:

В случае движения в 3D в поле с потенциалом (25) с источниками, распределенными по окружности в сечении в плоскости, траектории заполняют тор, что объясняется структурой поверхностей равного уровня потенциала — рис. 4.

Рис. 4. Траектории движения в метрике (17) с потенциалом (25) в модели (27) с данными (28): вверху; внизу .

Отметим, что движение в метрике галактик с потенциалом (25) является хаотическим — рис. 4, что объясняется нелинейностью модели (27) и распределением потенциала, содержащего в данном примере 35 источников.