Математическое описание системы массового обслуживания

Задание: Нормальное функционирование СМО прерывается отказами. При этом простые отказы, поступающие с интенсивностью =10^-3 1/с восстанавливаются персоналом самой СМО со средним временем Т₁=60с. Более сложные отказы, поступающие с интенсивностью =10^-4 1/с, восстанавливаются в специализированной мастерской. Случайное время восстановления системы описано гистограммой. Найти вероятность нормального функционирования СМО и зависимость этой вероятности от Т2.

В данной работе мы имеем систему массового обслуживания с отказами, которая может находиться в трех состояниях:

• 0 состояние: нормальное функционирование системы;
• 1 состояние: простой отказ;
• 2 состояние: сложный отказ.

Исходя из исходных данных, строим граф состояний, в котором л1 — интенсивность простого отказа, л2 — интенсивность сложного отказа, м1 и м2 — интенсивности обслуживания:

л1.

м1.

л2.

м2.

м1 рассчитаем по следующей формуле:

м1=1/Т1, где Т1 — среднее время восстановления СМО после простого отказа.

Для того, чтобы рассчитать м2, необходимо найти математическое ожидание.

Составляем вектор-столбцы для Частоты появления и Интенсивности появления:

Затем рассчитываем математическое ожидание:

Находим м2.

Далее составляем уравнение Колмогорова, для того чтобы найти вероятность функционирования.

Решаем уравнение и получаем: р0 — вероятность нормального функционирования СМО, р1 — вероятность простого отказа, р2 — вероятность сложного отказа.

Проверяем, что сумма всех вероятностей равна 1.

Для данной системы вероятность нормального функционирования равна 0.907.

Для того, чтобы проверить зависимость изменения вероятности нормального функционирования, возьмем минимальное и максимальное время восстановления системы после сложного отказа. Подставим в уравнение Колмогорова новые данные и решим систему.

Минимальное время восстановления Т2 = 300 мин. Найдем параметр м3.

Подставим данные в систему уравнений Колмогорова.

Решая систему, находим Pnfmin — вероятность нормального функционирования системы, при минимальном времени восстановления, которая равна 0,35.

Найдем вероятность нормального функционирования системы, при максимальном времени восстановления. Максимальное время восстановления, при сложном отказе Т2=2700 мин. Найдем параметр м4.

система массовый обслуживание отказ.

Решим систему уравнений Колмогорова.

Решая уравнение, вычисляем Pnfmax — вероятность нормального функционирования, при максимальном времени восстановления системы после сложного отказа, которая равна 0,058.

Таким образом, мы можем сделать вывод, что чем больше время восстановления системы, тем меньше ее вероятность нормального функционирования.

Выводы В данной курсовой работе мы исследовали систему массового обслуживания с отказами. Построили граф состояний, на основе которого решили систему уравнений Колмогорова и вычислили вероятность нормального функционирования, которая оказалась равна 0.907. Также, мы установили зависимость вероятности нормального функционирования от времени восстановления системы. При уменьшении времени восстановления до 300 мин, вероятность нормального функционирования равна 0,35, а при увеличении времени восстановления до 2700 мин, вероятность функционирования равна 0,058. На основе полученных данных мы сделали вывод, что чем меньше время восстановления системы, тем больше вероятность нормального функционирования.