Расчет цепей с несколькими источниками ЭДС

Эту тему обсудим для двух случаев, когда источники ЭДС соединены с сопротивлениями последовательно и когда в параллельных ветвях схемы присутствуют источники ЭДС.

Последовательная цепь. Рассмотрим следующий качественный пример.

Даны величины ЭДС и сопротивлений в схеме по рис. 2.5, а. Требуется свернуть схему в более простую, например по рис. 2.4, б, которая эквивалентна исходной.

Рис. 25 48.

Решение

А. Согласно второму правилу Кирхгофа для схем по рис. 2.5, а и б при обходе их по ходу часовой стрелки можно записать следующие уравнения:

Схемы по рис. 2.5, а и б будут эквивалентными при условии равенства левых и правых частей приведенных уравнений. Поэтому.

Выражения (2−21) и (2−22) показывают, что эквивалентные ЭДС Е_э и сопротивление R₃ неразветвленной цепи с несколькими ЭДС и сопротивлениями равны алгебраической и арифметической соответственно суммам ЭДС Е_{, Е₂, Е_п и сопротивлений R_{, R₂>R_rr При этом можно принять, что сопротивление /?_э ветви с ЭДС Е₃ является ее внутренним сопротивлением.

Из рис. 2.5, б очевидны следующие равенства:

Если удалить нагрузку (оборвать ветвь с /?"), т. е. создать для ЭДС Е_э режим холостого хода (R_H = «>,/ = /_н = 0), то, как очевидно из рис. 2.5, б или из последнего выражения, Е_э = U_n. Это подтверждает раннее высказанное утверждение, что при х.х. источника ЭДС и напряжение на его зажимах равны между собой.

Параллельная цепь. Даны величины ЭДС и сопротивлений параллельной цепи по рис. 2.6, а. Требуется свернуть исходную схему в простейшую по рис. 2.6, б.

Решение

А. Первый закон Кирхгофа применительно к схеме по рис. 2.6, а запишется так:

где, согласно закону Ома,.

Рис. 2.6.

Подставив токи из последнего уравнения в первое и проделав соответствующие преобразования, получим

где Для схемы по рис. 2.6, б, согласно закону Ома,.

Приравняв правые части выражений (2−23) и (2−25) и проделав соответствующие преобразования, будем иметь.

где п — число параллельных ветвей с ЭДС; т — число всех параллельных ветвей, не считая ветви с нагрузкой.

Выражение (2−26) читается так: эквивалентная ЭДС Е₃ параллельных ветвей с ЭДС Е_ь Е₂, Е_п, объединяемых вместе, равна отношению алге

браической суммы произведений этих ЭДС на проводимости ветвей, куда они включены, к арифметической сумме проводимостей всех объединяемых ветвей схемы.

При этом произведения ЭДС и проводимостей берутся со знаком «+», если направления этих ЭДС не совпадают с направлением общего напряжения (напряжение на нагрузке), и со знаком «-», если они совпадают. Кроме того, в числителе (2−26) отсутствуют произведения ЭДС и проводимостей тех ветвей, где нет ЭДС, в то время как в знаменателе присутствуют проводимости всех объединяемых ветвей.

Обратим внимание на следующее важное обстоятельство. При выводе выражения (2−26) учитывались все ветви исходной схемы с проводимостями G_lt G₂,G_rl, но не учитывалась ветвь нагрузки, которая также параллельна остальным ветвям.

Учитывая ветвь нагрузки с проводимостью G_H, выведем формулу, с помощью которой можно вычислить напряжение на нагрузке U_w являющееся одновременно общим напряжением, приложенным ко всем ветвям схемы, или напряжением между верхним и нижним узлами схемы (узловое напряжение) по рис. 2.6, а.

Из (2.25) U_H = (E₃G₃ — /") / G_H. Подставив в это выражение значение /_н из (2.23) и проделав соответствующие преобразования, получим.

Выражение (2−26а) является формулой для расчета узлового напряжения U_yз = U_n (в данном случае). Оно отличается от (2−26) только наличием проводимости нагрузки G_H, т. е. учетом всех ветвей схемы по рис. 2.6, а.

В цепи по рис. 2.6, 6 ток I будет определяться по (2−25), т. е.

При удалении нагрузки в цени по рис. 2.6, 6 (1= 0, R_n = °о) Е_э = U_H так же, как и в схеме по рис. 2.5, б, т. е. у источника питания, работающего в режиме х.х., эквивалентная ЭДС и напряжение на выходных зажимах равны между собой.

Вопросы для самопроверки

• 1. Как читается правило определения эквивалентной ЭДС при параллельном соединении ветвей с ЭДС?
• 2. Как читается правило определения узлового напряжения при параллельном соединении ветвей с ЭДС?

Решенные задачи

Задача 2.22. В цепи по рис. 2.5, а известны: Е_{ = 24 В, Е₂ = 12 В, Е_п= 6 В, R_{ = 1 Ом, R₂ = 2 Ом, R_n = 3 Ом, R_n = 4 Ом. Определить U, и Р₂.

Решение

4 = ?₁-?₂ + ?"=24−12 + 6=18 В, Д_э = Л₁ + Д₂ + Д"=1+2 + 3 = 6 0 м,/=4/(Д_э + + R_u) = 18 / (6 + 4) = 1,8 А. Из формулы /= (Е_э - ?/") / R₃ находим U_H = Е_Э— IR₃ =18- - 1,8 • 6 = 7,2 В, Р₂ = PR₂ = 1,82 • 2 = 6,48 Вт.

Задача 2.23. В цепи, но рис. 2.6, а известны: Е_х = 24 В, Е_п = 6 В, R_x = 1 Ом, R₂ = 2 Ом, R_n = 3 Ом, R_u = 4 Ом. Определить U_H и Р₂.

Решение

G_{ = 1 / R_{ = 1 / 1 = 1 См, G_t = 1 / R₂ = 1 / 2 = 0,5 См, G_n = 1 / R_n = 1 / 3 = 0,33 См, G₄ = l/#4 = l/ 4 = 0,25 См.

Задача 2.24. В цепи по рис. 2.6, а известны: Е_х = 24 В, Е_п = 6 В, R_{ = 1 Ом, R₂ = 2 Ом, R_n = 3 Ом, R_u = 4 Ом. Определить узловое напряжение U_Yi и Р₂.

Решение

При удалении нагрузки, т. е. при R_H = или G_H = G_A = 1 / R_n = 0 (2.26а) преобразуется в (2.26), что иллюстрируется в разобранном примере (сравните значения Е_э и U_yз при G_n = С₄ = 0).

Задачи, требующие решения.

Задача 2.25. В цепи по рис. 2.5, а известны: Е_{ = 13 В, Е₂ = 5 В, Е_п = 4 В, R_{ = 1 Ом, R₂ = 2 Ом, R_n = 3 Ом. Определить U" и Р₂.

Задача 2.26. В цепи по рис. 2.5, б известны: U_u = 10 В, R_} = 2 Ом, R_H= 10 Ом. Определить Е_э и Р_и.

Задача 2.27. В цепи по рис. 2.6, а известны: Е_{ = 12 В, Е_п = 8 В, R_{ = 1 Ом, R₂ = 2 0 м, R_n = R_u = 4 Ом. Определить токи в цепи.

Задача 2.28. В цепи, но рис. 2.6, б известны: U_u = 10 В, G₃ = 2 См, G_u = 10 См. Определить Е_э и Р_э.