Рекуррентные соотношения. 
Свойства и приложения треугольника Паскаля

Однородное линейное рекуррентное соотношениего порядка имеет вид:

(3.1).

где.

Многочлен (3.2) называется характеристическим для соотношения (3.1).

Если — простые корни характеристического многочлена, то общее решение рекуррентного соотношения имеет вид:

где — произвольные постоянные.

Если — корень кратности характеристического многочлена, то общее решение рекуррентного соотношения имеет вид:

где — произвольные постоянные.

Кратность определяет количество слагаемых в коэффициенте при. Число (количество различных корней) определяет количество слагаемых в «большой сумме» У.

Задача 4. Найти общее решение рекуррентного соотношения .

Решение. Характеристический многочлен данного соотношения имеет вид. Этот многочлен имеет два различных корня: с кратностью и с кратностью .

Следовательно, в формуле общего решения будет два слагаемых (количество различных корней). Коэффициент в скобке при должен содержать одно слагаемое (), а при — два слагаемых (). Поэтому общее решение имеет вид:

.

Задачи к теме приведены в приложении 2.

Заключение

Таким образом, мы рассмотрели треугольник Паскаля, его свойства и приложения.