Достаточные условия слабого минимума

Вновь обратимся к простейшей задаче вариационного исчисления:

И приведем систему достаточных условий слабого экстремума функционала.

1. Функция у (х) является экстремалью, т. е. решение уравнения Эйлера—Лагранжа:

2. Вдоль экстремальной кривой у (х) выполнено усиленное условие Лежандра:

3. Сегмент [а, Ь не содержит точек, сопряженных с точкой а, — так называемое усиленное условие Якоби.

Видно, что достаточные условия очень близки к необходимым условиям. Разница между ними в том, что необходимые условия могут быть рассмотрены по отдельности, т. е. каждое из них необходимо, тогда как достаточные нужно рассматривать только в совокупности, то есть совместно (одновременно).

Теорема 4.6. Если допустимая кривая у (х) функционала.

удовлетворяет условиям 1—3, то эта кривая дает слабый минимум функционала.

Доказательство. Если сегмент [а, Ь не содержит точек, сопряженных с точкой о, и если на нем Р (х) > 0, то по непрерывности решения уравнения Якоби и функции Р (х) можно указать отрезок 1й, b + е] (с > 0), который также не содержит сопряженных с о точек и где Р (х) > 0.

Теперь изучим вспомогательный квадратичный функционал и отвечающее ему уравнение Уилера—Лагранжа:

Поскольку функция Р (х) непрерывна и положительна на сегменте [а, b + е], то она имеет там положительную нижнюю грань. Так как решение уравнения (4.19) с начальными условиями h (a) = = 0, h а) = 1 непрерывно зависит от параметра а, то при достаточно малых а получаем:

• 1) Р (х) — а² > 0 при х е [а, Ь,
• 2) решение уравнения (4.19) с начальными условиями h (a) = 0, ha) = 1 не обращается в нуль на полусегменте (а, Ь.

Но тогда, согласно теореме 4.1 (п. 4.3) квадратичный функционал (4.18) положительно определен при всех малых а. Говоря иначе, существует такое число Л, что.

Покажем, что минимум исходного функционала достигается. Действительно, сравним экстремаль у (х) и близкую к ней кривую у (х) + А (х). Для приращения функционала

где HI и |ц|е О равномерно на сегменте [а, Ь при значении нормы ||А||, такой, что ||А||-0. Норму определим, например, следующим образом: ||/?||= max |А (х)|.

xs (a,/>|.

Теперь, используя неравенство Коши—Буняковского^[1], получим оценку для h:

откуда.

Если функции ||(х)| < е и |ц (х)| < г, то справедлива оценка.

и поскольку е > 0 — любое малое число, то при малой же норме ||Л|| в силу (4.20) и (4.21) получаем при всех малых значениях ||Л||.

Таким образом, на экстремали у (х) действительно имеет место слабый минимум функционала. Теорема доказана.

Итак, нами установлено достаточное условие слабого минимума для простейшей задачи вариационного исчисления.

• [1] Неравенство Коши—Буняковского определяется следующим образом: |(х, у)| < И • Ы, где символом || • || обозначена какая-либо норма, а хи у — элементы некоторого пространства.